第二十一章 一元二次方程单元练习题含解析

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第二十一章一元二次方程单元练习2023-2024学年人教版九年级数学上册（含解析）

1．若关于的一元二次方程的一个根为，则的值为（）

A．B．1C．D．2

2．将方程配方成的形式为（）

A．B．

C．D．

3．下列方程中，有实数解的是（）

A．B．C．D．

4．若菱形的一条对角线长为10，边的长是方程的一个根，则该菱形的周长为（）

A．20B．24C．20或24D．48

5．关于的方程有实数根；则的取值范围是（）

A．B．C．D．

6．三角形两边的长分别是7和11，第三边的长是一元二次方程的一个实数根，则该三角形的周长是（）

A．23B．23或33C．24D．24或30

7．已知为方程的根，那么的值为．

8．将一元二次方程配方成的形式，则的值为．

9．若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值是．

10．三角形两边的长分别是8和6，第三边的长是一元二次方程的一个实数根，则该三角形的面积是．

11．为防控疫情，我们应该做到有“礼”有“距”，于是用“碰肘礼！代替“握手”的问候方式逐渐流行．某次会议上，每两个参会者都相互行了一次“碰肘礼”，经统计共碰肘28次，若设有人参加这次会议，则可列方程为，．

12．先化简，再求值：，其中是一元二次方程的根．

13．按题目要求解答下列问题：

(1)计算：

(2)解方程（用配方法）

14．已知关于x的一元二次方程．

(1)求证：方程总有两个实数根；

(2)若方程的一根大于2，一根小于1，求m的取值范围．

15．已知关于的一元二次方程的一个实数根．

(1)求这个一元二次方程的根；

(2)求代数式的值．

16．已知关于的一元二次方程．

(1)若方程有实数根，求实数的取值范围；

(2)若方程两实数根分别为，，且满足，求实数的值．

17．定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形称为“直角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形．根据以上定义，解决下列问题：

(1)如图1，正方形中，是上的点，将绕点旋转，使与重合，此时点的对应点在的延长线上，则四边形为“直等补”四边形，为什么？

(2)如图2，已知“四边形为直等补”四边形，，，，点到直线的距离为，求的长．

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参考答案：

1．A

【分析】根据方程解的定义，将已知的方程解代入方程求解即可．

【详解】因为关于的一元二次方程的一个根为，

所以将代入方程可得，

解得，

故选：A．

【点睛】本题考查一元二次方程的解：解决本题的关键是要将方程的已知解代入方程进行求解．

2．A

【分析】利用完全平方公式进行配方即可得．

【详解】解：，

，

，

，

，

故选：A．

【点睛】本题考查了利用配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题关键．

3．D

【分析】A、根据△的值判断即可，B、根据二次根式的意义判断即可；C、根据分式方程的解的定义判断即可；D、根据分式方程的解的定义判断即可．

【详解】解∶A．，

原方程无实数根，

B．当，即时，原方程无实数根，

C．当，即，或时，原方程无实数根，

D．，

故选∶D．

【点睛】本题考查了一元二次方程的根得判别式，无理方程的解，分式方程的解，正确的解方程是解题的关键．

4．B

【分析】解方程得出或，分两种情况：①当时，，不能构成三角形；②当时，，即可得出菱形的周长．

【详解】解：如图所示：

∵四边形是菱形，

∴，

∵，

因式分解得：，

解得：或，

分两种情况：

①当时，，不能构成三角形；

②当时，，能构成三角形，

∴菱形的周长．

故选：B．

【点睛】本题考查菱形的性质、解一元二次方程-因式分解法、三角形的三边关系，熟练掌握并灵活运用是解题的关键．

5．C

【分析】根据，求出的范围，由根与系数关系得：，将的范围代入求解即可．

【详解】解：方程有两个实数根，

，

，

解得：，

，

，

，

．

故选C

【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，以及根与系数的关系，熟记公式是解题关键．

6．B

【分析】先求方程的解，再根据三角形三边之间的关系判断是否能构成三角形，即可求解．

【详解】解：，

，

，

，

∵，

∴7，11，5能组成三角形，

∵，

∴7，11，15能组成三角形，

∴该三角形的周长是或，

故选：B．

【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，三角形三边之间的关系，解题的关键是掌握解一元二次方程的方法和步骤，以及三角形三边之间的关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．

7．

【分析】根据一元二次方程的解的定义得到，然后对原式进行化简，再将整体代入即可．

【详解】解：∵，

∴，

∵

，

将代入，则

原式

，

故答案为：．

【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解，也考查了代数式的变形，利用整体代入法的思想是解答本题的关键．

8．7

【分析】先移项，再在方程的两边都加上16，配方后可求解，的值，从而可得答案．

【详解】解：，

移项得：，

，

，

，，

，

故答案为：7．

【点睛】此题考查的是配方法的应用，掌握配方法的方法与步骤是解题的关键．

9．

【分析】根据一元二次方程根的判别式列出关于的方程，解方程即可．

【详解】解：关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，

，

，即，

．

故答案为：．

【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式、解一元二次方程，熟练记忆一元二次方程根的判别式与方程根的关系是解题的关键．

10．或24/24或

【分析】已知方程利用因式分解法求出解，得到第三边长，分类讨论求出三角形的面积即可．

【详解】解：方程，

分解因式得：，

解得：或，

当时，三角形为等腰三角形，腰长为6，底边长为8，

则底边上的高，

∴三角形的面积为：；

当时，

∵，

∴三角形为直角三角形，两条直角边的长分别为8和6，

∴三角形的面积为：；

综上：三角形的面积为：或24；

故答案为：或24．

【点睛】此题考查了解一元二次方程，三角形三边关系，等腰三角形的性质，以及勾股定理逆定理，熟练掌握因式分解法解一元二次方程是解题的关键．

11．8

【分析】利用碰肘的总次数参会人数（参会人数，即可得出关于的一元二次方程，再解这个方程即可求解．

【详解】解：依题意得，

解得：，（不符合题意，舍去）

∴

故答案为：；8．

【点睛】本题考查了一元二次方程和应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

12．，1．

【分析】根据分式的运算法则进行计算化简，再根据是方程的根可得，再代入即可．

【详解】解：原式

．

∵是方程的根，

∴．

∴．

∴原式．

【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，一元二次方程的解．掌握分式的运算法则和整体代入求值是关键．

13．(1)1

(2)，

【分析】(1)首先进行负整数指数幂、零指数幂、化简绝对值、有理数乘方的运算，再进行有理数的加减运算，即可求得结果；

(2)利用配方法解此方程，即可求解．

【详解】（1）解：

（2）解：由原方程得

配方得：，

得，

，

解得，，

所以，原方程的解为，．

【点睛】本题考查了负整数指数幂、零指数幂、化简绝对值、有理数乘方的运算，配方法解方程，熟练掌握和运用各运算法则是解决本题的关键．

14．(1)见解析

(2)

【分析】（1）表示出，根据的数值判断即可；

（2）利用公式求出两根，根据两根及其条件列出不等式，并解不等式即可．

【详解】（1）解：依题意，得

∵

∴方程总有两个实数根；

（2）解：方程

由（1）得

∴，∴，，

∵方程的一根大于2，一根小于1，

∴

∴．

∴m的取值范围是．

【点睛】本题考查了一元二次方程，相关知识点有：根的判别式、解一元二次方程等，熟悉一元二次方程的知识点是解题关键．

15．(1)，

(2)

【分析】（1）利用因式分解法解一元二次方程即可；

（2）利用一元二次方程解的定义得到，则，代入即可得到答案．

【详解】（1）解：

原方程可化为，

∴或，

解得：，；

（2）∵关于的一元二次方程的一个实数根，

∴，

∴，

∴．

【点睛】此题考查了一元二次方程的解法和一元二次方程解的定义等知识，熟练掌握一元二次方程的解法和整体代入是解题的关键．

16．(1)

(2)1

【分析】（1）由题意可得根的判别式，据此得到不等式求解即可；

（2）有根与系数的关系可得；然后代入求出m的值即可．

【详解】（1）解：∵方程有实数根，

∴，整理得，解得，

∴实数m的取值范围是．

（2）解：由两根关系得，

∴，即，整理得：，解得：（不符合要求，舍去）或，

∴．

【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别、根与系数的关系等知识点，熟练掌握一元二次方程根的判别和根与系数的关系是解题的关键．

17．(1)见解析

(2)12

【分析】（1）结合正方形的性质以及旋转的性质，根据“直等补”四边形的定义判断即可；

（2）过作于点，证明四边形是矩形，即有，再证明，即有，设，则，根据可得，解方程即可求解．

【详解】（1）四边形为“直等补”四边形，理由如下：

四边形是正方形，

，

将绕点旋转，使与重合，此时点的对应点在的延长线上，

，，

，

四边形