定积分定义市公开课一等奖课件省赛课获奖课件

定积分概念与性质一、定积分问题举例二、定积分定义三、定积分性质1/23一、定积分问题举例曲边梯形

设函数y

f(x)在区间[a,

b]上非负、连续.

由直线x

a、x

b、y

0及曲线y

f(x)所围成图形称为曲边梯形,

其中曲线弧称为曲边.

1.曲边梯形面积

如何求曲边梯形面积？2/23观测与思考

在曲边梯形内摆满小矩形,当小矩形宽度减少时,小矩形面积之和与曲边梯形面积之间误差将如何变化?3/23求曲边梯形面积

(1)分割:

a

x0<

x1<

x2<

<

xn

1<

xn

b,Dxi=xi-xi

1;

小曲边梯形面积近似为f(xi)Dxi(xi

1<xi<xi);

(2)近似替代:

(4)取极限:

设

max{Dx1,

Dx2,

,

Dxn},曲边梯形面积为

(3)求和:

曲边梯形面积近似为;4/232.变速直线运动路程

已知物体直线运动速度v

v(t)是时间t连续函数,

且v(t)

0,

计算物体在时间段[T1,

T2]内所通过路程S.(1)分割:

T1

t0<t1<t2<

<tn

1<tn

T2,

Dti

ti

ti

1;(2)近似替代:

物体在时间段[ti

1,

ti]内所通过路程近似为DSi

v(

i)Dti(

ti

1<

i<ti);

物体在时间段[T1,

T2]内所通过路程近似为

(3)求和:

(4)取极限:

记

max{Dt1,

Dt2,

,

Dtn},物体所通过路程为5/23二、定积分定义定积分定义

max{Dx1,

Dx2,

,Dxn};

记Dxi=xi-xi

1(i

1,2,

,

n),a

x0<x1<x2<

<xn

1<xn

b;在区间[a,

b]内插入分点:

设函数f(x)在区间[a,

b]上有界.

假如当

0时,

上述和式极限存在,

且极限值与区间[a,

b]分法和xi取法无关,

则称此极限为函数f(x)在区间[a,

b]上在小区间[xi

1,

xi]上任取一点xi(i

1,2,

,

n),

作和

即

定积分

记为6/23定积分各部分名称

————积分符号,

f(x)———被积函数,

f(x)dx——被积体现式,

x————积分变量,

a

————积分下限,

b

————积分上限,

[a,

b]———积分区间，

定积分定义二、定积分定义———积分和

7/23定积分定义二、定积分定义说明：

定积分值只与被积函数及积分区间有关,

而与积分变量记法无关,

即8/23函数可积性

假如函数f(x)在区间[a,

b]上定积分存在,

则称f(x)在区间[a,

b]上可积.

定理1

假如函数f(x)在区间[a,

b]上连续,

则函数f(x)在区间[a,

b]上可积.

定理2

假如函数f(x)在区间[a,

b]上有界,

且只有有限个间断点,

则函数f(x)在区间[a,

b]上可积.

定积分定义二、定积分定义9/23定积分几何意义

当f(x)

0时,f(x)在[a,

b]上定积分表达由曲线y

f(x)、直线x

a、x

b与x轴所围成曲边梯形面积.

当f(x)

0时,

f(x)在[a,

b]上定积分表达曲边梯形面积负值.

这是由于10/23

一般地,

f(x)在[a,

b]上定积分表达介于x轴、曲线y

f(x)及直线x

a、x

b之间各部分面积代数和.

定积分几何意义

当f(x)

0时,f(x)在[a,

b]上定积分表达由曲线y

f(x)、直线x

a、x

b与x轴所围成曲边梯形面积.

当f(x)

0时,

f(x)在[a,

b]上定积分表达曲边梯形面积负值.

11/23利用定义计算定积分

解:

例1

利用定积分定义计算.

取分点为(i=1,2,

,n-1),则(i=1,2,

,n).

在第i

个小区间上取右端点(i=1,2,

,n).

于是12/23利用几何意义求定积分

解

函数y

1

x在区间[0,1]上定积分是以y=1-x为曲边,以区间[0,1]为底曲边梯形面积.

由于以y=1-x为曲边,以区间[0,1]为底曲边梯形是一种直角三角形,

其底边长及高均为1,

因此

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例2

13/23三、定积分性质两点要求14/23

这是由于三、定积分性质性质115/23三、定积分性质性质1性质2>>>性质3>>>注：值得注意是无论a

b

c相对位置如何上式总成立

16/23三、定积分性质性质1性质2性质3性质417/23推论1

假如在区间[a

b]上f(x)

g(x)

则

这是由于g(x)

f(x)

0

从而假如在区间[a

b]上f(x)

0

则性质5

因此18/23

这是由于

|f(x)|

f(x)

|f(x)|,因此推论1

假如在区间[a

b]上f(x)

g(x)

则假如在区间[a

b]上f(x)

0

则性质5

推论2

19/23推论1

假如在区间[a

b]上f(x)

g(x)

则假如在区间[a

b]上f(x)

0

则性质5

推论2

性质6

设M及m分别是函数f(x)在区间[a

b]上最大值及最小值

则

20/23

假如函数f(x)在闭区间[a

b]上连续

则在积分区间[a

b]上最少存在一种点x

使下式成立

这是由于