人教版九年级数学知识点归纳

人教版九年级数学知识点归纳21.1一元二次方程一元二次方程是指一个等式中只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2次的整式方程。它有四个特点：(1)只含有一个未知数；(2)且未知数次数最高次数是2；(3)是整式方程。要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理。如果能整理为ax+bx+c=0(a≠0)的形式，则这个方程就为一元二次方程。(4)将方程化为一般形式：ax^2+bx+c=0时，应满足(a≠0)。21.2降次——解一元二次方程解一元二次方程的基本思想方法是通过“降次”将它化为两个一元一次方程。一元二次方程有四种解法：1、直接开平方法：用直接开平方法解形如(x-m)^2=n(n≥0)的方程，其解为x=±m。直接开平方法就是平方的逆运算。通常用根号表示其运算结果。2、配方法：通过配成完全平方式的方法，得到一元二次方程的根的方法。这种解一元二次方程的方法称为配方法，配方的依据是完全平方公式。具体步骤如下：1.转化：将此一元二次方程化为ax^2+bx+c=0的形式(即一元二次方程的一般形式）。2.系数化1：将二次项系数化为1。3.移项：将常数项移到等号右侧。4.配方：等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方。5.变形：将等号左边的代数式写成完全平方形式。6.开方：左右同时开平方。7.求解：整理即可得到原方程的根。3、公式法：把一元二次方程化成一般形式，然后计算判别式△=b^2-4ac的值，当b^2-4ac≥0时，把各项系数a,b,c的值代入求根公式x=(b±√(b^2-4ac))/2a就可得到方程的根。4、因式分解法：把方程变形为一边是零，把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式，让两个一次因式分别等于零，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程所得到的根，就是原方程的两个根。这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。21.3实际问题与一元二次方程列一元二次方程解应用题是列一元一次方程解应用题的继续和发展。从列方程解应用题的方法来讲，列出一元二次方程解应用题与列出一元一次方程解应用题非常相似。但当未知数出现二次时，用算术方法就会变得困难。正因为未知数是二次的，所以可以用一元二次方程解决面积问题、经过两次增长的平均增长率问题、数学中涉及积的问题、经营决策问题等等。22.1二次函数及其图像二次函数是指未知数的最高次数为二次的多项式函数，可以表示为y=ax²+bx+c（a不为0）。其图像是一条主轴平行于y轴的抛物线。一般式为y=ax²+bx+c（a≠0，a、b、c为常数），顶点坐标为(-b/2a，(b²-4ac)/4a)；顶点式为y=a(x-h)²+k（a≠0，a、h、k为常数），顶点坐标为（h，k），对称轴为x=h。顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax的图像相同，有时题目会要求用配方法把一般式化成顶点式；交点式为y=a(x-x₁)(x-x₂)（仅限于与x轴有交点A（x₁，0）和B（x₂，0）的抛物线）。重要概念：a、b、c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向。当a>0时，开口方向向上；当a<0时，开口方向向下。a的绝对值还可以决定开口大小，a的绝对值越大，开口就越小；a的绝对值越小，开口就越大。在平面直角坐标系中作出二次函数y=x²的图像，可以看出，二次函数的图像是一条永无止境的抛物线。不同的二次函数图像可以通过平移一般式得到。轴对称：1.抛物线是轴对称图形，对称轴为直线x=-b/2a。2.抛物线有一个顶点P，坐标为P(-b/2a，(4ac-b)/4a)。当-b/2a=0时，P在y轴上；当Δ=b²-4ac=0时，P在x轴上。3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口。|a|越大，则抛物线的开口越小。决定对称轴位置的因素。一次项系数b和二次项系数a共同决定抛物线的性质，其中a和b的符号决定了对称轴的位置。当a和b同号时，对称轴在y轴左侧；当a和b异号时，对称轴在y轴右侧。可以简单记忆为左同右异。除了决定对称轴位置外，b还有自身的几何意义：抛物线与y轴的交点处的切线斜率k。该斜率可以通过对二次函数求导得到。另外，常数项c决定了抛物线与y轴的交点。抛物线与x轴的交点个数取决于判别式Δ的值。当Δ大于0时，抛物线与x轴有两个交点；当Δ等于0时，抛物线与x轴有一个交点；当Δ小于0时，抛物线与x轴没有交点。当a的符号不同时，抛物线在对称轴处取得最大值或最小值。对于一元二次方程，抛物线的公共点横坐标即为方程的一个根。抛物线与x轴的位置关系对应着方程根的个数和情况。在实际问题中，求解最优解等问题可归结为求二次函数的最大值或最小值。旋转则是将一个图形绕定点旋转一定角度，可以通过旋转公式计算旋转后的坐标。生活中的旋转现象可以分为两类：物体的旋转运动和基本图形通过旋转形成的图案，例如时钟的指针、风车的转动和香港特别行政区区旗上的紫荆花图案等。图形的旋转不会改变图形的大小和形状，旋转的中心可以在图形上或图形外。旋转的基本特征包括图形中的每一个点都绕旋转中心旋转了同样大小的角度，对应点到旋转中心的距离相等，对应线段相等，对应角相等，图形的大小和形状都没有发生改变。在理解旋转特征时，需要找出旋转中心、旋转方向、对应点和旋转角。中心对称是指把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么这个图形就是关于这个点对称或中心对称的。中心对称的性质包括对应点所连线段都经过对称中心，并被对称中心所平分，关于中心对称的图形是全等形。对称点的坐标规律包括关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标互为相反数；关于y轴对称，横坐标互为相反数，纵坐标不变；关于原点对称，横坐标和纵坐标都互为相反数。图案设计是通过图形变换（平移、旋转、轴对称或几种的组合）把基本图形组成具有一定意义的新图形。在图案设计时，不仅需要正确使用图形变换，还需要体现设计意图。圆是平面上到定点距离等于定长的所有点组成的图形，或平面上一条线段绕它的一端旋转360°留下的轨迹。圆心可以是定点或线段的端点，也可以是圆的任意两条对称轴的交点。1.在圆内任意一条弦的二分点是圆心O。2.圆的直径是通过圆心并且两端都在圆上的线段，用字母d表示。3.圆的半径是连接圆心和圆上任意一点的线段，用字母r表示。4.圆的直径和半径都有无数条，每条直径所在的直线是圆的对称轴。在同圆或等圆中，直径是半径的2倍，半径是直径的二分之一，即d=2r或r=二分之d。5.圆的半径或直径决定圆的大小，圆心决定圆的位置。6.圆的周长是围成圆的曲线的长度，用字母C表示。圆的周长与直径的比值叫做圆周率，用字母π表示。圆的周长除以直径的商是一个固定的数，通常取近似值π≈3.14。7.直径所对的圆周角是直角，即90°。圆心角是弧所对圆周角的二分之一。8.在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等。如果两条弧或弦相等，则它们所对的圆心角和弦心距也相等。9.圆的面积是圆所占平面的大小，用字母S表示，公式为πr^2。10.三个不共线的点可以确定一个圆，即外接圆。外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心。11.直线和圆的位置关系有三种情况：相交、相切、相离。相交时直线和圆有两个公共点，叫做圆的割线；相切时直线和圆有一个公共点，叫做圆的切线，这个点叫做切点；相离时直线和圆没有公共点。圆柱的侧面积是指圆柱的侧面展开成一个矩形后的面积。该矩形的两条邻边分别为圆柱的高和底面圆的周长。对于底面半径为r，高为h的圆柱，其侧面积为2πrh。圆锥与圆柱是两种不同的几何形体。圆锥的全面积包括底面积和侧面积，而圆柱的全面积只包括两个底面和一个侧面。圆锥的侧面积公式是关键，因为了解它可以帮助我们理解圆锥的全面积和侧面积之间的关系。在圆锥的侧面积公式中，侧面积是由一个直角三角形旋转而成的。以Rt△SOA绕直线SO旋转一周为例。圆柱的侧面积则是由一个矩形旋转而成的，以矩形ABCD绕直线AB旋转一周为例。两种形状的侧面展开图分别为扇形和矩形。在概率初步章节中，我们学习了随机事件和概率的概念。随机试验具有可重复性、多种可能结果和不确定性。样本空间是试验所有可能结果的集合。随机事件是在大量重复试验中呈现某种规律性的事情，包括必然事件和不可能事件。频率是随机事件在n次重复试验中发生的次数与试验次数n的比值。当试验次数n很大时，频率的稳定值p称为概率。古典概型是一种特殊的随机试验，样本空间是有限集，每个样本点出现的概率相同。在古典概型中，事件A的概率为其包含的样本点数与样本空间大小的比值。x的函数称为反比例函数，其中k是常数且k≠0。反比例函数的图象通常是一个叫做双曲线的图形。反比例函数的定义域为所有非零实数，值域为所有实数。26.2知识点2反比例函数的性质反比例函数有以下性质：1、当x>0时，y随着x的增大而减小，当x<0时，y随着x的减小而增大，当x=0时，y无定义。2、反比例函数的图象关于y轴对称。3、反比例函数在定义域内是单调的。4、反比例函数在定义域内是连续的。5、反比例函数在定义域内是可导的，且导数为dydxkx2。6、反比例函数的反函数也是反比例函数。26.3知识点3反比例函数的应用反比例函数在实际生活中有很多应用，例如电路中的电阻、电容和电感等元件，它们的阻抗、容抗和感抗与频率成反比例关系。另外，当一个物体在空气中自由落体时，它的速度与时间的关系也是反比例关系。反比例函数在经济学中也有很多应用，例如供求关系、生产函数等。因此，学好反比例函数对我们的日常生活和学习都有很大的帮助。反比例函数的图像位置和函数的增减性，由反比例函数系数k的符号决定。具体来说，当反比例函数y=k/x在第一、第三象限时，可知k>0；而在第二、第四象限时，可知k<0。反比例函数中比例系数k的绝对值k表示函数图像与坐标轴的交点到原点的距离。如图所示，过双曲线上任一点P(x,y)分别作x轴、y轴的垂线，E、F分别为垂足，则k=xy=x·y=PF·PE=S矩形OEPF的面积。反比例函数的图像为双曲线y=k/x，其位置与函数的增减性由反比例函数系数k的符号决定。当k越大时，双曲线离坐标原点越远；而当k越小时，双曲线越靠近坐标原点。双曲线是中心对称图形，对称中心是坐标原点；双曲线也是轴对称图形，对称轴是直线y=x和直线y=-x。27.1图形的相似是指两个形状相同但大小不一定相等的图形，表示为∽。如果两个多边形满足对应角相等，对应边的比相等，则这两个多边形相似。相似多边形的对应边的比称为相似比，相似比为1时，相似的两个图形全等。相似多边形的对应角相等，对应边的比相等。相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。27.2相似三角形的判定有四种情况：1.两个三角形的两个角对应相等；2.两边对应成比例，且夹角相等；3.三边对应成比例；4.平行于三角形一边的直线和其他两边或两边延长线相交，所构成的三角形与原三角形相似。例如，如果∠A=∠A'且∠B=∠B'，则△ABC∽△A'B'C'。相似三角形的一切对应线段（对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比。相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。27.3位似是指两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点的连线交于一点，对应边互相平行。这两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，相似比又称为位似比。位似图形的对应点和位似中心在同一直线上，它们到位似中心的距离之比等于相似比。位似多边形的对应边平行或共线。位似可以将一个图形放大或缩小。位似图形的中心可以在任意的一点，但随着位似中心的变化，位似图形也会相应地变化。