CT成像资料专业知识讲座

CT、MRI图像重建算法上海理工大学聂升东泰山医学院邱建峰第1页常用重建算法二维傅利叶变换法（中心切片理论）一般反投影反投影法平行线束滤波反投影去伪影重建（雷登变换）扇形线束卷积反投影

投影重建迭代法（数值迭代）

拟和逼近法（算术拟和）第2页两个主要工具迪拉克函数-抽样卷积-滤波第3页

傅里叶变换法

1．二维傅里叶变换法傅利叶变换是将任意一周期信号或非周期信号变换成用其本身频率特性表述一种形式，使信号变化与频率变化之间建立内在联系，从分析频率特性角度来揭示信号本身变化观律。如图所示矩形波信号，通过傅里叶变换成频率变化形式。第4页二维傅里叶变换法二维傅里叶变换法将各个投影进行一维傅里叶变换，再把各角度上变换成果聚集起来，在变换成极坐标上补足求得傅里叶变换频域曲面，再改为空间直角坐标。按公式进行二维傅里叶反变换后即可得到重建图像。

二维傅里叶变换法是最抱负图像重建办法之一。但该办法需要进行正、反两次傅里叶变换，计算量比较大，在实际应用中不易实现。第5页1．二维傅里叶变换法第6页二维傅里叶变换法理论根据：中心切片理论长处：算法精确缺陷：复杂耗时，运算量庞大第7页定义密度函数f（x，y）在某一方向上投影函数gθ（R）一维傅里叶变换函数Gθ（p），是密度函数f（x，y）二维傅里叶变换F（p，θ）在p，θ平面上沿同一方向过原点直线上值。第8页中心切片理论第9页第10页中心切片理论证明特殊情况

θ=900一般情况第11页中心切片应用指出了投影重建图像也许性二维傅里叶变换法假如我们在不一样角度下取得足够多投影函数数据，并进行傅里叶变换，那么变换后数据将充满整个（u，v）平面。得到频域函数F（u，v）所有值，将其进行傅里叶反变换，得到原始密度函数f（x，y）即所要图像。填充（u，v）平面需要按照角度填充，即筛选角度，完成这一步骤需要做极坐标转换。第12页第13页第14页空间域雷登空间极坐标频率域第15页第16页二维傅里叶变换法算法：描述/过程图验证：sinc（2R）缺陷：插值/运算量大第17页2、反投影法反投影法(backprojection)又称总和法，是利用投影数值近似地复制出值二维分布。基本原理是将所测得投影值按其原途径平均分派到每一点上，各个方向上投影值反投影后，在影像处进行叠加，从而推体出原图像。第18页反投影法第19页反投影法第20页反投影法第21页第22页第23页第24页反投影重建算法一般步骤：原像取投影反投影重建重建后图像反投影重建算法第25页设被测人体断面上器官或组织吸取系数分布为，X线束扫描时在某一角度方向投影表达为：则在角度反投影可表达为：式中是由沿反方向进行反投影所产生吸取系数，δ-函数起筛选角度作用。将上式所有角度上反投影值相加，即对应从0变化到π所有反投影值加在一起，可得到图像重建吸取系数分布为：第26页投影重建算法基本内容：“断层平面中某一点密度值可看作这一平面内所有通过该点射线投影之和（平均值）”。式中xk表达象素值，pk,i为通过象素第i条射线投影。能够这样理解：其中f(x,y,z)是身体组织密度。反投影重建算法物理概念第27页算法举例123456第28页算法举例根据反投影算法x1=p5=5 x6=p2+p3+p5=18 …平均化处理，除以投影线数目 xi=xi/6000005200100000056237181271108136250.8310.3300.51.16321.160.061.661.330.160.510.330.83反投影重建后原像素值再除以投影线数，平均化断层平面中某一点密度值可看作这一平面内所有通过该点射线投影之和平均值123456第29页星状伪迹反投影重建后，本来为0点不再为0，形成伪迹00000520010000000.8310.330.51.16321.160.061.661.330.160.510.330.83原像素值再除以投影线数，平均化第30页星状伪迹我们考虑孤立点源反投影重建，中心点A经n条投影线投影后，投影值均为1： p1=p2=...=pn=1因此重建后而其他点均为1/n此类伪迹成为星状伪迹1/n1/n1/n1/n11/n1/n1/n1/n000010000第31页星状伪迹产生星状伪迹原因在于：反投影重建本质是把取自有限物体空间射线投影均匀地回抹(反投影)到射线所及无限空间各点之上，包括原先像素值为零点第32页内插第33页内插办法

1.紧邻内插:在时，若则以中内容直接替代。不然，用替代2.线形内插：假如，则第34页一般反投影法在反投影法中，反投影重建图像吸取系数与实际图像之间有关系：校正含糊失真步骤可先将fb(x，y)作二维傅里叶变换，然后将变换成果用ρ加权，则得真正图像二维傅里叶变换式，有：在此基础上再行二维傅里叶反变换，按公式获原图像吸取系数分布面函数f（x，y）。显然仍需进行二维傅里叶正、反变换，因此并未减少计算量。第35页直接反投2DIFT2DFTXρ频域空域一般反投影法第36页仍需二维傅里叶变换先反投再修整第37页滤波反投影算法清除星状伪迹两种办法：取投影取投影一维滤波器反投影重建二维滤波器反投影重建输入图像（原图像）输入图像（原图像）输出图像(同原图像)输出图像(同原图像)星状尾迹清除（b）（a）第38页第一种办法中二维滤波器较难实现。第二种办法交换了滤波与反投影次序，此时投影数据是一维，易于实现。此办法理论基础仍是中心切片定理先修整再反投滤波反投影算法第39页滤波反投影法

滤波反投影法也是解析法中一种。这种办法为了消除含糊因子1/r影响，并将二维傅里叶变换改为只进行一维傅里叶变换，既可校正失真，又可简化计算量，提升图像重建速度。采取卷积计算滤波反投影法目前应用最为广泛，故也称卷积反投影法(convolutionbackprojection，CBP)。第40页反投1DFTX│ρ│频域空域滤波反投影法1DIFT第41页第42页卷积反投影法滤波反投影仍需1D傅利叶变换能否更简单？处理办法：卷积、滤波第43页卷积反投影法在空间域进行滤波先滤波再反投，但不需要傅利叶变换第44页反投XC（R）空域卷积反投影法第45页卷积反投影法成像办法是在后投影之前，对所有投影数据进行卷积，使成果图像无所谓“星月样”晕伪影。成像过程可提成三步：首先是获取所有投影数据并作预处理。其次是将所得数据与卷积因子相乘，其间须通过大量数学运算，同步采取算法还须考虑图像辨别率和噪声等。最后，其后投影数据值中正负值互相抵消，根据系统显示不一样矩阵大小，各投影滤过原始数据被投影成像并通过监视器显示。第46页要考虑问题│ρ│不可积，其逆变换不存在需要近似函数替代其逆变换卷积函数第47页卷积反投影重建待建图像为a(x,y),它2D傅氏变换为:

由中心切片定理：第48页卷积反投影重建待建图像其中第49页卷积反投影重建上式物理意义是： 投影通过传递函数为滤波器滤波后得到修正后投影在处取值。后者恰是通过给定点射线方程。第50页卷积反投影重建可得物理意义： 通过给定点所有滤波后（射线）投影在0-范围内累加——反投影重建，得出点像素值。第51页卷积反投影重建称“滤波反投影方程”，它体现了滤波（卷积）反投影算法三个步骤：1把在固定视角下测得投影通过滤波，得到滤波后投影；2对每一种，把反投射于满足射线上所有各点；3将步骤2中反投影值对所有进行累加（积分），得重建后图像。第52页第53页滤波函数选择为了醒目起见，可将式(4.39)中m作为常数，于是有：及同理，把当作常数，由及得：

第54页常用滤波函数举例1.R—L滤波函数(i)系统函数式中，B=1/2d，且：第55页(ii)对应冲激响应

第56页(iii)采样序列采样间隔为d，对应最高不失真空间频率为1/(2d)离散形式如下：偶数奇数如将离散表达进行线性内插，则得另一连续空域函数，是一次近似。

第57页第58页2.S—L滤波函数选用sinc函数作为窗函数。于是有：对应冲激响应为：第59页如令y=4BXr，则得：第60页采样序列对进行均匀采样，得：将这一离散形式进行线性内插，则得连续空域函数：第61页第62页对经线性内插后函数进行傅立叶变换得：用S—L滤波函数重建图像其振荡响应减小，对含噪声数据重建质量也较R—L滤波函数情况为好，但在低频段不及R—L滤波函数重建质量高。第63页卷积反投影重建第64页滤波反投影法第65页滤波或卷积反投影法第66页滤波或卷积反投影法第67页扇束投影重建算法分类重排算法

把一种视图中采得扇形数据重新组合成平行射线投影数据，然后用上一节算法重建。直接重建算法无须数据重排，只需合适加权即可利用与上一节类似算法重建第68页扇形射线型式等角射线型等距射线型第69页等角射线扇束数据直接重建算法：X射线源：检测器阵所在弧线：中心射线

扇形位置由该中心射线与y轴交角

确定，同一扇形中射线由

要求，射线绝对位置由（，）唯一确定。第70页重建算法推导第71页扇束算法第72页平行束算法第73页结论扇束情况下重建算法较为复杂，但实质没有改变。可采取平行束情况下算法实现，只需加以适本地修正即可。第74页扇束扫描程序第75页反投影重建实际试验CTsimMatlab-radon第76页CTsim仿真CT扫描CTsim软件是由KevinM.Rosenberg等学者编写开发CT重建仿真程序，其源代码开放。顾客可选择hermanhead、sheep-logan、unitpulse三种体模，进行滤波反投影重建和福利叶变换重建。第77页1、选择要进行扫描体模。打开CTsim软件，按file-createphantom选择体模sheep-logan。第78页2、对体模进行平行线束（平移-旋转式）扫描投影。按process-projections，在projectionparameter中选择geometry-parallel,tracelevel中选择projections，其他扫描参数使用默认参数。软件进行体模扫描演示，扫描完成后，将各角度投影值按次序排列在二维平面上。第79页第80页3、选择reconstruct-filteredbackprojection，在filteredbackprojectionparameter中选择filtermethod为FFT。软件进行滤波反投影重建，选用滤波办法为迅速福里叶变换，取得重建sheep-logan体模图像。第81页第82页4、比较重建图像与原体模差异。5、在tracelevel中选择plot，反复1-3步，观测扫描过程中，每个投影值变化。6、在projectionparameter中选择geometry-parallel（扇形束扫描），反复1-3步，观测扫描过程和重建影像。其扫描过程、投影图像、重建图像。比较投影图像、重建图像与平行线束扫描取得图像区分。第83页第84页7、选用unitpulse体模，反复上述过程，观测重建图像中伪影。8、更换其他体模，进行上述办法，进行重建，观测重建办法与重建图像。第85页MATLAB仿真第86页迭代重建迭代重建同样使用反投影，但不进行滤波。办法：反投影重建图像，对新图像进行投影，将新投影与真实投影比较，进行修正。一般用两投影差反投来改善图像。并进行迭代求最佳。第87页迭代法代数重建算法（ART）最有效、对噪声敏感迭代最小平方技术（ILST）常用ART迭代一、两次，然后转入ISLT同步迭代重建算法

第88页迭代法精确运算量大一般迭代十次左右，而滤波反投影法只花迭代一次时间核素成像常用算法第89页MRI重建算法在MRI设备中，傅立叶成像（fourierimaging）占主流第90页修改劳特伯投影重建修改：脉冲NMR使用两个梯度线圈投影数据进行内插MRI重建算法第91页90度RF脉冲后，外加梯度场，梯度法线方向投影就是FID信号。用s（t，Ø）表达。要建立一种有NXN像，能够把梯度旋转N次，Δ

Ø=1800/N，对应每个Δ

Ø，投影就是一种FID信号。对FID信号取样N次就得到N个投影点。MRI重建算法第92页MRI重建算法第93页对傅立叶变换来讲：CT中，R与K是一对共轭分量；MRI中，w与t是一对共轭分量。因此，用连续波NMR得到频