河南省许平汝部分学校2023届高三下学期4月联考理科数学试题含解析

第第页河南省许平汝部分学校2023届高三下学期4月联考理科数学试题（含解析）理科数学

注意事项：

1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合，则（）

A.B.

C.D.

2.设非纯虚数满足，则的虚部为（）

A.1B.C.D.

3.已知，则（）

A.B.

C.D.

4.函数的图象大致为（）

A.B.

C.D.

5.已知是数列的前项和，，则（）

A.B.2C.D.3

6.若某空间几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积为（）

A.19B.20C.21D.22

7.已知展开式的各项系数之和为，则展开式中的系数为（）

A.270B.C.330D.

8.已知四边形，下列说法正确的是（）

A.若，则四边形为平行四边形

B.若，则四边形为矩形

C.若，且，则四边形为矩形

D.若，且，则四边形为梯形

9.已知双曲线的左、右焦点分别为，圆与该双曲线的一条渐近线切于点，则的面积为（）

A.4B.2C.D.1

10.已知，下列说法正确的是（）

A.的最大值为8B.的最小值为2

C.有最小值D.有最大值4

11.如图为函数的图象，则函数的图象与直线在区间上交点的个数为（）

A.9个B.8个C.7个D.5个

12.已知中，为的中点.将沿翻折，使点移动至点，在翻折过程中，下列说法不正确的是（）

A.平面平面

B.三棱锥的体积为定值

C.当二面角的平面角为时，三棱倠的体积为

D.当二面角为直二面角时，三棱锥的内切球表面积为

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.执行如图所示的程序框图，输出的结果为__________.

14.已知，则__________.

15.已知十二地支：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥，十二生肖：鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪，它们是一一对应的关系，配对如下：子鼠、丑牛、寅虎、卯兔、辰龙、巳蛇、午马、未羊、申猴、酉鸡、戌狗、亥猪.同学们将十二地支与十二生肖分别用红蓝两种颜色做成外观完全相同的卡片每种一张.现从两种颜色的卡片中各取三张，地支与生肖能够全部正确配对的概率为__________.

16.已知函数图象上某点处的斜率为3，则实数的取值范围为__________.

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选做题，考生根据要求作答.

（一）必考题：共60分.

17.（本小题满分12分）已知数列的前项和为，满足.

（1）求数列的通项公式；

（2）设，数列的前项和为，证明：.

18.（本小题满分12分）已知四棱锥，底面为菱形平面，为上一点.

（1）平面平面，证明：；

（2）当二面角的余弦值为时，试确定点的位置.

19.（本小题满分12分）近年来，我国清洁能源产业不断发展壮大，清洁能源消费量占能源消费总量的比重持续增长.近5年（2023年记为第1年）我国清洁能源消费量占能源消费总量的比重统计如下：

（1）根据所给数据，求比重关于第年的回归方程，并估计到2030年我国清洁能源消费量占能源消费总量的比重是否有可能超过；

（2）某市积极响应政府号召，鼓励企业积极使用清洁能源，使用清洁能源的企业达40%.若从该市10家企业中随机抽取3家，用表示所选3家中使用清洁能源的数量，求的分布列和数学期望.

附：.

20.（本小题满分12分）已知椭圆，左右焦点分别为，直线与椭圆交于两点，弦被点平分.

（1）求直线的方程；

（2）求的面积.

21.（本小题满分12分）已知函数.

（1）若函数单调递减，求实数的取值范围；

（2）若函数在上有两个实根，证明：.

（二）选做题：共10分.

请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.

22.（本小题满分10分）[选修4-4：坐标系与参数方程]

在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以平面直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，取与平面直角坐标系相同的长度单位建立极坐标系，设直线的极坐标方程为.

（1）求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；

（2）若直线与曲线交于两点，求线段的长.

23.（本小题满分10分）[选修4-5：不等式选讲]

已知.

（1）当时，求使得的的取值集合；

（2）当时，若对于任意实数，不等式恒成立，求实数的取值范围.

参考答案

1.C由已知得，故.

2.A令（，且），，则，所以，解得，则，所以的虚部为1.

【易错提醒】复数的虚部不含虚数单位.

3.【解题提示】在处理比较大小问题时，可结合常见的比较大小的方法：单调性、图象法、中间值等.

D，故.

4.【解题提示】在看图选式或看式选图的题目中，会综合考查函数的性质，考生可根据定义域、奇偶性、对称性、特珠值、值城、单调性、周期性等作出判断.

B当时，，排除A选项；

因为，所以为偶函数，排除；

当时，，

时，晅成立，单调递增；

因为，所以存在，便得，

故在上单调递增，在上单调递诚，排除.

5.D，所以数列是周期为4的摆动数列，，故.

6.B由题图可知，该几何体分上、下两部分，上面是棱长为1的正方体，下面为长、宽、高分别为的长方体，表面积.

7.【解题提示】考生在解答时需明确二项式展开的实质——乘法分配律，掌握常见的解题方法，如赋值法.

D令，则，得.所以，的系数为.

8.A由向量的意义可知A正确.

B选项，如图可知B错误.

C选项，可以是等要梯形，故错误.

D选项，可以是平行四边形，故错误.

9.D由题意可知，，且，其中一条渐近线的方程为①.

所以，所以，将代入圆的方程得②，联立①②可得点的坐标为，所以.

10.【解题提示】注意不等式运用的三个条件“一正、二定、三相等”，考查了不等式的变形运用，考查较为综合.

BA选项，，故，当且仅当时等号成立，故的最小值为8，A错误；

B选项，原式化为，故，故，所以，当且仅当时等号成立，B正确；

C选项，原式化为，故，当且仅当时等号成立，C错误；

D选项，，当且仅当时等号成立，故有最小值，D错误.

11.C由题图得，所以，

因为，

所以，

因为，所以，

所以，，

令，解得有7个值，故的图象与直线在此区间上有7个交点.

12.B如图：

A选项，，所以平面，因为平面，故平面平面，A正确，不符合题意.

B选项，由知平面，但的面积不是定值，故三棱锥的体积不是定值，错误，符合题意.

C选项，二面角的平面角为，当时，，

三棱锥的体积为，C正确，不符合题意.

D选项，当二面角为直二面角时，，三棱锥的表面积为，

设内切球半径为，则由等体积法知，解得，所以内切球表面积，D正确.

13.【解析】第一步：，执行否；

第二步：，执行否；

第三步：，执行是，输出4.

答案：4

14.【解析】，因为，所以，

又因为，故或，

当时，解得，

当时，解得，

所以.

答案：

【易错提醒】求解三角函数相关问题时需注意角的范围对结果的影响.

15.【解析】.

答案：

16.【解题提示】学会将方程有解问题转化为函数的交点问题.

【解析】，由已知得有解，

即有解，则，令.

令得有最小值，故.

答案：

17.【解析】（1）因为，则化为，

即，所以，

解得，2分

当时，，4分

不满足上式，

所以.6分

（2），8分

.12分

【易错提醒】在运用时需注意要单独验证.

18.【解析】（1）因为平面平面，

所以平面，2分

又因为平面平面，所以.4分

（2）取中点，则，

以为坐标原点，所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示空间直角坐标系.

6分

所以，

设，

所以，8分

设平面的法向量，则有

，即

令，则.

平面的一个法向量为，10分

所以.

解得，

即当点为棱中点时满足条件.12分

19.【解析】（1）由题图可知，与满足线性回归方程，得表：

第年12345

比重20.522.123.324.325.5

，

，

，

，2分

，

故回归直线方程为.4分

2030年是第14年，此时，

即2030年我国清洁能源消费量占能源消费总量的比重约为，故可判断有可能超过.6分

（2）由题意可知，8分

，

，

，

，

所以的分布列为：

0123

10分

数学期望12分

20.【解题提示】（1）点差法的应用；

（2）直线与圆锥曲线相交所构成三角形的面积，可采用面积分割法或者运用弦长与点到直线的距离求解.

【解析】（1）设交点坐标，2分

则两式相减得：，

所以直线的斜率，4分

故直线的方程为6分

（2），

联立椭圆与直线方程得，8分

所以，

所以，10分

又因为直线过点，

所以.12分

21.【解题提示】（1）函数单调递减等价于其导函数小于等于零恒成立；

（2）通过等价转化将两个变量转化为单一变量.令，只需证.

【解析】（1），1分

若函数单调递减，则恒成立，即，2分

令，

故的单调递增区间是的单调递减区间是，

故3分

所以的取值范围为4分

（2）设的两个实根，

则，

所以，6分

令，

则（*）式化为，所以，

解得

要证，只需证，

即证8分

令，

则恒成立，

所以在上单调递增，且，10分

所以在上恒成立，

所以.12分

22.【解析】（1）消去参数得曲线的方程为.2分

直线的极坐标方程为，

即，

根据可知，

转换成直角坐标方程为.5分

（2）设两点的坐标