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第第页第二十一章一元二次方程单元练习题(含解析)中小学教育资源及组卷应用平台
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第二十一章一元二次方程单元练习2023-2024学年人教版九年级数学上册(含解析)
1.若关于的一元二次方程的一个根为,则的值为()
A.B.1C.D.2
2.将方程配方成的形式为()
A.B.
C.D.
3.下列方程中,有实数解的是()
A.B.C.D.
4.若菱形的一条对角线长为10,边的长是方程的一个根,则该菱形的周长为()
A.20B.24C.20或24D.48
5.关于的方程有实数根;则的取值范围是()
A.B.C.D.
6.三角形两边的长分别是7和11,第三边的长是一元二次方程的一个实数根,则该三角形的周长是()
A.23B.23或33C.24D.24或30
7.已知为方程的根,那么的值为.
8.将一元二次方程配方成的形式,则的值为.
9.若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根,则m的值是.
10.三角形两边的长分别是8和6,第三边的长是一元二次方程的一个实数根,则该三角形的面积是.
11.为防控疫情,我们应该做到有“礼”有“距”,于是用“碰肘礼!代替“握手”的问候方式逐渐流行.某次会议上,每两个参会者都相互行了一次“碰肘礼”,经统计共碰肘28次,若设有人参加这次会议,则可列方程为,.
12.先化简,再求值:,其中是一元二次方程的根.
13.按题目要求解答下列问题:
(1)计算:
(2)解方程(用配方法)
14.已知关于x的一元二次方程.
(1)求证:方程总有两个实数根;
(2)若方程的一根大于2,一根小于1,求m的取值范围.
15.已知关于的一元二次方程的一个实数根.
(1)求这个一元二次方程的根;
(2)求代数式的值.
16.已知关于的一元二次方程.
(1)若方程有实数根,求实数的取值范围;
(2)若方程两实数根分别为,,且满足,求实数的值.
17.定义:若四边形有一组对角互补,一组邻边相等,且相等邻边的夹角为直角,像这样的图形称为“直角等邻对补”四边形,简称“直等补”四边形.根据以上定义,解决下列问题:
(1)如图1,正方形中,是上的点,将绕点旋转,使与重合,此时点的对应点在的延长线上,则四边形为“直等补”四边形,为什么?
(2)如图2,已知“四边形为直等补”四边形,,,,点到直线的距离为,求的长.
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参考答案:
1.A
【分析】根据方程解的定义,将已知的方程解代入方程求解即可.
【详解】因为关于的一元二次方程的一个根为,
所以将代入方程可得,
解得,
故选:A.
【点睛】本题考查一元二次方程的解:解决本题的关键是要将方程的已知解代入方程进行求解.
2.A
【分析】利用完全平方公式进行配方即可得.
【详解】解:,
,
,
,
,
故选:A.
【点睛】本题考查了利用配方法解一元二次方程,熟练掌握配方法是解题关键.
3.D
【分析】A、根据△的值判断即可,B、根据二次根式的意义判断即可;C、根据分式方程的解的定义判断即可;D、根据分式方程的解的定义判断即可.
【详解】解∶A.,
原方程无实数根,
B.当,即时,原方程无实数根,
C.当,即,或时,原方程无实数根,
D.,
故选∶D.
【点睛】本题考查了一元二次方程的根得判别式,无理方程的解,分式方程的解,正确的解方程是解题的关键.
4.B
【分析】解方程得出或,分两种情况:①当时,,不能构成三角形;②当时,,即可得出菱形的周长.
【详解】解:如图所示:
∵四边形是菱形,
∴,
∵,
因式分解得:,
解得:或,
分两种情况:
①当时,,不能构成三角形;
②当时,,能构成三角形,
∴菱形的周长.
故选:B.
【点睛】本题考查菱形的性质、解一元二次方程-因式分解法、三角形的三边关系,熟练掌握并灵活运用是解题的关键.
5.C
【分析】根据,求出的范围,由根与系数关系得:,将的范围代入求解即可.
【详解】解:方程有两个实数根,
,
,
解得:,
,
,
,
.
故选C
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式,以及根与系数的关系,熟记公式是解题关键.
6.B
【分析】先求方程的解,再根据三角形三边之间的关系判断是否能构成三角形,即可求解.
【详解】解:,
,
,
,
∵,
∴7,11,5能组成三角形,
∵,
∴7,11,15能组成三角形,
∴该三角形的周长是或,
故选:B.
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程,三角形三边之间的关系,解题的关键是掌握解一元二次方程的方法和步骤,以及三角形三边之间的关系:两边之和大于第三边,两边之差小于第三边.
7.
【分析】根据一元二次方程的解的定义得到,然后对原式进行化简,再将整体代入即可.
【详解】解:∵,
∴,
∵
,
将代入,则
原式
,
故答案为:.
【点睛】本题考查了一元二次方程的解:能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解,也考查了代数式的变形,利用整体代入法的思想是解答本题的关键.
8.7
【分析】先移项,再在方程的两边都加上16,配方后可求解,的值,从而可得答案.
【详解】解:,
移项得:,
,
,
,,
,
故答案为:7.
【点睛】此题考查的是配方法的应用,掌握配方法的方法与步骤是解题的关键.
9.
【分析】根据一元二次方程根的判别式列出关于的方程,解方程即可.
【详解】解:关于x的一元二次方程有两个相等的实数根,
,
,即,
.
故答案为:.
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式、解一元二次方程,熟练记忆一元二次方程根的判别式与方程根的关系是解题的关键.
10.或24/24或
【分析】已知方程利用因式分解法求出解,得到第三边长,分类讨论求出三角形的面积即可.
【详解】解:方程,
分解因式得:,
解得:或,
当时,三角形为等腰三角形,腰长为6,底边长为8,
则底边上的高,
∴三角形的面积为:;
当时,
∵,
∴三角形为直角三角形,两条直角边的长分别为8和6,
∴三角形的面积为:;
综上:三角形的面积为:或24;
故答案为:或24.
【点睛】此题考查了解一元二次方程,三角形三边关系,等腰三角形的性质,以及勾股定理逆定理,熟练掌握因式分解法解一元二次方程是解题的关键.
11.8
【分析】利用碰肘的总次数参会人数(参会人数,即可得出关于的一元二次方程,再解这个方程即可求解.
【详解】解:依题意得,
解得:,(不符合题意,舍去)
∴
故答案为:;8.
【点睛】本题考查了一元二次方程和应用,找准等量关系,正确列出一元二次方程是解题的关键.
12.,1.
【分析】根据分式的运算法则进行计算化简,再根据是方程的根可得,再代入即可.
【详解】解:原式
.
∵是方程的根,
∴.
∴.
∴原式.
【点睛】本题主要考查了分式的化简求值,一元二次方程的解.掌握分式的运算法则和整体代入求值是关键.
13.(1)1
(2),
【分析】(1)首先进行负整数指数幂、零指数幂、化简绝对值、有理数乘方的运算,再进行有理数的加减运算,即可求得结果;
(2)利用配方法解此方程,即可求解.
【详解】(1)解:
(2)解:由原方程得
配方得:,
得,
,
解得,,
所以,原方程的解为,.
【点睛】本题考查了负整数指数幂、零指数幂、化简绝对值、有理数乘方的运算,配方法解方程,熟练掌握和运用各运算法则是解决本题的关键.
14.(1)见解析
(2)
【分析】(1)表示出,根据的数值判断即可;
(2)利用公式求出两根,根据两根及其条件列出不等式,并解不等式即可.
【详解】(1)解:依题意,得
∵
∴方程总有两个实数根;
(2)解:方程
由(1)得
∴,∴,,
∵方程的一根大于2,一根小于1,
∴
∴.
∴m的取值范围是.
【点睛】本题考查了一元二次方程,相关知识点有:根的判别式、解一元二次方程等,熟悉一元二次方程的知识点是解题关键.
15.(1),
(2)
【分析】(1)利用因式分解法解一元二次方程即可;
(2)利用一元二次方程解的定义得到,则,代入即可得到答案.
【详解】(1)解:
原方程可化为,
∴或,
解得:,;
(2)∵关于的一元二次方程的一个实数根,
∴,
∴,
∴.
【点睛】此题考查了一元二次方程的解法和一元二次方程解的定义等知识,熟练掌握一元二次方程的解法和整体代入是解题的关键.
16.(1)
(2)1
【分析】(1)由题意可得根的判别式,据此得到不等式求解即可;
(2)有根与系数的关系可得;然后代入求出m的值即可.
【详解】(1)解:∵方程有实数根,
∴,整理得,解得,
∴实数m的取值范围是.
(2)解:由两根关系得,
∴,即,整理得:,解得:(不符合要求,舍去)或,
∴.
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别、根与系数的关系等知识点,熟练掌握一元二次方程根的判别和根与系数的关系是解题的关键.
17.(1)见解析
(2)12
【分析】(1)结合正方形的性质以及旋转的性质,根据“直等补”四边形的定义判断即可;
(2)过作于点,证明四边形是矩形,即有,再证明,即有,设,则,根据可得,解方程即可求解.
【详解】(1)四边形为“直等补”四边形,理由如下:
四边形是正方形,
,
将绕点旋转,使与重合,此时点的对应点在的延长线上,
,,
,
四边形
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