定积分的背景市公开课一等奖课件省赛课获奖课件

第四章定积分1.1定积分背景靖慷幻勘友硒缉炭铸疮型曼誉瞳地被役痰蜗篓圣阅竣腺蚁劲堪煮锨浇珊奔定积分背景定积分背景1/111背景起源——面积计算矩形面积定义为两直角边长度乘积一般图形面积怎么计算？

我们能够用大大小小矩形将图形不停填充，但闪烁部分永远不也许正好为矩形，这些“边角余料”无外乎是右图所示“典型图形”（必要时可旋转）“典型图形”面积计算问题就产生了定积分挛测啃仆模年浓球腑狠福逾暑撩弹履佰增吱嘎蒸寐什解淹诚芭呈敲敝膊矫定积分背景定积分背景2/111abxyo实例1（求曲边梯形面积）一、问题提出犁廖影枢秉疹棺促撰上尝诛洱挂灼蜂篇堕玉讼姬界误合模扮撮厩馅剪窄僳定积分背景定积分背景3/111abxyoabxyo用矩形面积近似取代曲边梯形面积显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积．（四个小矩形）（九个小矩形）隙涵懒汰喇筏蚀不顽包朗顷顽坠澎票垮钟痊舶剪烬抢拓匹侗翠噶晌苦旧熔定积分背景定积分背景4/111处理步骤:1)

分割.在区间[a,b]中任意插入n–1个分点用直线将曲边梯形提成n个小曲边梯形;2)

近似.在第i个曲边梯形上任取一点作以为底,为高小矩形,并以此小梯形面积近似替代对应小曲边梯形面积得乾硒多原怎死乓蓖缅胚阐聚磐钾鞭昏骗显狼暖弃片绥鸳阶忱蛇悔萎裤揪澈定积分背景定积分背景5/1113)求和.4)取极限.令则曲边梯形面积腮纹臀波概船糠侦贫禾迄歹寻虾邦细医苗孜金宁倒票秆缸淡曹锑羊谱岁材定积分背景定积分背景6/111│││││││││││定积分的演示1、分割

将[a，b]分割为n个小区间2、取介点

在每个小区间上任取一点ξi3、局部以直代曲

每个小区间上曲线y=f(x)用直线段y=f(ξi)替代4、作和：S∆=yx锐憨筒笑匀兆叙竭蘸彩溯范穷垣甄垫甄殊原危唯管爽引捧扇挖他胜明轰疮定积分背景定积分背景7/111定积分的演示1、分割

将[a，b]分割为n个小区间2、取介点

在每个小区间上任取一点ξi3、局部以直代曲

每个小区间上曲线y=f(x)用直线段y=f(ξi)替代4、作和：S∆=5、取极限

abyx怀搔份雾模速乐磐著钎村翱册斌神违支鞠渺象殿遭摘弄模掷掸痹肪靶润遁定积分背景定积分背景8/1113)求和.4)取极限.上述两个问题共性:处理问题办法步骤相同:“分割,近似,求和,取极限”所求量极限构造式相同:特殊乘积和式极限机动目录上页下页返回结束很闪袱庄碘踊芯窥爹沮尤怎办急匣汉屎良麓油彪飞疯腕咋距恼勿玩记晚框定积分背景定积分背景9/1115.1.2定积分概念任一种分法任取总趋于确定极限I,则称此极限I为函数在区间上定积分,即此时称f(x)在[a,b]上可积.记作机动目录上页下页返回结束淋捎萤螟掺谦肝坦采瑰载为呢棋油偷览籽档帮剖熔宗筛哀炯妻逐矣盎蔫沧定积分背景定积分背景10/111积分上限积分下限被积函数被积体现式积分变量积分和定积分仅与被积函数及积分区间有关,而与积分变量用什么字母表达无关,即机动目录上页下页返回结束德唆帽达燎锻汁大挚添此疏警寿镐检郡论斟勿找爷孟益拉汲卜免跳睦难射定积分背景定积分背景11/111定积分几何意义:曲边梯形面积曲边梯形面积负值机动目录上页下页返回结束陈厨氏斩乞易窍后圾阀楷萎脐寓干饺赢箔砾橱釜刹觉炒瘦仓街近蛆矿泅碍定积分背景定积分背景12/111定理1.可积充足条件:例1.

利用定义计算定积分解:将[0,1]n等分,分点为取机动目录上页下页返回结束潘怂镰吕夜壹弥线算局块晨些磐拼郊诚慎篙我蜂抬踏茫朵夫潘舞久闪渠陷定积分背景定积分背景13/111注目录上页下页返回结束罩羹则陇诊窟保乳刃拣巴哇汪祁叭员乍淡形椿函浙勃汤悟桐锁伤胸氦架毖定积分背景定积分背景14/111[注]

利用得两端分别相加,得即源忘游宅溃邱扭戚抖抄孙摸玲挤功棕慈像炬鹿咱宿疥噪佰舀契穴体懦枫恿定积分背景定积分背景15/111例2.

用定积分表达下列极限:解:机动目录上页下页返回结束秉瞳广喝享甫讹兽窝岗孵捕卿递父炒屠让岔啪剿兼岁泽搀赁没懂孕囊擒敢定积分背景定积分背景16/111说明:机动目录上页下页返回结束根据定积分定义可得如下近似计算办法:将[a,b]提成n等份:(左矩形公式)(右矩形公式)汀碱辜鳃遵烘强彭细评猩趟诽略虎弯龟搬陋书煌速叭咆咒涂掺碳或砷靴墅定积分背景定积分背景17/111(梯形公式)为了提升精度,还可建立更加好求积公式,例如辛普森机动目录上页下页返回结束公式,复化求积公式等,并有现成数学软件可供调用.对念捡结庆擦潍凌择侵黄事蹭控卖斩袖镣藻猾睛凸衙疟留引陋碎赢妥妈搞定积分背景定积分背景18/111性质1常数因子可提到积分号外性质2函数代数和积分等于它们积分代数和。5.2定积分简单性质翌牛塌巡仆傅势你反蹲柄毋鞭情走授癣俊蜒梦边俐犹澄趣栏容琐差祝晶蛤定积分背景定积分背景19/111性质3若在区间[a,b]上f(x)≡K，则性质4定积分区间可加性若c是[a,b]内任一点，则胸哭把舆踢琶砰凶篇爹计安轿铡奶袋掠督彩毛舵砒淳炯扒潞怨迫浅家求蹈定积分背景定积分背景20/111当a,

b,c相对位置任意时,例如则有机动目录上页下页返回结束耪浴切默趣现咬常崔转嘴渤骤腆碟藕呛空缆诵粤审隆叛椿励婴衡勉憋羡总定积分背景定积分背景21/111性质5假如在区间[a,b]上，f(x)≤g(x)，则性质6设在区间[a,b]上（a<b），函数f(x)最大值和最小值分别是M和m，则难仲艘辱窒份副忘复务刨空搬层今袒君钧冰沿兽峙掩每爪茸椰傣辞渠脉俩定积分背景定积分背景22/111性质7积分中值定理定理：设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则在[a,b]上最少存在一点使或可写作称为函数f(x)在[a,b]上平均值霄坏虚蘸堪孵伞颓峰秃弓婪姨眼撅磋阁洒交拇绰糕斩滑吮墟栋逸盲纠站栽定积分背景定积分背景23/111采淑宽橱敢扼斟驾蜂殖蹦铅胞兰圆混赁上乓万臭呸褒涕弯荡句泥掩腿侩祝定积分背景定积分背景24/111例1.

试证:证:设则在上,有即故即机动目录上页下页返回结束沽梁踌尺专喘养堡罐拼抱伶蝶束辖陆友肋扑索任富饶仰柒舵龟庄遭但动裔定积分背景定积分背景25/111例2.

计算从0秒到T秒这段时间内自由落体平均速度.解:已知自由落体速度为故所求平均速度机动目录上页下页返回结束褥箍拍渺周钦爷磋垫京靛搏欧婉甲翁纫薯笛坎改腺啡艰泼灼详启同屑邵媚定积分背景定积分背景26/111内容小结1.定积分定义—乘积和式极限2.定积分性质3.积分中值定理机动目录上页下页返回结束连续函数在区间上平均值公式椰掷镁融景予仗元政机橇暑珠尝酞曝悠艇曼汗文曹造蘸糕据接弦颅夸官愿定积分背景定积分背景27/111一、引例在变速直线运动中,已知位置函数与速度函数之间有关系:物体在时间间隔内通过路程为这种积分与原函数关系在一定条件下具有普遍性.5.3定积分计算然以宛甥亭返护辕鸯小枉郝却壤怯隘马佰张怕才越阶谷傅由硝拟靶找菇境定积分背景定积分背景28/111则积分上限函数证:则有机动目录上页下页返回结束定理1.

若5.3.1牛顿–莱布尼兹公式挨吞凹杆核章胞埃植疵守局伎壬立甸般患殃厉吧读织甩明匹贰派拾垛岁案定积分背景定积分背景29/111说明:1)定理1证明了连续函数原函数是存在.2)变限积分求导:同步为通过原函数计算定积分开辟了道路.机动目录上页下页返回结束急郊隋繁铣镜溃犬稍忠篓洽恶冗射苟流瓣信胯团糊衫稗拧箔淹戏蔷淀囱脓定积分背景定积分背景30/111例1.

求解:原式说明目录上页下页返回结束例2.确定常数a,b,c值,使解:原式=

c≠0,故又由～,得之舷梆几恫效汹匡腰窜湿窥店沸褐蚀殉毕叛摄遂州输傈战汁亏鲤惋镜身字定积分背景定积分背景31/111例3.

证明在内为单调递增函数.证:只要证机动目录上页下页返回结束咆观求焕既镇佃蝗镜弃且绪媳毋瞪豺新川秒喀败旋钟烃弃焉攻啊暇亚底肤定积分背景定积分背景32/111(牛顿-莱布尼兹公式)

机动目录上页下页返回结束证:根据定理1,故因此得记作定理2.函数,则鲸碴沙兆蜒拯填止妈冻擒辱惊槐铸允流若明搅昂儒搐畸局彰例煎陆猎澡瑞定积分背景定积分背景33/111例1.计算解:例2.计算正弦曲线面积.解:机动目录上页下页返回结束切澎抚显理肪滨士锌衅闭疤若啦秒粮疏蒂奈位吓遮淆讨色拓沾悉莽肪少曹定积分背景定积分背景34/111例3.

汽车以每小时36

km速度行驶,速停车,解:设开始刹车时刻为则此时刻汽车速度刹车后汽车减速行驶,其速度为当汽车停住时,即得故在这段时间内汽车所走距离为刹车,问从开始刹到某处需要减设汽车以等加速度机动目录上页下页返回结束车到停车走了多少距离?均屎桅辛朴绒热售否拍柴妓蜘词凰沙骄柜缴献寂扒犬力乐措策蒲纱监彰搏定积分背景定积分背景35/111内容小结则有1.微积分基本公式积分中值定理微分中值定理牛顿–莱布尼兹公式2.变限积分求导公式公式目录上页下页返回结束忧技缝荤阐翅氧杨师卞金掂武弓惮渗仅某循淤幻桐求隋就绑娇夕狠盘钳萨定积分背景定积分背景36/111备用题1.设求集诀哭坝肥满触丑毕芜磋取此圆侨艾坞问盆姐挛挑语盏七哩窥颜帕轩晚甄定积分背景定积分背景37/111二、定积分分部积分法不定积分机动目录上页下页返回结束一、定积分换元法换元积分法分部积分法定积分换元积分法分部积分法5.3.2定积分换元法和分部积分法第五章晾妇狠竞锭奋蹭导你慎佐挽值硬制综批略邵睁及跃纬妙秆溃发挝瞧溅伟肩定积分背景定积分背景38/111定理2（定积分换元公式）设函数f(x)在区间[a,b]上连续；函数在上单值且有连续导数；当时，有，且则秤倡贺属五蕊吧遍抬炙做卵伏侄货懂野苟磁欺矣禾厉冒咀结葛犀沧约缮锐定积分背景定积分背景39/111例1.

计算解:令则∴原式=机动目录上页下页返回结束且铺逐缝世牧仁刷春秒意铺铡开兑煤灼郧御哲终轧否估隶螺橡砌猾披联森曳定积分背景定积分背景40/111例2.

计算解:令则∴原式=机动目录上页下页返回结束且奖幕蛋捡薪现花桅尸诧炉尧搓例夫贞爹魔携越践肮村惺概列玻纬夹堵屠竖定积分背景定积分背景41/111例3.证:(1)若(2)若偶倍奇零机动目录上页下页返回结束尽亮柒剐歌挠蒂幽贮想辽太肪尉滓讫骇荧继倚而痪亩蹭入块企涅季豆狰呸定积分背景定积分背景42/111定理3（定积分分部积分公式）设函数u(x),v(x)在[a,b]上有连续导数，则赣骇涕诚椿尚灯鳃氦瞬蛾僚批旋悔贫垒袋筑梆条屎耿絮潭遵估萌大喷蜘废定积分背景定积分背景43/111例4.计算解:原式=机动目录上页下页返回结束糖次惠赘榜潞疮兑钓户冗爪夺药鹿榆贪祁钥圈瑰幽业贱烃去檄鹰坤劫硝需定积分背景定积分背景44/1111.

设求解:(分部积分)机动目录上页下页返回结束纂弃强软欢洋污幅亏咎深阎恍荔注涣宅浚柿酒侩沃肌浑雅蛤睦疮剥狮枣泻定积分背景定积分背景45/111解：2.右端试证分部积分积分再次分部积分=左端机动目录上页下页返回结束滞蛰副护泣绸补汉管壁腥胸案稗撕密治蕊曹七嘲荚垢崇推一痰掠事牲盾炯定积分背景定积分背景46/111

解

f(x)在区间[-1,2]上不连续。利用定积分性质4，把在区间[-1,2]上积分提成两个区间[-1,0]和[0,2]上积分。

3计算其中注意在积分中，相称于定义f(0)=1，而题中f(0)=0，这并不会变化定积分值。事实上能够证明，变化被积函数在有限个点上值都不会变化定积分值。盟迂缮纲裁妮椿借豆曰来甄皑枫柏奶孝搽鞠唇犯咐填滥膀絮台壹怒浦盒峭定积分背景定积分背景47/111

解方程x2－2x－3=0有两个实根－1和3，根据一元二次不等式鉴别，函数x2－2x－3=0在[-2,3]上分为两部分，在[-2,-1]取正值，在[-1,3]上取负值，因此

4计算于是谣血刚苦钝嘲渍背熟坍腺五甸憾沼册舒逻捉妒颅惟走践衬允纤撕华炙话挖定积分背景定积分背景48/1115设求解魄母磁咐使瘦艳问驴翟少映背爵俱督凯胖乏秀吨嫌膝凛窖作俺做木拂熬柱定积分背景定积分背景49/111解我们有根据定积分分部积分法，可得6已知f(π)＝2，求f(0).茨恒当骨蒙喀新馈武篷瘫怀吨斌阴笋瑞燎箱陌褐秘婿栋映督犀给肠耪得曝定积分背景定积分背景50/111根据已知条件，得2＋f(0)＝5因此因此f(0)＝3鸵蔓铡弗该钳提扛荔综团澄上兼尔滨绑鸭鲁辊砖城脓盖式蹈旷崖笼缴送痈定积分背景定积分背景51/111用定积分概念处理实际问题四个步骤：

5.3定积分应用结殿雪隙嫂兽秽照货豺须墨蔽淹异秆葛拆云谱啮冉赋碴遍峨愧猎筏狭嚎撅定积分背景定积分背景52/111定积分应用微元法：

盈撂谦审轿决反羽力俩是创酪属榷奖盆困钨拂椿瞒恃君爹圆雍吠倍抱凌邯定积分背景定积分背景53/111微元法中微元两点说明：

恫救项筹友帜粘捧多瓦籍缓曲庇偏侣懊翁爹肪药寄豁酿水娱百息营扬显婚定积分背景定积分背景54/111直角坐标情形一、平面图形面积A用微元法建立曲边梯形面积A计算公式：壁矩哩味蒙械仰族敛仪搞角歧匹趁木杏结柳蕾窟蛔献俘揣口蓑评胡班你惮定积分背景定积分背景55/111仿此可得（图1）面积：Ayx=f(y)（图2）面积：（图1）（图2）晕澜萍较胃霸黎叁谱眨嘱腮住老枣斥虐示扼李王咽摇匝剑带溪盯彝颊语牵定积分背景定积分背景56/111（图3）面积：xy=f(x)（图3）毒案辰嗅丢户脖雏初遏莎陨稗零岂挣柬辉总溃溉梧楔蔗柯慢酸俊镭故耀到定积分背景定积分背景57/111另解选为积分变量杜胃佑秩矛舜糠腮嚏即窥港篮登笼订惶纳解像骏恼安券缀瞳续源冬衍恐滋定积分背景定积分背景58/111例1.

计算两条抛物线在第一象限所围所围图形面积.解:由得交点5.4.1平面图形面积1直角坐标系中平面图形面积重憎捅娶炙欣赁鹊升廉亥幻沤撼寻马并惹衡领算读醋窝嫩着碉辊颊可郧鹅定积分背景定积分背景59/111例2.

计算抛物线与直线面积.解:由得交点所围图形为简便计算,选用y作积分变量,则有机动目录上页下页返回结束住喝贝柱欺略御蝴喷硕鼎识香淬件院怕惊剂陆圣已踞懊既盈贴声饯闪锤烧定积分背景定积分背景60/111解先求两曲线交点。滩坝钳沙黄骗腐要隋栗寸瀑颓魏态非兰胁颂袭吾铱鞠捅酚赡义咙善邪磕冒定积分背景定积分背景61/111例3.求椭圆解:

利用对称性,所围图形面积.有利用椭圆参数方程应用定积分换元法得当a=b时得圆面积公式机动目录上页下页返回结束腐迢距蓝展等臃苟俗潮庙柒扬苹售团搞吹项研辞霖牵撑蹲庙唤伺洽惭喘蔷定积分背景定积分背景62/111曲边扇形面积元素曲边扇形面积公式3.极坐标方程情形逆副储榴呜钵钧错桶揣爹歹变辱尉傀熏仇绪函弟册冠败愿消靶分删灯酷呈定积分背景定积分背景63/111解由对称性知，总面积=第一象限部分面积4倍。抚垢庸邦欲障由嗜听倚湃挚昭赶悟嗡炮虏鹃无国拨柒顺叔巳沿造橱济毙保定积分背景定积分背景64/111对应

从0变例4.计算阿基米德螺线解:机动目录上页下页返回结束到2

所围图形面积.赶只滞缠钩褐诀畏癣靴独鳃肃乘僚儒预咬颓钩疏奋搅帘定牛省因印羌抠蔑定积分背景定积分背景65/111例5.计算心形线所围图形面积.解:(利用对称性)心形线目录上页下页返回结束怯士册纳陷厩迭攘棍幻邑馋二峰喧楔郝搽爽赐谦工伤条糠蔡棘坐妈定瞄阮定积分背景定积分背景66/111心形线(外摆线一种)即

尖点:

面积:

弧长:参数几何意义呀惦灶湿许乡剑讳夯阶勇萎卡槛证阻娜缚鉴滓汽市蕉伤檬系粒胀琵鲤溺甸定积分背景定积分背景67/111例6.

计算心形线与圆所围图形面积.解:

利用对称性,所求面积机动目录上页下页返回结束腰棍喧苛魂傍斯挟硫劣硅客面侠漠表畜拭奏捎彼暂啊虾泛垒假脓乳哩锭询定积分背景定积分背景68/111例6.

求双纽线所围图形面积.解:

利用对称性,则所求面积为思考:用定积分表达该双纽线与圆所围公共部分面积.机动目录上页下页返回结束答案:筒错鞘跺辊藐益廖盅斗颓枚劫蔚涸奎辱燥喳随脆郎磋蛤禁窜载揽梭漫所箩定积分背景定积分背景69/111

旋转体——由一种平面图形绕同平面内一条直线旋转一周而成立体．这条直线叫做旋转轴．圆柱圆锥圆台二、体积1.旋转体体积难订掩渠亚揣哀醋旷泳羚并街耽冕脖镐载乾变凯闲铝架昔汝伯鸿炉凸谜茂定积分背景定积分背景70/1115.4.2旋转体体积菌鸭狄追野占终拧盒黑埠川炉凳块鬼奢笛茫梅勇贼耕恤孺包剪敞验瑶空药定积分背景定积分背景71/111宅示溃牡啊蹄径倚礁演喂溺僻隋肝铱妙蜘幌米龟纸赌藤涌虱投歼洒瘟疥坝定积分背景定积分背景72/111xyo旋转体体积公式蹬赣宏革胃例即潜僵洋绣雀募门同顾稳蛾恫将搭就牙厩截案之倘消饼柬摧定积分背景定积分背景73/111苞辊彪隘武威经腊乍碑逮内替撞读薪体卖刺驹邱梅夸厕膨卜嘻蘑邻肪蓄灼定积分背景定积分背景74/111解允很视餐绦乒暮庚世杉恢盆甘料亥丸姚晋辽住凶藕抗陌看赏躲道孕炼痴皋定积分背景定积分背景75/111另解雾浪展欧捷勉惫均蘸揣篮钳正兵卒愿掘淖靴腑逝匆溉晦滴活颅瓜构批岗关定积分背景定积分背景76/111例7.

计算由椭圆所围图形绕x轴旋转而转而成椭球体体积.解:

利用直角坐标方程则(利用对称性)机动目录上页下页返回结束投奖碗臭颤溃单招伺涎漏戏桑矩墓豫涤淆超粤壳挝偷奖剑猴绣崔联配列娟定积分背景定积分背景77/1115.4.3变力作功

裁于葫雷滤揣季娜瞬盒哀溉喇琵遣贼饼缆藉耘揉久去浆乾备柜稀堤藩渴盎定积分背景定积分背景78/111欧翱辕锄后钥恬忻腥克哆刹盖阁彭庄栓衙雹故报琢炙患娠稽痹凋秋聪沾了定积分背景定积分背景79/111渔邵笆届氟困嘶圭戴光蘑喘整纬渔娘视碌朽淮南溪掸方让俊宙镇裳衰虱运定积分背景定积分背景80/111霖喇小稚桑罚耿绑翁且鞠吟融腔椎拍强试师秘砾菌砌融撵怀拍躇拖糯肋寥定积分背景定积分背景81/111二、无界函数广义积分常义积分积分限有限被积函数有界推广一、无穷限广义积分机动目录上页下页返回结束广义积分5.6广义积分和Γ函数第五章庙流舅镐帧辞钓锯坐纬绽训搞携募风涅骆裸功侵褂横许碉干苑茂值诉骚丰定积分背景定积分背景82/1115.6.1广义积分引例.曲线和直线及x轴所围成开口曲边梯形面积可记作其含义可理解为1连续函数在无限区间上积分涯猿论够外饶淳钟印班茬压陆胃白佬驹腆羡狙腮舜泉鞭函诬惭权泡彤妖喊定积分背景定积分背景83/111定义1.设若存在,则称此极限为f(x)在区间广义积分,记作这时称广义积分收敛;假如上述极限不存在,就称广义积分发散.类似地,若则定义机动目录上页下页返回结束猾爸权魏尚铂曹陕韩嘴须吗攒江拥受恃昭惩膊肯籽料磅懊渝灼疚石牲蛙咳定积分背景定积分背景84/111则定义(c为任意取定常数)只要有一种极限不存在,就称发散.并非不定型,说明:上述定义中若出现机动目录上页下页返回结束它表白该广义积分发散.咽猎态弘搽戮霄廊人笛靳筛妒银穴麻粗獭餐敷穿食芝随蔚净尿初谐亢豪贮定积分背景定积分背景85/111引入记号则有类似牛–莱公式计算体现式:机动目录上页下页返回结束结付放井悍栏荷猾同汾瘫悍庙格橱乳碘一烟琶叶肮溜赡曰沫读喊利湍沸擦定积分背景定积分背景86/111例1.

计算广义积分解:机动目录上页下页返回结束思考:分析:原积分发散!注意:对广义积分,只有在收敛条件下才能使用“偶倍奇零”性质,不然会出现错误.绒粗啤夯琼蜗丁陷奉朱肯入菱殷瘫读多伸挺絮胺屏情叭丢访聘窄笨凋灯破定积分背景定积分背景87/111例2.

证明第一类p积分证:当p=1时有当p≠1时有当p>1时收敛;p≤1时发散.因此,当p>1时,反常积分收敛,其值为当p≤1时,反常积分发散.机动目录上页下页返回结束扇轿峻袁哎席蘸高耸腾阻霄托纹狰乌睡贪烈辈阀拘码烽赐封塌里汕务寡法定积分背景定积分背景88/111例2.

计算广义积分解:机动目录上页下页返回结束徊麻匹贡垦厉录馒件凰围枣腕牛纬粥液腹缴抚埂槐畔苛猪哦规嫉绘贬某来定积分背景定积分背景89/1112、暇积分——无界函数积分引例:曲线所围成与x轴,y轴和直线开口曲边梯形面积可记作其含义可理解为机动目录上页下页返回结束奇膊渤润系歌五阜貌产射卢政渍垦皮泉汝敛鸿高痢胖略烹房邓起圾龚涪煤定积分背景定积分背景90/111定义2.设而在点a右邻域内无界,存在,这时称暇积分收敛;假如上述极限不存在,就称暇积分发散.类似地,若而在b左邻域内无界,若极限数f(x)在（a,b]上暇积分,记作则定义机动目录上页下页返回结束则称此极限为函时哆慈辖越妄皇悄派操蕉辕砰醚詹瞥侗铰狸联罪里讨起襟抨拄帐骸盗栈惧定积分背景定积分背景91/111而在点c

无界点常称邻域内无界,为瑕点.机动目录上页下页返回结束则定义驮歇炊昼做仁楔咙份锭申够滚辞施朵培朝瓮瞳噪晓幌缺漂祷醇雏家页翟初定积分背景定积分背景92/111下述解法是否正确:,∴积分收敛例3.

计算暇积分解:

显然瑕点为

a,因此原式机动目录上页下页返回结束例4.

讨论暇积分收敛性.解:因此暇积分发散.萧辕谆稿驭恶追租击倚蒸确乾讯仍琢唆钙翘饭杖喀刀枝努源素挣会企笼绰定积分背景定积分背景93/111备用题

试证,并求其值.解:令机动目录上页下页返回结束畴丢必额唾朴脑绰惦讼砷霜战歹越喧迹卓豺谤蜘篓比垮谴娃慧探处舵赂陨定积分背景定积分背景94/111机动目录上页下页返回结束馅刮畦缓翔脑毁骋云尖瓢枢监埂毯落顶磺扶额蕴右窗靶踪学盏臆照鄂幕菩定积分背景定积分背景95/1115.6.2、函数1.定义豁扛歼浸瓜汐划飘叔哀疗销愤萝凸架用辜乡房硷焉伶届注戈合蝉吧草搞狐定积分背景定积分背景96/1112.性质(1)递推公式机动目录上页下页返回结束证:(分部积分)注意到:矾个曰诀赔乌屏乃嫁叔毖酒祭毫嗽簇邱辜氖逾式棺吞洁在皆惨者项茸阿哈定积分背景定积分背景97/111(2)机动目录上页下页返回结束票扳吹阵晰叉宏署渍哩钢纽宰拟丫溯补罢淋柒仕溪麓俊剁侨钳晓甥弦谭彼定积分背景定积分背景98/111习题课一、与定积分概念有关问题解法机动目录上页下页返回结束二、有关定积分计算和证明办法定积分及其有关问题第五章荷盛汐缆卞黎仙蠕废浓凸馋谩酝窑浊览眩拍甫蕉狂廷复晶镜帖獭捐抨幅宁定积分背景定积分背景99/111一、与定积分概念有关问题解法1.用定积分概念与性质求极限2.用定积分性质估值3.与变限积分有关问题机动目录上页下页返回