第三章各向异性弹性力学基础课件

基本方程：1、平衡方程

分量形式为：基本方程：1、平衡方程分量形式为：12、几何关系（小变形）分量形式为：2、几何关系（小变形）分量形式为：2变形协调方程：六个应变分量应该满足的一个关系，即6个独立等式：共有81个方程，但只有6个是不同的，其余的不是恒等式就是由于

ij的对称性而都是重复的。变形协调方程：六个应变分量应该满足的一个关系，即6个独立等式3前三个分别是xy，yz，zx平面内的3个应变量间的协调关系；而后三者则分别是正应变和3个切应变之间的协调关系。前三个分别是xy，yz，zx平面内的3个应变量间的协调关系；43、边界条件力边界条件：位移边界条件：4、各向异性本构方程（小变形）刚度矩阵柔度矩阵

各向异性体的弹性应变能为：3、边界条件力边界条件：位移边界条件：4、各向异性本构方程（5拉-拉耦合（泊桑效应）剪-剪耦合拉剪耦合拉-拉耦合（泊桑效应）剪-剪耦合拉剪耦合6

§3-2各向异性弹性力学的本构方程一、完全各向异性（21个弹性常数）其中Sij为柔度系数，

4、5和6即为剪应力23、31和12。可见各向异性体一般具有耦合现象：正应力引起剪应变，剪应力也可以引起正应变；反之亦然。§3-2各向异性弹性力学的本构方程一、完全各向异性（21个7二、有一弹性对称面（13个弹性常数）弹性对称面：沿这些平面的对称方向弹性性能是相同的。材料主轴（或弹性主轴）：垂直于弹性对称面的轴。二、有一弹性对称面（13个弹性常数）弹性对称面：沿这些平面的8利用两个方向下材料的应变能密度表达式应保持不变（即利用两个坐标系计算得到的单位体积应变能的结果是相同的）可以推得：设仅有，即有而在x3变向时要变号，为保证W相同，则有利用两个方向下材料的应变能密度表达式应保持不变（9同理：独立常数减少为13个，即同理：独立常数减少为13个，即10

如果，其余应力分量为零，则有：此公式说明：当沿弹性主轴拉伸时，除纵向伸长、横向收缩外，还会引起与主轴垂直的面内剪应变，且弹性主轴方向不变。如果，其余应力分量为零，则有：此公式说明：当沿弹性主轴拉伸11三、正交各向异性（9个弹性常数）正交各向异性是指有三个互相正交的弹性主轴的情况。（有三个互相正交的弹性对称面）取为三个正交弹性主轴，如图所示：三、正交各向异性（9个弹性常数）正交各向异性是指有三个互相正12由a）、b）两坐标系中计算的应变能应该相同，而在两坐标系下：（即）变号，可得：即：由a）、b）两坐标系中计算的应变能应该相同，而在13由此可得：1）当采用材料主轴来描述正交异性体时，没有任何拉剪耦合现象；2）在非材料主轴系里，正交异性材料仍有耦合现象。纤维在横截面内按矩形排列的单向纤维复合材料，宏观而言则是一正交异性体。共有9个弹性常数：由此可得：1）当采用材料主轴来描述正交异性体时，没有任何拉剪141轴沿纤维方向，并有，而是即没有对称性。可展开为：1轴沿纤维方向，并有，而是即没有对称性。可展开为：15

四、横观同性（5个弹性常数）纤维在横截面内随机排列的，宏观而言，其在横向的所有方向的弹性性能相同，则称为横向同性。由于横向同性，则在2-3平面内应为各向同性，则有故只有5个独立常数：（或），（或）四、横观同性（5个弹性常数）纤维在横截面内随16由工程应变形式的展开式为：即：由工程应变形式的展开式为：即：17五、各向同性（2个弹性常数）五、各向同性（2个弹性常数）18第三章各向异性弹性力学基础课件19六、弹性常数的取值范围判定依据是非零应力状态下，材料的弹性应变能位正值，应变能应是应变（或应力）的正定二次型。为的正定二次型的充要条件是矩阵的所有主要主子式大于零，即：六、弹性常数的取值范围判定依据是非零应力状态201、对于各向同性，可推得：实际上一般为：2、对于正交各向异性，有：

，……等等1、对于各向同性，可推得：实际上一般为：2、