江西省吉安市青原区双校联盟2022-2023学年高二下学期期末考试数学试题含解析

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数学试卷

一、单选题（每题5分，共40分）

1．设集合，，则（）

A．B．C．D．

2．双曲线的渐近线方程是（）

A．B．C．D．

3．已知公差不为零的等差数列的前项和为，，则（）

A．17B．34C．48D．51

4．2023年初，新型冠状肺炎在欧洲爆发后，我国第一时间内向相关国家捐助医疗物资，并派出由医疗专家组成的医疗小组奔赴相关国家.现有四个医疗小组甲、乙、丙、丁，和有4个需要援助的国家可供选择，每个医疗小组只去一个国家，设事件A=“4个医疗小组去的国家各不相同”，事件B=“小组甲独自去一个国家”，则（）

A．B．C．D．

5．已知是圆上不同的两个动点，为坐标原点，则的取值范围是（）

A．B．

C．D．

6．1999年12月1日，大足石刻被联合国教科文组织列为《世界遗产名录》，大足石刻创于晚唐，盛于两宋，是中国晚期石窟艺术的杰出代表作.考古科学家在测定石刻年龄的过程中利用了“放射性物质因衰变而减少”这一规律.已知样本中碳的含量（单位：太贝克）随时间（单位：年）的衰变规律满足函数关系：，其中为时碳的含量，已知时，碳的含量的瞬时变化率是（太贝克/年），则（）太贝克.

A．B．C．D．

7．设函数的定义域是，且满足：（1）对于任意的，；（2）对于任意的，恒有.则下列结论：①对于任意的，；②在上单调递减；③的图象关于直线对称，其中正确结论的个数是（）

A．0B．1C．2D．3

8．已知，则（）

A．B．

C．D．

二、多选题（每题5分，共20分）

9．已知是等比数列，，，则公比（）

A．B．C．2D．

10．下列说法正确的是（）

A．若不存在，则曲线在点处也可能有切线

B．若曲线在点处有切线，则必存在

C．若不存在，则曲线在点处的切线斜率不存在

D．若曲线在点处没有切线，则有可能存在

11．在现实世界，很多信息的传播演化是相互影响的.选用正实数数列，分别表示两组信息的传输链上每个节点处的信息强度，数列模型：，描述了这两组信息在互相影响之下的传播演化过程.若两组信息的初始信息强度满足，则在该模型中，关于两组信息，则如下结论正确的是（）

A．，

B．，，

C．，使得当时，总有

D．，使得当时，总有

12．已知方程(为常数)，下列说法正确的有（）

A．为方程实根B．

C．方程在无实根D．方程所有实根之和大于

三、填空题（共20分）

13．已知，则.

14．甲、乙、丙、丁4人站到共有5级的台阶上，若每级台阶最多站2人，且同一级台阶上的人不分次序，则不同的站法种数是．（用数字写答）

15．如图，在三棱柱中，底面为正三角形，且侧棱底面，底面边长与侧棱长都等于2，，分别为，的中点，则平面与平面之间的距离为．

16．任意实数a，b，定义，设函数，数列是公比大于0的等比数列，且，则.

四、解答题（共70分）

17．已知的三个顶点分别为，，.

(1)求边上的高所在直线的方程；

(2)求边上的中线所在直线的方程.

18．已知等差数列的前项和为，.

(1)求的通项公式；

(2)记数列的前项和为，求.

19．从0-9这10个数字取出3个数字，试问：

(1)能组成多少个没有重复数字的三位数？

(2)能组成多少个没有重复数字的三位数奇数？

20．如图1，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝4，BC＝2，∠DAB＝60°，点E，F在以AD为直径的半圆上，且，将半圆沿AD翻折如图2．

(1)求证：EF∥平面ABCD；

(2)当多面体ABE﹣DCF的体积为4时，求平面ABE与平面CDF夹角的余弦值．

21．已知椭圆的左顶点为，上顶点为，右焦点为，为坐标原点，线段的中点为，且．

(1)求方程；

(2)已知点、均在直线上，以为直径的圆经过点，圆心为点，直线、分别交椭圆于另一点、，证明直线与直线垂直．

22．已知函数.

(1)当时，讨论的单调性；

(2)当时，恒成立，求实数的取值范围.

1．B

因为，，

所以.

故选：B

2．C

因为，所以其渐近线方程为.

故选：C.

3．D

设公差为，则，，

，，

则.

故选：D.

4．A

事件A=“4个医疗小组去的国家各不相同”，事件B=“小组甲独自去一个国家”，

则，，，

故选：A.

5．C

圆的圆心坐标，半径，

设圆心到直线的距离为，

由圆的弦长公式，可得，即，解得，

设的中点为，

点的轨迹表示以为圆心，以为半径的圆，

的轨迹方程为，

因为，

又，，

即,

即的取值范围为.

故选：C

6．B

由题意，所以．．

所以．

故选：B．

7．B

由题意，令，

则不等式等价于，

由（1）对于任意的，，

则，

所以，

当且仅当，即时成，

此时函数关于对称，所以③是正确的；

令，可得，所以①不正确；

又由

则不等式等价与，可得，

因为对于任意的，，所以，

所以恒成立，所以函数是常数函数，

则，此时函数在单调递减，在单调递增，所以在上不一定单调递减，所以②不正确.

故选B.

8．B

因为，所以，

又因为，所以，即；

构造，则，

令，解得，则在上单调递减，

所以，

即，则，可得；

综上所述：.

故选：B.

9．AD

由题意可得，解得或

故选：AD

10．AC

，不存在只能说明曲线在该点处的切线斜率不存在；

当斜率不存在时，切线也可能存在，其切线方程为，故AC正确.

故选：AC.

11．ABC

因为，两式相减有：，

因为，所以，

所以，，故A正确；

因为，所以，

因为数列，是正实数数列，所以，，

所以，，，故B正确；

由上可知，因为为常数，为递增数列，

故当时，，又，所以，使得当时，总有，故C正确；

因为，又，

所以，

因为为常数，为递增数列，所以当时，，，故D错误.

故选：ABC.

12．ACD

方程可化为,

即，令，则或，

令，，

令，所以在单调递增，在单调递减，

且，所以，故B错误，

故当时，，此时方程在无实根，A正确，

令的两个根为且则，

又，

令

则，

当无限接近1时，接近于，

令,则,

所以在上单调递减，

由于，所以，故，

所以，

故在上单调递增，

，故在上单调递减，故，

即，故

，即可

又时

所以方程所有实根之和大于.

故选：ACD

13．-2

因为，故.

故答案为：-2

14．540

由题意可以分以下三种情形：

1．没有二人在同一台阶，则有种方式；

2．只有二人在同一台阶，则有种方式；

3．有二人在同一台阶，另二人也同在另一个台阶上，则有，所以一共有种方式.

故答案为：540

15．

如图，连接，则，且，

所以四边形为平行四边形，所以，

平面，平面，所以平面，

又，平面，平面，所以平面，

又，平面，所以平面平面，

∴平面与平面间的距离即为点到平面的距离.

根据题意，底面，，两两垂直，

则以为原点，分别以，，所在的直线为轴建立空间直角坐标系，

∵，，，，

，

设为平面的法向量，则，

即，取可得，

点到平面的距离记为d，

则d＝＝＝，

∴平面与平面间的距离为.

故答案为：.

16．

∵对任意实数a，b，定义，

∴函数，

由数列是公比大于0的等比数列，且，

①当时，∵

∴，，

由等比数列通项公式可得，

∴，

整个数列为，

∵，

∴，

即，

由对数运算，

∴化简后可得，

即，

∴.

②当时，，

此时，

，

∴不成立.

③当时，，∴，

整个数列为，

∴，，

∵，

∴，

即，

由对数运算，

∴化简后可得，

∵当时，，

∴等式左边大于0，等式右边小于0，方程无解.

综上所述，.

故答案为：.

17．(1)

(2)

（1）由题意得，且，所以.

则边上的高所在直线的方程为，化简得.

（2）由题知的中点，所以，

则边上的中线所在直线的方程为，化简得.

18．(1)

(2)

（1）解：设等差数列的公差为，由已知得，解得，

故.

（2）解：，

所以.

19．(1)648；

(2)320；

（1）由题意，第一类，不含0：个；

第二类，个位数字是0：个；

第三类，十位数字是0：个；

根据分类计数原理，能组成个没有重复数字的三位数；

（2）由题意，第一类：个位数字是1时，百位不能为0，个；

第二类:个位数字是3时，百位不能为0，个；

第三类:个位数字是5时，百位不能为0，个；

第四类:个位数字是7时，百位不能为0，个；

第五类:个位数字是9时，百位不能为0，个；

根据分类计数原理，能组成个没有重复数字的三位数奇数.

20．(1)证明见解析

(2)

（1）证明：连接，，，六边形为正六边形，则，

在翻折过程中，，平面，平面，

所以平面．

（2）连接，分别交于，，则，，

翻折过程中，平面，平面，，

，，所以平面，同理平面，

所以平面平面．又因为，

则三棱柱为直三棱柱，，，

且，，．

设，所以，

．

所以，即，，，为二面角的平面角，

即平面平面．以为坐标原点，，，所在的直线为，，轴，

建立空间直角坐标系如图，

则,,，，，,2,，,3,，,2,，

，

设平面的一个法向量，有，

令得，同理可得平面的法向量，

设平面与平面的夹角为，观察图可知其为锐角，则，

所以平面与平面的夹角的余弦值为．

21．(1)

(2)证明见解析

（1）由题意知：，，则，而，

∴，即，又，

∴，解得或（舍去），故，

∴的方程.

（2）令，，则，而，

∴，，

联立椭圆方程，整理得，显然，

若，则，得，则，即，

同理，整理得，显然，

若，可得，则，即.

∴，

又，则，所以，故，而，

∴，则直线与直线垂直，