有限样本空间与随机事件-高一数学同步教学课件（人教A版2019必修第二册）

第十章概率

概率论是研究随机现象数量规律的数学分支.概率是对随机事件发生可能性大小的度量，它已渗透到我们的日常生活中，成为一个常用词汇.

本章我们将在初中的基础上，结合具体实例，继续研究刻画随机事件的方法；通过古典慨型中随机事件概率的计算，加深对随机现象的认识和理解；通过构建概率模型解决实际问题，提高用概率的方法解决问题的能力.

在初中，我们已经初步了解了随机事件的概念，并学习了在试验结果等可能的情形下求简单随机事件的概率.本节我们将进一步研究随机事件及其概率的计算，探究随机事件概率的性质.10.1.1有限样本空间与随机事件将一枚硬币抛掷2次，观察正面、反面出现的情况；从你所在的班级随机选择10名学生，观察近视的人数；在一批灯管中任意抽取一只，测试它的寿命;从一批发芽的水稻种子中随机选取一些，观察分孽数；记录某地区7月份的降雨量；等等.研究某种随机现象的规律，首先要观察它所有可能的基本结果.例如

我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验，简称试验，常用字母E表示

.我们感兴趣的是具有以下特点的随机试验：(1)试验可以在相同条件下重复进行；(2)试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止

一个；

(3)每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个

，但事先不能确定出现哪一个结果.可重复性可预知性随机性思考？体育彩票摇奖时，将10个质地和大小完全相同分别标号0，1，2，…，9的球放入摇奖器中，经过充分搅拌后摇出一个球，观察这个球的号码.这个随机试验共有多少个可能结果?如何表示这些结果?观察球的号码，共有10种可能结果.用数字m表示“摇出的球的号码为m”这一结果，那么所有可能结果可用集合表示为

我们把随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点，全体样本点的集合称为试验E的样本空间.

如果一个随机试验有n个可能结果的ω1，ω2，…，ωn，则称样本空间Ω={ω1，ω2，…，ωn}为有限样本空间.{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}

一般地，我们用Ω表示样本空间，用ω表示样本点.在本书中，我们只讨论Ω为有限集的情况.

有了样本点和样本空间的概念，我们就可以用数学方法描述和研究随机现象了.例1抛掷一枚硬币，观察它落地时哪一面朝上，写出试验的样本空间.解：因为落地时只有正面朝上和反面朝上两个可能结果，所以试验的样本空间可以表示为Ω={正面朝上，反面朝上}.

如果用h表示“正面朝上”，t表示“反面朝上”，则样本空间

Ω

={h，t}.例2抛掷一枚骰子，观察它落地时朝上的面的点数，写出试验的样本空间.解：用i表示朝上面的“点数为i”.因为落地时朝上面的点数有1，2，3，4，5，6共6个可能的基本结果，所以试验的样本空间可以表示为例2抛掷一枚骰子，观察它落地时朝上的面的点数，写出试验的样本空间.Ω={1，2，3，4，5，6}.例3抛掷两枚硬币，观察它们落地时朝上的面的情况，写出试验的样本空间.解：掷两枚硬币，第一枚硬币可能的基本结果用x表示，第二枚硬币可能的基本结果用y表示，那么试验的样本点可用(x,y)表示.于是，试验的样本空间例3抛掷两枚硬币，观察它们落地时朝上的面的情况，写出试验的样本空间.解：试验的样本点可用(x,y)表示.于是，试验的样本空间

如果我们用1表示硬币“正面朝上”，用0表示硬币“反面朝上”，那么样本空间还可以简单表示为如图所示，画树状图可以帮助我们理解此例的解答过程.Ω={(1，1)，(1,0)，(0，1)，(0,0)}.101010第一枚第二枚思考？在体育彩票摇号试验中，摇出“球的号码为奇数”是随机事件吗？摇出“球的号码为3的倍数”是否也是随机事件？如果用集合的形式来表示它们,那么这些集合与样本空间有什么关系?

显然，“球的号码为奇数”和“球的号码为3的倍数”都是随机事件.我们用A表示随机事件“球的号码为奇数”，则A发生，当且仅当摇出的号码为1,3,5,7,9之一，即事件A发生等价于摇出的号码属于集合{1,3,5,7,9}.

因此可以用样本空间Ω={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}的子集{1,3,5,7,9}表示随机事件A.思考？在体育彩票摇号试验中，摇出“球的号码为奇数”是随机事件吗？摇出“球的号码为3的倍数”是否也是随机事件？如果用集合的形式来表示它们,那么这些集合与样本空间有什么关系?

显然，“球的号码为奇数”和“球的号码为3的倍数”都是随机事件.我们用B表示随机事件“球的号码为3的倍数”，则B发生,当且仅当摇出的号码为0,3,6,9,之一，即事件B发生等价于摇出的号码属于集合{0,3,6,9}.

因此可以用样本空间Ω={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}的子集{0,3,6,9}表示随机事件B.一般地，随机实验中的每个随机事件都可以用这个实验的样本空间的子集来表示.为了叙述方便，我们将样本空间Ω的子集称为随机事件，简称事件.

Ω作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以Ω总会发生，我们称Ω为必然事件.把只包含一个样本点的事件称为基本事件.随机事件一般用大写字母A，B，C，…表示.在每次实验中，当且仅当A中某个样本点出现时，称为事件A发生.

必然事件与不可能事件不具有随机性.为了方便统一处理,将必然事件和不可能事件作为随机事件的两个极端情形.这样，每个事件都是样本空间Ω的一个子集.∅空集不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称∅为不可能事件.例4如右图，一个电路中有A、B、C三个电器元件，每个元件可能正常，也可能失效.把这个电路是否为通路看成是一个随机现象，观察这个电路中各元件是否正常.(1)写出试验的样本空间；(2)用集合表示下列事件：M=“恰好两个元件正常”；N=“电路是通路”；T=“电路是断路”.例4如右图，一个电路中有A、B、C三个电器元件，每个元件可能正常，也可能失效.把这个电路是否为通路看成是一个随机现象，观察这个电路中各元件是否正常.

(1)写出试验的样本空间；解：(1)分别用x1,x2和x3表示元件A，B和C的可能状态，则这个电路的工作状态可用(x1，x2，x3)表示.进一步地，用1表示元件的“正常”状态，用0表示“失效”状态，则样本空间Ω={(0，0，0)，(1，0，0)，(0，1，0)，(0，0，1)，(1，1，0)，(1,0，1)，(0，1，1),(1，1，1)}.例4(1)写出试验的样本空间；ACB解:(1)用1表示元件的“正常”状态，用0表示“失效”状态，则样本空间Ω={(0，0，0)，(1，0，0)，(0，1，0)，(0，0，1)，(1，1，0)，(1,0，1)，(0，1，1),(1，1，1)}.01元件A0101元件B01010101元件C000001可能结果010011100101110111借助树状图我们列出试验的所有可能结果，如下图.(2)用集合表示下列事件：

M=“恰好两个元件正常”；

N=“电路是通路”；T=“电路是断路”.M={(1,1,0)，(1,0,1)，(0,1,1)}；N={(1，1，0)，(1,0，1)，(1，1，1)}；T={(0,0,0),(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(0,1,1)}.(2)恰好两个元件正常等价于(x1，x2，x3)∈Ω，且x1，x2，x3中恰有两个为1，所以“电路是通路”等价于(x1，x2，x3)∈Ω，x1=1，

且x2，x3中至少有一个为1，所以“电路是断路”等价于(x1，x2，x3)∈Ω，

x1=0，或x1=1，x2=x3=0.所以定义字母表示样本点我们把随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点.用ω表示样本点样本空间全体样本点的集合称为试验E的样本空间.用Ω表示样本空间有限样本空间如果一个随机试验有n个可能结果ω1，ω2，…，ωn，则称样本空间Ω={ω1,

ω2，…，ωn}为有限样本空间Ω={ω1，ω2，…，ωn}课堂小结随机事件我们将样本空间Ω的子集称为E的随机事件，简称事件，并把只包含一个样本点的事件称为基本事件，随机事件一般用大写字母A，B，C等表示.在每次试验中，当且仅当A中某个样本点出现时，称为事件A发生.必然事件Ω作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以Ω总会发生，我们称Ω为必然事件.不可能事件空集⌀不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生.我们称⌀为不可能事件.练习1.写出下列各随机试验的样本空间：(1)采用抽签的方式，随机选择一名同学，并记录

其性别；(2)采用抽签的方式，随机选择一名同学，观察其

ABO血型；(3)随机选择一个有两个小孩的家庭，观察两个孩

子的性别；(4)射击靶3次，观察各次射击中靶或脱靶情况；(5)射击靶3次，观察中靶的次数.2.如图，由A，B两个元件分别组成串联电路(图(1))和并联电路(图(2))，观察两个元件正常或失效的情