四川省名校2023届高三下学期高考仿真测试二数学理试卷含解析

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学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题

1、已知集合,若,则实数m的取值范围是()

A.B.C.D.

2、“”是“,是假命题”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

3、在各项均为正数的等比数列中,,则()

A.1B.C.4D.

4、从分别写有1,2,3,4,5,6的六张卡片中无放回随机抽取两张,则抽到的两张卡片上的数字之积是3的倍数的概率为()

A.B.C.D.

5、函数在区间上的图象大致为()

A.B.

C.D.

6、如图,在长方体中,底面ABCD为正方形,E,F分别为,CD的中点,直线BE与平面所成角为,给出下列结论:

①平面;

②;

③异面直线BE与所成角为;

④三棱锥的体积为长方体体积的.

其中,所有正确结论的序号是()

A.①②③B.①②④C.②③③D.①②③④

7、一个算法的程序框图如图所示,该程序输出的结果为,则空白处应填人的条件是()

A.B.C.D.

8、设,,则a,b,c的大小关系是()

A.B.C.D.

9、已知中,,,AD与BE交于点P,且,则()

A.B.C.D.

10、已知三棱锥的四个顶点在球O的球面上,,是边长为2的正三角形,E,F分别是PA,AB的中点,,则球O的体积为()

A.B.C.D.

11、已知双曲线,其焦点到渐近线的距离为6,则下列说法错误的是()

A.

B.双曲线C的渐近线方程为:

C.双曲线C的离心率为

D.双曲线C上的点到焦点距离的最小值为2

12、已知函数,若方程有两个不相等的实数根,则实数k的取值可以是()

A.B.C.2D.4

二、填空题

13、的展开式中的系数为____________.

14、数在上单调递增,则的最大值为_________.

15、过抛物线的焦点F且倾斜角为锐角的直线与C交于两点$A,B(横坐标分别为，，点A在第一象限)，为C的准线,过点A与垂直的直线与相交于点M.若,则________.

16、已知函数,若存在,使得成立,则的最小值为___________.

三、解答题

17、如图,在平面四边形ABCD中,,,.

(1)若,求的面积;

(2)若,求BC.

18、现有三个白球,十五个红球,且甲、乙、丙三个盒子中各装有六个小球.

(1)若甲、乙、丙三个盒子中各有一个白球,且小明从三个盒子中任选两个盒子并各取出一个球,求小明取出两个白球的概率;

(2)若甲盒中有三个白球,小明先从甲盒中取出一个球,再从乙盒中取出一个球,最后再从丙盒中取出一个球,如此循坏,直至取出一个白球后停止取球,且每次取球均不放回.若小明在第X次取球时取到白球,求X的概率分布和数学期望.

19、如图,在四棱锥中,已知四边形ABCD是边长为的正方形,点S在底面ABCD上的射影为底面ABCD的中心O,点P在棱SD上,且的面积为1.

(1)若点P是SD的中点,证明:平面平面PAC;

(2)在棱SD上是否存在一点P,使得直线SA与平面PAC所成的角的正弦值为若存在,求出点P的位置;若不存在,说明理由.

20、已知椭圆的短轴长为,左顶点A到右焦点F的距离为3.

(1)求椭圆C的方程及离心率;

(2)设直线l与椭圆C交于不同两点M,N(不同于A),且直线AM和AN的斜率之积与椭圆的离心率互为相反数,求F在l上的射影H的轨迹方程.

21、已知函数.

(1)是否存在实数a使得在上的最小值为,如果存在,求出a的值;如果不存在,请说明理出;

(2)已知函数有两个不同的零点,记的两个零点是,.

①求证:;

②求证:.

22、在直角坐标系xOy中,已知曲线C的参数方程为(t为参数),以O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为(为直线l的倾斜角).

(1)求直线l的直角坐标方程和曲线C的普通方程;

(2)设,直线l与曲线C相交于A,B两点,求的最大值.

23、不等式对于恒成立.

(1)求证:;

(2)求证:.

参考答案

1、答案：C

解析：，.故选C.

2、答案：B

解析：由题意,可得命题“，”是真命题,当即时,不等式恒成立;当时,应满足,解得,综上可得,实数;即命题“，”是假命题时m的范围是,又由“”是“”的必要不充分条件,故选B.

3、答案：D

解析：，故选D

4、答案：A

解析：在六张卡片中随机抽两张的所有方法为种,两张卡片数字之积是3的倍数有种,故概率为.故选A.

5、答案：B

解析：由题得,,可知为奇函数,排除C、D选项;当时,,故选B.

6、答案：D

解析：

7、答案：A

解析：运行程序,,判断是,,判断是,,判断是,,判断是,,判断是,,判断是,

，,判断是,

,判断是,

,判断是,

，,

此时,需要退出程序,输出S的值.

故填“”,

故选A.

8、答案：D

解析：由题，，.

构造函数，则，

可知单调递增,当时,，

故在时单调递减,则，

此时,则.

构造,则，

可知时,单调递减,.

故在时单调递增,则，

此时,,则有.

综上所述,,故选D.

9、答案：B

解析：由题意得

，

又

,

,解得，，，

故选B.

10、答案：D

解析：如图,由，是边长为2的正三角形,

可知三棱锥为正三棱锥,则顶点P在底面的射影O为底面三角形的中心,

连接BO并延长,交AC于G,则,又,,

可得平面PBG,则,E,F分别是PA,AB的中点,,

又,即,,得平面PAC,正三棱锥的三条侧棱两两互相垂直,把三棱雉补形为正方体,则正方体外接球即为三棱锥的外接球,其直径为,半径为,则球O的体积为,

故选D.

11、答案：A

解析：依题意双曲线的标准方程为中,，,故A不正确,双曲线的渐近线方程为，焦点到渐近线的距离为,即,由①②可得，，双曲线的方程为,从而可得到BCD均正确.故选A.

12、答案：D

解析：如图,作出函数，的大致图象,当时,，

,故在点处的切线斜率为，直线过定点，

当时,与图象有一个交点；直线过点时,,此时与图象有2个交点;当时,与图象有一个交点;当时,与图象有2个交点;综上,当时,与图象有2个交点,故方程有两个不相等的实数根,则实数k的取值可以是4,故选D.

13、答案：9

解析：的系数为.

14、答案：

解析：在上单调,,

当时,，，,要满足单调递增,则只需,解得.

15、答案：9

解析：如图,由抛物线定义知,而，为等边三角形,,故直线的倾斜角为,直线的方程为.

由,得,即,

则,故.

16、答案：

解析：

17、答案：(1)

(2)

解析：(1)由,

则,

，

故,

.

(2)设,则,

,

,

在内,,

即,

即,

即,

故,

即,

即,

即,

或(舍),

,

18、答案：(1)

(2)

解析：(1).

(2)X可取1,4,7,10,

，

，

，

X分布列如下

X14710

P

.

19、答案：(1)见解析

(2)存在点P符合题意,点P为棱SD上靠近端点D的三等分点

解析：(1)点S在底面ABCD上的射影为点O,

平面ABCD,

四边形ABCD是边长为的正方形,

,

,

,

即:,

又,点P是SD的中点,

,同理可得:,

又,且AP,平面PAC,

平面PAC,

又平面SCD,

平面平面PAC.

(2)如图,连接OB,易知OB,OC,OS两两互相垂直,

分别以OB,OC,OS为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,则,,,

假设存在点P使得直线SA与平面PAC所成的角的正弦值为,

点P在棱SD上,不妨设,

又，，

，，

设平面PAC的法向量为,

则,

令,则,又,

设直线SA与平面PAC所成的角为,则,

，

即,解得:或(不合题意,舍去),

存在点P符合题意,点P为棱SD上靠近端点D的三等分点.

20、答案：(1)

(2)

解析：(1)设椭圆C的半焦距为c,由已知,

又.

解得,故椭圆C的方程为.

椭圆C的离心率.

(2)当直线l垂直于y轴时,直线AM,AN的斜率乘积为正,与已知矛盾.

故可设l的方程为,代入,

并整理得.

设,则,.(*)

,由,

得.

整理得,将式代入,

得,

,化简得,

解得(此时恒成立),

直线l经过定点,

又,

H的轨迹是以PF为直径的圆(除去点F),

故点H的轨迹方程为.

21、答案：(1)

(2)见解析

解析：(1)，.

则,

当时,恒成立,函数单调递增,没有最值;

当时,令,

解得,负值舍去,

当时,,函数单调递减,

当时,,函数单调递增,

当时,函数取到最小值,

，

解得,

存在满足条件的.

(2)由,得,令,

则,

令,解得,函数在上单调递减,在单调递增,

故在上有唯一最小值点,

若方程有两个不同的零点,

则,且,

①函数的图象在点，处的切线方程分别为和,

且在内,在上,先证:

即,即,

,令,解得,

在上单调递减,在上单调递增,

；

再证:,即,

令,

则恒成立,

在上单调递减,,

令,

即可得,

即,

②,则,

若证,即证,

即,即,

即证,

即，

令,即证明,令,显然,

，

令，

，，

故在区间，上单调递减,

在区间，上单调递增,又因，在区间上单调递增,故,在区间上单调递增,,则不等式