四川省自贡市三多寨中学2021年高三数学理模拟试卷含解析

四川省自贡市三多寨中学2021年高三数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若复数为纯虚数（i为虚数单位），则实数m等于（）A．﹣1 B． C． D．1参考答案：D【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，由实部为0且虚部不为0列式求得m值．【解答】解：∵为纯虚数，∴，得m=1．故选：D．2.已知O为△ABC内一点且满足，若△AOC的面积为且，则(

)A. B. C. D.参考答案：A【分析】由得O为重心，进而得的面积，结合面积公式及数量积求解即可【详解】，∴O为重心，故，故，则故选：A【点睛】本题考查向量的简单应用，面积公式，向量的数量积，考查基本公式是基础题

3.一个底面为正三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱内接于半径为的球，则该棱柱体积的最大值为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B设该三棱柱的底面边长为，高为，则底面正三角形的外接圆半径是，依题意有，即，，当且仅当，即，时取等号，此时取得最大值，因此该棱柱的体积的最大值是.4.设变量x、y满足约束条件，则目标函数z=2x+y的最小值为(

) A．2 B．3 C．4 D．9参考答案：B考点：简单线性规划的应用．专题：计算题；数形结合．分析：本题主要考查线性规划的基本知识，先画出约束条件的可行域，再求出可行域中各角点的坐标，将各点坐标代入目标函数的解析式，分析后易得目标函数Z=2x+y的最小值．解答： 解：设变量x、y满足约束条件，在坐标系中画出可行域△ABC，A（2，0），B（1，1），C（3，3），则目标函数z=2x+y的最小值为3，故选B点评：在解决线性规划的问题时，我们常用“角点法”，其步骤为：①由约束条件画出可行域?②求出可行域各个角点的坐标?③将坐标逐一代入目标函数?④验证，求出最优解．5.已知集合A＝{x||x|＜3}，B＝{x|x－1≤0}，则A∪B等于

（A）(－∞，3] （B）(－∞，3)

（C）[2，3] （D）(－3，2]参考答案：B略6.已知在等比数列{an}中，a1+a3=10，a4+a6=，则等比数列{an}的公比q的值为(

)A． B． C．2 D．8参考答案：B考点：等比数列的性质．专题：计算题．分析：先设公比为q，用a4+a6除以a1+a3正好等于q3进而求得q．解答：解：依题意，设公比为q，由于a1+a3=10，a4+a6=，所以q3==，∴q=，故选B点评：本题主要考查了等比数列的性质．属基础题．7.若，则下列不等式中成立的是（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：C8.已知双曲线的离心率为2，若抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为2，则抛物线的方程为A.

B.C.

D.参考答案：B试题分析：双曲线的其中一条渐近线方程为，离心率，得，由于得，抛物线的焦点坐标到渐近线的距离，整理得得，因此抛物线方程，故答案为B.考点：双曲线和抛物线的标准方程和性质应用.9.已知点的坐标，满足，则的最大值是、

、

、

、参考答案：C10.有解的区域是（

）A.

B.

C.

D.

参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.等比数列的前项和为,公比不为1。若,且对任意的都有,则_________。参考答案：11略12.

圆柱的内切球与圆柱的上下底面和周壁都相切．若圆柱内切球的体积为，则

圆柱的表面积为

.参考答案：13.对于实数x，将满足“0≤y<l且x－y为整数”的实数y称为实数x的小数部分，用符号表示。对于实数a，无穷数列{an}满足如下条件：

①；

②。 （1）当时，数列{an}的通项公式为 。 （2）当时，对任意的都有，则a的值为 。参考答案：略14.若数列{an}是各项均为正数的等比数列，则当时，数列{bn}也是等比数列；类比上述性质，若数列{cn}是等差数列，则当dn=时，数列{dn}也是等差数列．参考答案：略15.设为等比数列的前项和，已知，，则公比

参考答案：416.方程的解可视为函数的图像与函数的图像交点的横坐标.若方程的各个实根所对应的点（=1,2,…，k）均在直线的同侧（不包括在直线上），则实数的取值范围是______.参考答案：或17.已知，且与垂直，则的值为__________.参考答案：因为与垂直，所以，即，所以，整理得，解得或。三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.某学校高三年级800名学生在一次百米测试中，成绩全部在12秒到17秒之间，抽取其中50个样本，将测试结果按如下方式分成五组：第一组[12，13），第二组[13，14），…，第五组[16，17]，如图是根据上述分组得到的频率分布直方图．（1）若成绩小于13秒被认为优秀，求该样本在这次百米测试中成绩优秀的人数；（2）请估计本年级800名学生中，成绩属于第三组的人数；（3）若样本中第一组只有一名女生，第五组只有一名男生，现从第一、第五组中各抽取1名学生组成一个实验组，求所抽取的2名同学中恰好为一名男生和一名女生的概率．参考答案：【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图．【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计．【分析】（1）由频率分布直方图，得成绩小于13秒的频率为0.06，由此能求出该样本在这次百米测试中成绩优秀的人数．（2）由频率分布直方图，得第三组[14，15）的频率为0.38，由此能估计本年级800名学生中，成绩属于第三组的人数．（2）由频率分布直方图及题设条件得到第一组中有1名女生2名男生，第五组中有3名女生1名男生，由此能求出所抽取的2名同学中恰好为一名男生和一名女生的概率．【解答】解：（1）由频率分布直方图，得成绩小于13秒的频率为0.06，∴该样本在这次百米测试中成绩优秀的人数为：0.06×50=3（人）．（2）由频率分布直方图，得第三组[14，15）的频率为0.38，∴估计本年级800名学生中，成绩属于第三组的人数为：800×0.38=304（人）．（2）由频率分布直方图，得第一组的频率为0.06，第五组的频率为0.08，∴第一组有50×0.06=3人，第五组有50×0.08=4人，∵样本中第一组只有一名女生，第五组只有一名男生，∴第一组中有1名女生2名男生，第五组中有3名女生1名男生，现从第一、第五组中各抽取1名学生组成一个实验组，基本事件总数n==12，所抽取的2名同学中恰好为一名男生和一名女生，包含的基本事件个数m==7，∴所求概率为p=．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意频率分布直方图的性质和等可能事件概率计算公式的合理运用．19.（本题满分12分）已知是正项数列，，且点（）在函数的图像上.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若列数满足，，求证：.参考答案：（Ⅰ）由已知得，即，又，所以数列是以1为首项，公差为1的等差数列，故.…4分（Ⅱ）由（Ⅰ）知：，从而.

.………8分因为∴.……………………12分20..设函数.（Ⅰ）讨论函数f(x)的单调性；（Ⅱ）若函数f(x)有两个极值点m,n，求证：.参考答案：（Ⅰ）见解析（Ⅱ）见解析【分析】（Ⅰ）求导得到，讨论，，三种情况得到单调区间.（Ⅱ）设，要证，即证，，设，根据函数单调性得到证明.【详解】（Ⅰ），令，，（1）当，即时，，，在上单调递增；

（2）当，即时，设的两根为（），，①若，，时，，所以在和上单调递增，时，，所以在上单调递减，②若，，时，，所以在上单调递减，时，，所以在上单调递增.综上，当时，在上单调递增；当时，在和上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增.（Ⅱ）不妨设，要证，即证，即证，由（Ⅰ）可知，，，可得，，所以有，令，，所以在单调递增，所以，因为，所以，所以.【点睛】本题考查了函数单调性，证明不等式，意在考查学生的分类讨论能力和计算能力.21.选修4-5：不等式选讲已知，.（1）求不等式的解集；（2）若对任意的，，恒成立，求m的取值范围.参考答案：（1）不等式，即.可得，或或，解得或，所以不等式的解集为.（2）依题意可知，由（1）知，，所以，故得的取值范围是.

22.（本小题满分14分）

已知数列的前项和为，通项满足（是常数，且）。

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）当时，证明；

（Ⅲ）设函数，若对都成立，求正整数的值。参考答案：解：（Ⅰ）由题意，得

所以…1分

当时，，所以

……………2分

故数列是以为首项，公比为的等比数列

所以

……………………4分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当时，

所以

………7分（Ⅲ）因为所以