重庆市渝中区重点中学2022-2023学年九年级上学期期末数学试卷（含答案）

-2023学年重庆市渝中区重点中学九年级上学期期末数学试卷一．选择题（共12小题，满分44分）1．下列食品标识中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．绿色饮品 B．绿色食品 C．有机食品 D．速冻食品2．（4分）二次函数y＝﹣2（x+3）2﹣4的图象顶点坐标是（）A．（3，4） B．（3，﹣4） C．（﹣3，4） D．（﹣3，﹣4）3．（4分）计算（a2）3的结果是（）A．a5 B．a6 C．a8 D．以上都不对4．（4分）如图，△ABC与△DEF是位似图形，位似中心为O，OA：OD＝3：7，S△ABC＝9，则△DEF的面积为（）A．12 B．16 C．21 D．495．（4分）如图所示的曲线表示的是重庆某日空气质量指数I随时间t（单位：h）的变化情况，则当I取得最大值时，对应的t的值大约为（）A．8 B．12 C．16 D．206．（4分）估计的值在（）A．4到5之间 B．5到6之间 C．6到7之间 D．7到8之间7．（4分）小明同学为庆祝建国71周年，用五角星按一定规律摆出如图案，第9个图案需要（）颗五角星．A．24 B．27 C．28 D．308．（4分）小希同学有一块长12cm，宽10cm的矩形卡纸，准备制作一个无盖的小礼盒．如图，她将矩形卡纸的四个角各剪掉一个边长为xcm的正方形后，剩余的部分刚好能围成一个底面积为48cm2的无盖长方体小礼盒．根据题意可列方程为（）A．（12﹣x）（10﹣x）＝48 B．12×10﹣4x2＝48 C．（12﹣2x）（10﹣2x）＝48 D．12×10﹣4x2﹣（12+10）x＝489．（4分）如图，AB是半圆O的直径，点P在AB的延长线上，PC切半圆O于点C，连接AC．若∠CPA＝20°，则∠A的度数为（）A．20° B．70° C．45° D．35°10．（4分）如图，在正方形ABCD，BE平分∠CBD，EF⊥BD于点F，若，则BC的长为（）A．2 B． C． D．111．（4分）若关于x的不等式组无解，且关于y的分式方程＝﹣1有正整数解，则所有满足条件的a的值之和为（）A．16 B．15 C．13 D．1212．（4分）烤鸭店据下表数据烤制，设鸭的质量为x千克，烤制时间为t分钟，当x＝5.5时，t为（）鸭的质量x/千克0.511.522.533.54烤制时间t/分30507090110130150170A．190 B．230 C．250 D．280二．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）13．（4分）＝．14．（4分）两个人做游戏：每个人都从﹣1，0，1这三个数中随机选择一个写在纸上，则两人所写的两个数相等的概率为．15．（4分）如图，菱形ABCD的边长为4，∠BAD＝120°，分别以B、D为圆心，AB长为半径画弧，图中阴影部分的面积为．（结果保留π）16．（4分）某公司今年缴税a万元，预计该公司缴税的年平均增长率为20%，则预计从今年直到后年该公司共应缴税万元．三．解答题（共9小题，满分86分）17．（8分）计算：（1）x（x+2y）﹣（x+y）（x﹣y）；（2）（m+）÷．18．（8分）综合与实践【问题情境】南宁是广西种植火龙果面积最大产量最多的区域．火龙果性甘平，营养成分丰富，包括蛋白质、酶、膳食纤维、维生素B2、维生素B3、维生素C等，果核内更含有高浓度天然色素花青素（尤以红肉为最）．某学校数学兴趣小组为了解①号、②号两个品种火龙果产量情况．【实践发现】在某火龙果果园种植基地各随机抽取25株①号、②号两个品种火龙果调查（每株火龙果每年所结的火龙果个数用a表示，共分为三个等级：不合格a＜45，良好45≤a＜65，优秀65≤a＜85），下面给出了部分信息：①号品种25株果树所结火龙果个数分别为：36，47，68，82，27，27，35，46，55，48，48，57，66，57，66，58，61，75，36，57，71，47，46，71，38②号品种25株果树所结火龙果个数处于“良好”等级包含的所有数据为：64，54，51，62，54，63，51，63，64，54【实践探究】抽取的①号、②号品种火龙果树所结火龙果个数的统计表品种平均数众数中位数方差“优秀”等级所占百分比①号535755215.04Y%②号5354x236.2420%​抽取的②号品种每株果树所结火龙果个数扇形统计图​【问题解决】（1）填空：x＝，y＝，m＝；（2）请用统计数据分析哪个品种的火龙果产量比较稳定，并说明理由；（3）根据以上数据，你认为应建议果农选择哪个品种种植？请说明理由（写出一条理由即可）．19．（10分）如图，小明在方格纸中选择格点作为顶点画▱ABCD和△BCE．（1）请你在方格纸中找到点D，补全▱ABCD；（2）若每个正方形小格的边长为1，请计算线段CE的长度并判断AD与CE的位置关系，并说明理由．20．（10分）如图，一次函数y＝x+m的图象与反比例函数y＝的图象交于A，B两点，且与x轴交于点C，点A的坐标为（2，1）．（1）求m及k的值；（2）连接OA，OB，求△AOB的面积；（3）结合图象直接写出不等式组0＜x+m≤的解集．21．（10分）南海是我国的南大门，如图所示，某天我国一艘海监执法船在南海海域正在进行常态化巡航，在A处测得北偏东30°方向上，距离为20海里的B处有一艘不明身份的船只正在向正东方向航行，便迅速沿北偏东75°的方向前往监视巡查，经过一段时间，在C处成功拦截不明船只，问我海监执法船在前往监视巡查的过程中大约行驶了多少海里（最后结果保留整数）？（参考数据：cos75°＝0.26，sin75°＝0.97，tan75°＝3.73，＝1.7，＝1.4）22．（10分）某服装店销售一款服装，每件成本为50元．经市场调研，当该款服装每件的售价为60元时，每个月可销售300件；若每件的售价增加1元，则每个月的销售量将减少10件．（1）若该服装店某月销售该款服装200件，求这个月每件服装的售价；（2）若该服装店希望销售该款服装每月获利3000元，且尽量给客户实惠，则每件服装的售价应定为多少？23．（10分）化简下列各式：（1）﹣3x2y+2x2y+3xy2﹣xy2；（2）4x2﹣（2x2+x﹣1）+（2﹣x2+3x）；（3）（2x2y+3xy2）﹣（x2y﹣3xy2）；（4）4m2n﹣2（2mn﹣m2n）+mn．24．（10分）如图，已知直线y＝﹣2x+4分别交x轴、y轴于点A、B，抛物线过A，B两点，点P是线段AB上一动点，过点P作PC⊥x轴于点C，交抛物线于点D．（1）若抛物线的顶点M的坐标为（，），其对称轴交AB于点N，①求抛物线的解析式；②是否存在点P，使四边形MNPD为菱形？并说明理由；（2）当点P的横坐标为1时，是否存在这样的抛物线，使得以B、P、D为顶点的三角形与△AOB相似？若存在，求出满足条件的抛物线的解析式：若不存在，请说明理由．25．（10分）问题提出（1）如图①，已知正方形ABCD的边长为4，E是BC的中点，将线段AE绕点E顺时针旋转90°得到线段FE，连接CF，求CF的长；问题解决（2）为了解乡村生活、体验乡村水土风情、享受田园风光，某校计划利用空地修建蔬菜种植基地，让学生自己种植，自己管理，学习种植技术，体验丰收的喜悦．已知蔬菜种植基地ABCD的设计示意图如图②所示，其中AD∥BC，BC＝CD＝100m，∠C＝60°，E为CD上一点，且不与C，D重合，∠AEB＝60°．按设计要求，△ABE中种植叶菜类，其余种植根茎类．设CE的长为x（m），蔬菜种植基地的面积为y（m2）．①求y与x之间的函数关系式；②当种植叶菜类的面积恰好与根茎类的面积相等时，求AB的长．答案解析一．选择题（共12小题，满分44分）1．下列食品标识中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．绿色饮品 B．绿色食品 C．有机食品 D．速冻食品【答案】D【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意；D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；故选：D．2．（4分）二次函数y＝﹣2（x+3）2﹣4的图象顶点坐标是（）A．（3，4） B．（3，﹣4） C．（﹣3，4） D．（﹣3，﹣4）【答案】D【分析】根据二次函数的解析式结合二次函数的性质，即可找出二次函数图象的顶点坐标，此题得解．【解答】解：∵二次函数解析式为y＝﹣2（x+3）2﹣4，∴二次函数图象的顶点坐标为（﹣3，﹣4）．故选：D．3．（4分）计算（a2）3的结果是（）A．a5 B．a6 C．a8 D．以上都不对【答案】B【分析】直接利用幂的乘方运算法则计算得出答案．【解答】解：（a2）3＝a6．故选：B．4．（4分）如图，△ABC与△DEF是位似图形，位似中心为O，OA：OD＝3：7，S△ABC＝9，则△DEF的面积为（）A．12 B．16 C．21 D．49【答案】D【分析】直接利用位似图形的性质得出位似比，进而得出面积比，即可得出答案．【解答】解：∵△ABC与△DEF是位似图形，位似中心为O，OA：OD＝3：7，∴S△ABC：S△DEF＝9：49，∵S△ABC＝9，∴△DEF的面积为：49．故选：D．5．（4分）如图所示的曲线表示的是重庆某日空气质量指数I随时间t（单位：h）的变化情况，则当I取得最大值时，对应的t的值大约为（）A．8 B．12 C．16 D．20【答案】B【分析】结合图象可得I最大时，对应的t的值约为12．【解答】解：根据图象可以看出I最大时，对应的t的值约为12．故选：B．6．（4分）估计的值在（）A．4到5之间 B．5到6之间 C．6到7之间 D．7到8之间【答案】A【分析】根据算术平方根的定义估算无理数的大小，进而得到﹣3的大小即可．【解答】解：原式＝﹣3，∵72＝49，82＝64，而49＜56＜64，∴7＜＜8，∴4＜﹣3＜5，故选：A．7．（4分）小明同学为庆祝建国71周年，用五角星按一定规律摆出如图案，第9个图案需要（）颗五角星．A．24 B．27 C．28 D．30【答案】C【分析】设第n个图案需要an（n为正整数）颗五角星，根据各图形中五角星颗数的变化，可找出变化规律“an＝3n+1（n为正整数）”，再代入n＝9即可得出结论．【解答】解：设第n个图案需要an（n为正整数）颗五角星．观察图形，可知：a1＝3×1+1，a2＝3×2+1，a3＝3×3+1，…，∴an＝3n+1，∴a9＝3×9+1＝28．故选：C．8．（4分）小希同学有一块长12cm，宽10cm的矩形卡纸，准备制作一个无盖的小礼盒．如图，她将矩形卡纸的四个角各剪掉一个边长为xcm的正方形后，剩余的部分刚好能围成一个底面积为48cm2的无盖长方体小礼盒．根据题意可列方程为（）A．（12﹣x）（10﹣x）＝48 B．12×10﹣4x2＝48 C．（12﹣2x）（10﹣2x）＝48 D．12×10﹣4x2﹣（12+10）x＝48【答案】C【分析】由矩形卡纸的长、宽及减掉小正方形的边长，可得出围成的无盖长方体小礼盒的底面长（12﹣2x）cm，宽（10﹣2x）cm，结合围成的无盖长方体小礼盒的底面积为48cm2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．【解答】解：∵小希将矩形卡纸的四个角各剪掉一个边长为xcm的正方形，且矩形卡纸的长12cm，宽10cm，∴围成的无盖长方体小礼盒的底面长（12﹣2x）cm，宽（10﹣2x）cm．依题意得：（12﹣2x）（10﹣2x）＝48．故选：C．9．（4分）如图，AB是半圆O的直径，点P在AB的延长线上，PC切半圆O于点C，连接AC．若∠CPA＝20°，则∠A的度数为（）A．20° B．70° C．45° D．35°【答案】D【分析】根据切线的性质得出∠PCO＝90°，再利用三角形内角和定理得出∠POC＝70°，再利用等腰三角形的性质以及三角形外角的性质得出答案．【解答】解：连接OC，∵PC切半圆O于点C，∴PC⊥OC，即∠PCO＝90°，∵∠CPA＝20°，∴∠POC＝70°，∵OA＝OC，∴∠A＝∠OCA＝35°．故选：D．10．（4分）如图，在正方形ABCD，BE平分∠CBD，EF⊥BD于点F，若，则BC的长为（）A．2 B． C． D．1【答案】C【分析】根据正方形的性质、角平分线的性质及等腰直角三角形的三边比值为1：1：来解答即可．【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，∴∠C＝90°，∠CDB＝45°，BC＝CD．∴EC⊥CB．又∵BE平分∠CBD，EF⊥BD，∴EC＝EF．∵∠CDB＝45°，EF⊥BD，∴△DEF为等腰直角三角形．∵DE＝，∴EF＝1．∴EC＝1．∴BC＝CD＝DE+EC＝+1．故选：C．11．（4分）若关于x的不等式组无解，且关于y的分式方程＝﹣1有正整数解，则所有满足条件的a的值之和为（）A．16 B．15 C．13 D．12【答案】D【分析】由不等式组无解，可求出a的范围，根据分式方程＝﹣1有正整数解，可得a的值，即可得到答案．【解答】解：解不等式组得x≤1且x≥a，∵不等式组无解，∴a＞1，由分式方程＝﹣1得y＝，∵y﹣3≠0，即y≠3，∴≠3，可得a≠3，∵分式方程＝﹣1有正整数解，即是正整数，∴a＝5或a＝7，∴所有满足条件的a的值之和为5+7＝12，故选：D．12．（4分）烤鸭店据下表数据烤制，设鸭的质量为x千克，烤制时间为t分钟，当x＝5.5时，t为（）鸭的质量x/千克0.511.522.533.54烤制时间t/分30507090110130150170A．190 B．230 C．250 D．280【答案】B【分析】观察表格可知，烤鸭的质量每增加0.5千克，烤制时间增加20分钟，设烤制时间为t分钟，烤鸭的质量为x千克，列出代数式t＝30+40（x﹣0.5）整理即可．【解答】解：从表中可以看出，烤鸭的质量每增加0.5千克，烤制的时间增加20分钟，设烤制时间为t分钟，烤鸭的质量为x千克，由题意得t＝30+40（x﹣0.5），整理，得t＝40x+10．当x＝5.5千克时，t＝40×5.5+10＝230．故选：B．二．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）13．（4分）＝4．【答案】4．【分析】根据负整数指数幂和绝对值即可得出答案．【解答】解：原式＝2+2＝4．故答案为：4．14．（4分）两个人做游戏：每个人都从﹣1，0，1这三个数中随机选择一个写在纸上，则两人所写的两个数相等的概率为．【答案】．【分析】画树状图，共有9种等可能的结果，其中两人所写的两个数相等的结果有3种，再由概率公式求解即可．【解答】解：画树状图为：共有9种等可能的结果，其中两人所写的两个数相等的结果有3种，∴两人所写的两个数相等的概率为＝，故答案为：．15．（4分）如图，菱形ABCD的边长为4，∠BAD＝120°，分别以B、D为圆心，AB长为半径画弧，图中阴影部分的面积为π﹣8．（结果保留π）【答案】π﹣8．【分析】由图可知，阴影部分的面积是两个圆心角为60°，且半径为4的扇形的面积与菱形的面积的差，可据此求出阴影部分的面积．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝CD，AB∥CD，∵∠BAD＝120°，∴∠DAC＝∠BAC＝60°，∴AD＝CD＝AC＝4，过A作AH⊥CD于H，∴∠DAH＝30°，DH＝CH＝2，在Rt∠ADH中，AH＝＝＝2，∴S阴影＝2S扇形﹣S菱形＝2×﹣4×2＝π﹣8．故答案为：π﹣8．16．（4分）某公司今年缴税a万元，预计该公司缴税的年平均增长率为20%，则预计从今年直到后年该公司共应缴税a（1+20）2万元．【答案】a（1+20）2．【分析】解答此题运用的数量关系：今年缴税数×（1+年平均增长率）2＝后年缴税数，由此直接列式解答即可．【解答】解：因为某公司今年缴税a万元，该公司缴税的年平均增长率为20%，所以从今年直到后年该公司共应缴税a（1+20）2万元．故答案为：a（1+20）2．三．解答题（共9小题，满分86分）17．（8分）计算：（1）x（x+2y）﹣（x+y）（x﹣y）；（2）（m+）÷．【答案】（1）2xy+y2；（2）．【分析】（1）原式利用单项式乘多项式法则，平方差公式计算，去括号合并即可得到结果；（2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果．【解答】解：（1）原式＝（x2+2xy）﹣（x2﹣y2）＝x2+2xy﹣x2+y2＝2xy+y2；（2）原式＝[+]•＝•＝•＝•＝．18．（8分）综合与实践【问题情境】南宁是广西种植火龙果面积最大产量最多的区域．火龙果性甘平，营养成分丰富，包括蛋白质、酶、膳食纤维、维生素B2、维生素B3、维生素C等，果核内更含有高浓度天然色素花青素（尤以红肉为最）．某学校数学兴趣小组为了解①号、②号两个品种火龙果产量情况．【实践发现】在某火龙果果园种植基地各随机抽取25株①号、②号两个品种火龙果调查（每株火龙果每年所结的火龙果个数用a表示，共分为三个等级：不合格a＜45，良好45≤a＜65，优秀65≤a＜85），下面给出了部分信息：①号品种25株果树所结火龙果个数分别为：36，47，68，82，27，27，35，46，55，48，48，57，66，57，66，58，61，75，36，57，71，47，46，71，38②号品种25株果树所结火龙果个数处于“良好”等级包含的所有数据为：64，54，51，62，54，63，51，63，64，54【实践探究】抽取的①号、②号品种火龙果树所结火龙果个数的统计表品种平均数众数中位数方差“优秀”等级所占百分比①号535755215.04Y%②号5354x236.2420%​抽取的②号品种每株果树所结火龙果个数扇形统计图​【问题解决】（1）填空：x＝54，y＝28，m＝40；（2）请用统计数据分析哪个品种的火龙果产量比较稳定，并说明理由；（3）根据以上数据，你认为应建议果农选择哪个品种种植？请说明理由（写出一条理由即可）．【答案】（1）54，28，40；（2）①号品种的火龙果产量比较稳定，理由见解答；（3）建议果农选择①号品种种植，理由见解答．【分析】（1）根据中位数、优秀率的概念可求出x、y的值，求出②号品种火龙果树所结火龙果个数处于“良好”等级占40%，“优秀”等级所占百分比为20%，可求出m的值；（2）根据方差的意义即可得答案；（3）比较①号、②号品种火龙果树所结火龙果个数的平均数、众数或中位数或方差或优秀率可得答案．【解答】解：（1）∵②号品种火龙果树所结火龙果个数处于“优秀”等级所占百分比为20%，∴“优秀”等级个数为：25×20%＝5（个）．将②号品种火龙果树所结火龙果个数处于“良好”等级包含的所有数据按从大到小的顺序排列为：64，64，63，63，62，54，54，54，51，51，∴中位数x＝54；①号品种25株果树所结火龙果个数中，优秀的有7个，∴y%＝×100%＝28%，∴y＝28．∵②号品种25株果树所结火龙果个数处于“良好”等级占＝40%，“优秀”等级所占百分比为20%，∴“不合格”等级占1﹣40%﹣20%＝40%，即m＝40．故答案为：54，28，40；（2）①号品种的火龙果产量比较稳定，理由如下：∵215.04＜236.24，即抽取的①号品种火龙果树所结火龙果个数的方差＜②号品种火龙果树所结火龙果个数的方差，∴①号品种的火龙果产量比较稳定；（3）建议果农选择①号品种种植，理由如下：在平均数都是53的情况下，①号品种火龙果树所结火龙果个数的众数大于②号品种火龙果树所结火龙果个数的众数（理由不唯一）．19．（10分）如图，小明在方格纸中选择格点作为顶点画▱ABCD和△BCE．（1）请你在方格纸中找到点D，补全▱ABCD；（2）若每个正方形小格的边长为1，请计算线段CE的长度并判断AD与CE的位置关系，并说明理由．【答案】（1）如图所示；（2）见解析．【分析】（1）在过C点且平行于AB的直线上截取4个单位长度，即找到点D；（2）证明三角形BCE是直角三角形，BC⊥EC，再由BC∥AD，即可证明．【解答】解：（1）所作点D如图所示：（2）由图得：BC＝＝2，CE＝＝4，BE＝10，∴BC2+EC2＝BE2，∴三角形BCE是直角三角形，∴BC⊥CE，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴AD⊥CE．20．（10分）如图，一次函数y＝x+m的图象与反比例函数y＝的图象交于A，B两点，且与x轴交于点C，点A的坐标为（2，1）．（1）求m及k的值；（2）连接OA，OB，求△AOB的面积；（3）结合图象直接写出不等式组0＜x+m≤的解集．【答案】（1）m＝﹣1，k＝2；（2）；（3）1＜x≤2．【分析】（1）把A点的坐标代入函数解析式，即可求出答案；（2）解由两函数解析式组成的方程组，求出方程组的解，即可得出B点的坐标，求出C点的坐标，再根据三角形面积公式求即可；（3）求出C的坐标，根据图形即可求出答案．【解答】解：（1）∵点A（2，1）在函数y＝x+m的图象上，∴2+m＝1，即m＝﹣1，∵A（2，1）在反比例函数的图象上，∴，∴k＝2；（2）∵一次函数解析式为y＝x﹣1，令y＝0，得x＝1，∴点C的坐标是（1，0），∴OC＝1，解方程组得：或，∴点B的坐标为（﹣1，﹣2），∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC＝+＝；（3）由图象可知不等式组的解集为1＜x≤2．21．（10分）南海是我国的南大门，如图所示，某天我国一艘海监执法船在南海海域正在进行常态化巡航，在A处测得北偏东30°方向上，距离为20海里的B处有一艘不明身份的船只正在向正东方向航行，便迅速沿北偏东75°的方向前往监视巡查，经过一段时间，在C处成功拦截不明船只，问我海监执法船在前往监视巡查的过程中大约行驶了多少海里（最后结果保留整数）？（参考数据：cos75°＝0.26，sin75°＝0.97，tan75°＝3.73，＝1.7，＝1.4）【答案】我海监执法船在前往监视巡查的过程中大约行驶了66海里．【分析】过点C作CD⊥AB交线段AB延长线于点D，证△ACD是等腰直角三角形，得AD＝CD，由勾股定理得AC＝CD，AD＝CD＝BD，然后由AD﹣BD＝AB求出BD，进而求解．【解答】解：如图，过点C作CD⊥AB交线段AB延长线于点D，∵∠BAC＝75°﹣30°＝45°，∴△ACD是等腰直角三角形，∴AD＝CD，∴AC＝＝CD，∵BC∥AE，∴∠DBC＝∠BAE＝90°﹣30°＝60°，∴∠BCD＝30°，∴BC＝2BD，AD＝CD＝＝＝BD，∵AD﹣BD＝AB，∴BD﹣BD＝20海里，解得：BD＝10（+1）海里，∴CD＝BD＝（30+10）海里≈47海里，∴AC＝CD≈66（海里），答：我海监执法船在前往监视巡查的过程中大约行驶了66海里．22．（10分）某服装店销售一款服装，每件成本为50元．经市场调研，当该款服装每件的售价为60元时，每个月可销售300件；若每件的售价增加1元，则每个月的销售量将减少10件．（1）若该服装店某月销售该款服装200件，求这个月每件服装的售价；（2）若该服装店希望销售该款服装每月获利3000元，且尽量给客户实惠，则每件服装的售价应定为多少？【答案】（1）70元；（2）60元．【分析】（1）设这个月每件服装的售价为x元，由题意：当该款服装每件的售价为60元时，每个月可销售300件；若每件的售价增加1元，则每个月的销售量将减少10件．列出一元一次方程，解方程即可；（2）设每件服装的售价应定为y元，由题意：该服装店希望销售该款服装每月获利3000元，列出一元二次方程，解方程即可．【解答】解：（1）设这个月每件服装的售价为x元，由题意得：300﹣10（x﹣60）＝200，解得：x＝70，答：这个月每件服装的售价为70元；（2）设每件服装的售价应定为y元，由题意得：（y﹣50）[300﹣10（y﹣60）]＝3000，整理得：y2﹣140y+4800＝0，解得：y＝60或y＝80（不符合题意舍去），∴y＝60，答：每件服装的售价应定为60元．23．（10分）化简下列各式：（1）﹣3x2y+2x2y+3xy2﹣xy2；（2）4x2﹣（2x2+x﹣1）+（2﹣x2+3x）；（3）（2x2y+3xy2）﹣（x2y﹣3xy2）；（4）4m2n﹣2（2mn﹣m2n）+mn．【答案】（1）﹣x2y+2xy2；（2）x2+2x+3；（3）x2y+6xy2；（4）6m2n﹣3mn．【分析】（1）直接合并同类项，进而得出答案；（2）直接去括号，进而合并同类项得出答案；（3）直接去括号，进而合并同类项得出答案；（4）直接去括号，进而合并同类项得出答案．【解答】解：（1）﹣3x2y+2x2y+3xy2﹣xy2＝﹣x2y+2xy2；（2）4x2﹣（2x2+x﹣1）+（2﹣x2+3x）＝4x2﹣2x2﹣x+1+2﹣x2+3x＝x2+2x+3；（3）（2x2y+3xy2）﹣（x2y﹣3xy2）＝2x2y+3xy2﹣x2y+3xy2＝x2y+6xy2；（4）4m2n﹣2（2mn﹣m2n）+mn＝4m2n﹣4mn+2m2n+mn＝6m2n﹣3mn．24．（10分）如图，已知直线y＝﹣2x+4分别交x轴、y轴于点A、B，抛物线过A，B两点，点P是线段AB上一动点，过点P作PC⊥x轴于点C，交抛物线于点D．（1）若抛物线的顶点M的坐标为（，），其对称轴交AB于点N，①求抛物线的解析式；②是否存在点P，使四边形MNPD为菱形？并说明理由；（2）当点P的横坐标为1时，是否存在这样的抛物线，使得以B、P、D为顶点的三角形与△AOB相似？若存在，求出满足条件的抛物线的解析式：若不存在，请说明理由．【答案】（1）①；②不存在，理由见解答；（2）存在，抛物线的解析式为y＝﹣2x2+2x+4或．【分析】（1）①用待定系数法即可求解；②不计算，根据四边形MNPD为平行四边形，求出PN，得到PN≠MN，即可求解；（2）分△PDB∽△BOA、△PDB∽△BAO两种情况，利用数形结合的方法，分别求解即可．【解答】解：（1）①对于y＝﹣2x+4，令y＝﹣2x+4＝0，解得x＝2，令x＝0，则y＝4，故点A、B的坐标分别为（2，0）、（0，4），设抛物线的表达式为y＝a（x﹣）2+，将点B的坐标代入上式得：4＝a（﹣）2+，解得a＝﹣2，故抛物线的表达式为；②不存在，理由如下：（如图），当x＝时，y＝﹣2x+4＝3，∴，设P点坐标为（m，﹣2m+4），则D（m，﹣2m2+2m+4），∴PD＝﹣2m2+2m+4﹣（﹣2m+4）＝﹣2m2+4m，∵PD∥MN，当PD＝MN时，四边形MNPD为平行四边形，即，解得（舍去），，此时P点坐标为，∵，∴PN≠MN，∴平行四边形MNPD不为菱形，∴不存在点P，使四边形MNFD为菱形；（2）存在，理由：如图，OB＝4，OA＝2，则，当x＝1时，y＝﹣2x+4＝2，则P（1，2），∴，设抛物线的解析式y＝ax2+bx+4，把A（2，0）代入得4a+2b+4＝0，解得b＝﹣2a﹣2，∴抛物线的解析式为y＝ax2﹣2（a+1）x+4，当x＝1时，y＝ax2﹣2（a+1）x+4＝a﹣2a﹣2+4＝2﹣a，则D（1，2﹣a），∴PD＝2﹣a﹣2＝﹣a，∵DC∥OB，∴∠DPB＝∠OBA，∴当时，△PDB∽△BOA，即，解得a＝﹣2，此时抛物线解析式为y＝﹣2x2+2x+4；当时，△PDB∽△BAO，即，解得，此时抛物线解析式为；综上所述，满足条件的抛物线的解析式为y＝﹣2x2+2x+4或．25．（10分）问题提出（1）如图①，已知正方形ABCD的边长为4，E是BC的中点，将线段AE绕点E顺时针旋转90°得到线段FE，连接CF，求CF的长；问题解决（2）为了解乡村生活、体验乡村水土风情、享受田园风光，某校计划利用空地修建蔬菜种植基地，让学生自己种植，自己管理，学习种植技术，体验丰收的喜悦．已知蔬菜种植基地ABCD的设计示意图如图②所示，其中AD∥BC，BC＝CD＝100m，∠C＝60°，E为CD上一点，且不与C，D重合，∠AEB＝60°．按设计要求，△ABE中种植叶菜类，其余种植根茎类．设CE的长为x（m），蔬菜种植基地的面积为y（m2）．①求y与x之间的函数关系式；②当种植叶菜类的面积恰好与根茎类的面积相等时，求AB的长．【答案】（1）2；（2）①y＝25x+2500，（0＜x＜100）；②50m．【分析】（1）取AB的中点R，连接ER，由正方形的性质和E是BC的中点得出AR＝B