2023-2024学年北师大版数学九年级上册重点题型全归纳 2.1认识一元二次方程【过关练习】含解析

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2.1认识一元二次方程【过关练习】

学习目标

1.会根据具体问题列出一元二次方程。通过“花边有多宽”，“梯子的底端滑动多少米”等问题的分析，列出方程，体会方程的模型思想，培养把文字叙述的问题转换成数学语言的能力。

2.通过分析方程的特点，抽象出一元二次方程的概念，培养归纳分析的能力。

3.会说出一元二次方程的一般形式，会把方程化为一般形式。

学习重难点

重点:一元二次方程的概念

难点:如何把实际问题转化为数学方程

一．选择题

1．将一元二次方程化成一般形式时，它的二次项系数、一次项系数和常数项分别为

A．2，，1B．2，，C．，3，D．，，1

2．若方程的两根也是方程的根，则的值为

A．B．C．6D．0

3．方程的一般形式是

A．B．C．D．

4．若是方程的一个根，则的值为

A．B．C．3D．

5．下列方程中，是一元二次方程的是

A．B．C．D．

6．若是关于的一元二次方程的根，则的值为

A．2B．4C．D．

7．若是方程的一个根，则代数式的值是

A．B．2C．或2D．与2

8．下列方程是关于的一元二次方程的是

A．B．C．D．

9．已知下面三个关于的一元二次方程，，恰好有一个相同的实数根，则的值为

A．0B．1C．3D．不确定

10．已知3是关于的方程的一个解，则的值是

A．11B．12C．13D．14

二．填空题

11．若方程是关于的一元二次方程，则的值为．

12．当时，关于的方程是一元二次方程．

13．已知是方程的根，则．

14．已知是关于的一元二次方程的一个根，则的值为．

15．已知为一元二次方程的一个根，且，为有理数，则，．

16．方程的二次项系数是，一次项系数是．

17．若是关于的一元二次方程的一个解，则的值是．

18．若关于的一元二次方程是一元二次方程，则．

三．解答题

19．已知是关于的方程的一个根，求的值．

20．已知是方程的一个根，求代数式的值．

21．定义：如果关于的一元二次方程中常数项是该方程的一个根，则该一元二次方程就叫做常数根一元二次方程．

（1）已知关于的方程是常数根一元二次方程，则的值为；

（2）如果关于的方程是常数根一元二次方程，求的值．

22．已知关于的方程的常数项为0，

（1）求的值；

（2）求方程的解．

23．已知关于的一元二次方程的一个根是1，且、满足，求关于的方程的根．

24．试说明关于的方程无论取何值，该方程都是一元二次方程．

25．已知是关于的多项式，记为．

我们规定：的导出多项式为，记为．

例如：若，则的导出多项式．

根据以上信息，解答下列问题：

（1）若，则；

（2）若，求关于的方程的解；

（3）已知是关于的二次多项式，为的导出多项式，若关于的方程的解为整数，求正整数的值．

26．已知是方程的一个根，求代数式的值．

2023-2024学年北师大版数学九年级上册重点题型全归纳

2.1认识一元二次方程【过关练习】

学习目标

1.会根据具体问题列出一元二次方程。通过“花边有多宽”，“梯子的底端滑动多少米”等问题的分析，列出方程，体会方程的模型思想，培养把文字叙述的问题转换成数学语言的能力。

2.通过分析方程的特点，抽象出一元二次方程的概念，培养归纳分析的能力。

3.会说出一元二次方程的一般形式，会把方程化为一般形式。

学习重难点

重点:一元二次方程的概念

难点:如何把实际问题转化为数学方程

一．选择题

1．将一元二次方程化成一般形式时，它的二次项系数、一次项系数和常数项分别为

A．2，，1B．2，，C．，3，D．，，1

【答案】

【分析】一元二次方程的一般形式是：，，是常数且特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中叫二次项，叫一次项，是常数项．其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．

【解答】解：化成一元二次方程一般形式是，

它的二次项系数是2，一次项系数是，常数项是．

故选：．

2．若方程的两根也是方程的根，则的值为

A．B．C．6D．0

【分析】设是方程的一个根．根据方程解的意义知，既满足方程，也满足方程，将代入这两个方程，并整理，得．从而可知：方程的两根也是方程的根，

这两个方程实质上应该是同一个一元二次方程，然后根据同一个一元二次方程的定义找出相对应的系数间的关系即可．

【解答】解：设是方程的一个根，则，所以．

由题意，也是方程的根，所以，

把代入此式，得，整理得．

从而可知：方程的两根也是方程的根，

这两个方程实质上应该是同一个一元二次方程，

从而有（其中为常数），

所以，．

因此，．

故选：．

3．方程的一般形式是

A．B．C．D．

【分析】一元二次方程的一般形式：，是常数）．根据一元二次方程的一般形式解答：先去括号，然后移项、合并同类项．

【解答】解：由原方程，得

，

移项、合并同类项，得

，即；

化简得：

故选：．

4．若是方程的一个根，则的值为

A．B．C．3D．

【分析】将代入得到关于的方程，解之可得．

【解答】解：根据题意，将代入，得：，

解得：，

故选：．

5．下列方程中，是一元二次方程的是

A．B．C．D．

【答案】

【分析】只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．

【解答】解：．等号左边是分式，不属于一元二次方程，不符合题意；

．化简以后不含二次项，不属于二元二次方程，不符合题意；

．是一元二次方程，符合题意；

．含有两个未知数，不符合题意．

故选：．

6．若是关于的一元二次方程的根，则的值为

A．2B．4C．D．

【答案】

【分析】将代入方程后得到，根据，求出，可得结论．

【解答】解：把代入方程得，．

又，

方程两边同除以得，，

，

．

故选：．

7．若是方程的一个根，则代数式的值是

A．B．2C．或2D．与2

【答案】

【分析】根据方程的解的定义，是方程的解，则的值一定适合方程，将代入方程中，然后利用整体思想即可求出代数式的值．

【解答】解：把代入方程，

可得：，

．

故选：．

8．下列方程是关于的一元二次方程的是

A．B．C．D．

【答案】

【分析】利用一元二次方程的定义，逐一分析四个选项中的方程，即可得出结论．

【解答】解：．当时，原方程为一元一次方程，选项不符合题意；

．方程是分式方程，选项不符合题意；

．是一元一次方程，选项不符合题意；

．是一元二次方程，选项符合题意．

故选：．

9．已知下面三个关于的一元二次方程，，恰好有一个相同的实数根，则的值为

A．0B．1C．3D．不确定

【分析】把代入3个方程得出，，，3个方程相加即可得出，即可求出答案．

【解答】解：把代入，，得：

，，，

相加得：，

，

，

，

故选：．

10．已知3是关于的方程的一个解，则的值是

A．11B．12C．13D．14

【答案】

【分析】根据方程解的定义，将代入方程，得到关于的方程，再根据等式的基本性质，对等式进行变形，即可得出答案．

【解答】解：是方程的解，

，

整理，得．

故选：．

二．填空题

11．若方程是关于的一元二次方程，则的值为．

【分析】根据一元二次方程的定义求解，未知数的最高次数是2；二次项系数不为0，由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可．

【解答】解：由题意，得

，且，

解得，

故答案为：．

12．当时，关于的方程是一元二次方程．

【分析】根据一元二次方程的定义得到：且．由此求得的值．

【解答】解：关于的方程是一元二次方程，

且．

解得．

故答案为：．

13．已知是方程的根，则2023．

【答案】2023．

【分析】根据一元二次方程的解的定义得到，即，把代入原式，化简得，再通分得到原式，然后再把代入化简即可．

【解答】解：是方程的根，

，

，

．

故答案为：2023．

14．已知是关于的一元二次方程的一个根，则的值为1．

【分析】把代入方程求出，把化成代入求出即可．

【解答】解：把代入方程得：，

，

．

故答案为：1．

15．已知为一元二次方程的一个根，且，为有理数，则2，．

【答案】2，．

【分析】可得，代入得到，则，可得方程组，解方程组即可求解．

【解答】解：因为，

代入得，

则，

可得方程组，

解得．

故答案为：2，．

16．方程的二次项系数是2，一次项系数是．

【分析】先化成一元二次方程的一般系数，再找出系数即可．

【解答】解：，

，

二次项系数为2，一次项系数为7，

故答案为：2，7．

17．若是关于的一元二次方程的一个解，则的值是2．

【答案】2．

【分析】根据是已知方程的解，将代入方程即可求出的值．

【解答】解：将代入方程得：，

解得：．

故答案为：2．

18．若关于的一元二次方程是一元二次方程，则2．

【分析】一元二次方程的一般形式是：，，是常数且特别要注意的条件．

【解答】解：因为是关于的一元二次方程，这个方程一定有一个二次项，则一定是此二次项．

所以得到，解得．

三．解答题

19．已知是关于的方程的一个根，求的值．

【分析】把代入方程可得到关于的方程，可求得，然后整体代入求值．

【解答】解：是关于的方程的一个根，

．

．

．

20．已知是方程的一个根，求代数式的值．

【分析】根据方程解的定义，把代入得出关于的方程，求得的值，再代入即可得出答案．

【解答】解：是方程的一个根，

．

．

．

或

解：是方程的一个根，

．

．

解方程得．

把代入得得．

21．定义：如果关于的一元二次方程中常数项是该方程的一个根，则该一元二次方程就叫做常数根一元二次方程．

（1）已知关于的方程是常数根一元二次方程，则的值为0或；

（2）如果关于的方程是常数根一元二次方程，求的值．

【答案】（1）0或；

（2）或．

【分析】（1）根据常数根一元二次方程的定义，把代入方程，解关于的方程即可；

（2）根据常数根一元二次方程的定义，把代入方程，解关于的方程即可．

【解答】解：（1）关于的方程是常数根一元二次方程，

方程的一个根为，

代入方程得，，

解得或；

故答案为：0或；

（2）关于的方程是常数根一元二次方程，

方程的一个根为，

代入方程得，，

整理得，，

解得或．

22．已知关于的方程的常数项为0，

（1）求的值；

（2）求方程的解．

【分析】（1）首先利用关于的方程的常数项为0得出，进而得出即可；

（2）分别将的值代入原式求出即可．

【解答】解：（1）关于的方程的常数项为0，

，

解得：，，

的值为1或2；

（2）当时，，

解得．

当时，代入得出：

，

，

解得：，．

23．已知关于的一元二次方程的一个根是1，且、满足，求关于的方程的根．

【分析】首先根据、满足的关系式，求出、的值，然后解出，最后解的方程．

【解答】解：，满足，

，，

，

把代入，

得，

一元二次方程的一个根是1，

，又，，

，

关于的方程，

解得，．

24．试说明关于的方程无论取何值，该方程都是一元二次方程．

【分析】只要证明二次项系数不为零即可．

【解答】解：

又，

，

关于的方程无论取何值，该方程都是一元二次方程．

25．已知是关于的多项式，记为．

我们规定：的导出多项式为，记为．

例如：若，则的导出多项式．

根据以上信息，解答下列问题：

（1）若，则；

（2）若，求关于的方程的解；

（3）已知是关于的二次多项式，为的导出多项式，若关于的方程的解为整数，求正整数的值．

【答案】（1）；

（2）；

（3）1，3．

【分析】（1）利用题目已知的规定：的导出多项式为，记为，即可解答；

（2）根据题目已知的规定，求出导出的多项式，进行计算即可；

（3）根据题目已知的规