2022-2023学年青海省西宁市城西区海湖中学高一（下）期中数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2022-2023学年青海省西宁市城西区海湖中学高一（下）期中数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.若复数z=3−2i，则复数A.−2i B.2i C.−2.若A(1,m)，B(mA.−5 B.5 C.0或−5 D.03.已知正三棱锥的底面边长为4，高为2，则该三棱锥的表面积是(

)A.43 B.63 C.4.等腰梯形ABCD，上底CD=1，腰AD=CBA.22 B.2 C.5.已知平面α//平面β，过平面α内的一条直线a的平面γ，与平面β相交，交线为直线b，则a、b的位置关系是(

)A.平行 B.相交 C.异面 D.不确定6.已知a，b表示直线，α，β，γ表示平面，则下列推理正确的是(

)A.α∩β=a，b⊂α⇒a//b

B.α∩β=a，a//b7.已知某圆台的上底面和下底面的面积分别为3π、12π，高为6，则该圆台的体积为(

)A.36π B.40π C.42π8.设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为(

)

A.πa2 B.73πa2二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）9.已知△ABC是边长为2的等边三角形，向量a,b满足A.a是单位向量 B.BC//b

C.10.已知正四棱台上、下底面边长分别为2，4，侧棱长为2，则(

)A.正四棱台的高为2 B.正四棱台的斜高为3

C.正四棱台的表面积为20+1211.已知在△ABC中，其内角A，B，C的对边分别为a，b，c，下列命题正确的有A.若△ABC为锐角三角形，则sinB>cosA

B.若A=30°，b=6，a=4，则△ABC12.某工厂生产出一种机械零件，如图所示零件的几何结构为圆台O1O2，在轴截面ABCD中，ABA.该圆台的高为3cm

B.该圆台轴截面面积为123cm2

C.该圆台的体积为56三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量a=(m,3)，b=(114.已知i虚数单位，若复数z=1−ai1+i15.如图ABCD是空间四边形，E、F、G、H分别是四边上的点，它们共面，且AC//平面EFGH，BD//平面EFGH，

16.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，A=60°，且△ABC外接圆半径为四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.(本小题10.0分)

如图，已知平面α、β，且α∩β=l，设梯形ABCD中，AD//BC，且18.(本小题12.0分)

设向量a、b满足|a|=|b|=1，且|3a−2b|=719.(本小题12.0分)

某广场设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样的四面体得到的.如果被截正方体的棱长是50cm，那么石凳的体积是多少？20.(本小题12.0分)

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，A=π4，cosB=45．

(Ⅰ)求c21.(本小题12.0分)

四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP22.(本小题12.0分)

如图所示，B为△ACD所在平面外一点，M，N，G分别为△ABC，△ABD，△BCD的重心．

(1

答案和解析1.【答案】C

【解析】解：由复数的概念可知，复数z=3−2i的虚部为−2．

故选：C2.【答案】D

【解析】解：因为AB=(m,3−m),BC=(−2m,4)，

若A(1,m)，B(3.【答案】D

【解析】解：如图，正三棱锥O−ABC中，OM=2，

取BC的中点，连接AN，ON，

则M在AN上，且MN=13AN，

又AB=4，BN=2，所以AN=4.【答案】A

【解析】解：如图所示，，

梯形ABCD的高为1，面积为12(1+3)×1=2，

∴5.【答案】A

【解析】解：根据题意，分析可得：α//βα∩γ=aβ∩γ=b，必有6.【答案】D

【解析】【分析】

本题考查了空间线面平行的性质和判定定理的运用，属于基础题．

利用空间位置关系的判断及性质定理进行判断或举反例判断即可得解．

【解答】

解：对于选项A，α∩β=a，b⊂α，直线a，b可能相交；故A错误；

对于选项B，α∩β=a，a//b，直线b可能在两个平面内，故B错误；

对于选项C，a//β，b//β，a⊂α，b⊂α，直线a，b如果不相交，α，β可能相交，故7.【答案】C

【解析】解：由题意可知，该圆台的体积为V=13×(3π+12π8.【答案】B

【解析】【分析】

本题主要考查空间几何体中位置关系、球和正棱柱的性质以及相应的运算能力和空间形象能力．

由题意可知上下底面中心连线的中点就是球心，求出球的半径，即可求出球的表面积．

【解答】

解：根据题意条件可知三棱柱是棱长都为a的正三棱柱，上下底面中心连线的中点就是球心，

则其外接球的半径为R=(a2)2+(a9.【答案】AB【解析】解：对于选项A，因为|AB|=2，

所以由AB=2a，

得|a|=|AB|2=1，

即a是单位向量，

所以选项A正确；

对于选项B，因为BC=AC−AB=2a+b−2a=b，

所以BC//b，

所以选项B正确；

对于选项C，由AC=2a+b得AC2=4a2+4a⋅b+10.【答案】BC【解析】解：对于A，∵正四棱台上下底面对角线长为22,42，

∴正四棱台的高h=22−(42−222)2=2,A错误；

对于B，正四棱台的斜高h′=22−(4−22)2=11.【答案】AB【解析】解：对于A，因为△ABC为锐角三角形，A+B>90°，

所以90°>B>90°−A>0°，

由正弦函数单调性得sinB>sin(90°−A)=cosA，故A正确；

对于B，因为b=6，AB边上的高为3，若3<a=4<6，则△ABC有两解，故B正确；

对于C，由正弦定理asin12.【答案】BC【解析】解：由已知可得CD=8cm，∴圆台的高O1O2=16−(8−42)2=23，故A错误；

则圆台轴截面ABCD面积为S=12×(4+8)×23=123cm2，故B正确；

圆台的体积为V=13π×13.【答案】1

【解析】【分析】根据题意，求出向量a+b的坐标，进而由数量积的计算公式可得(a+b【解答】解：根据题意，向量a=(m,3)，b=(1,−2)，则a

14.【答案】13【解析】解：z=1−ai1+i=(1−ai)(1−i)(1+i)(1−i)=1−ai−i+15.【答案】m：n

【解析】解：∵AC//平面EFGH，AC、EF在平面ABC内，

∴AC//EF，∴△BEF∽△BAC，

∴BEBA=EFAC，同理，得DHDA=HGAC，

又∵EF=HG，∴BEBA=DHDA，

∴16.【答案】3【解析】解：∵A=60°，且△ABC外接圆半径R为3，∴由正弦定理得asinA=2R，

可得a=2RsinA=2×3×si17.【答案】证明：∵梯形ABCD中，AD//BC，∴AB，CD是梯形ABCD的两腰，

∴AB，CD必定相交于一点．

设AB∩CD=M．

又∵AB⊂【解析】证明线共点的问题实质上是证明点在线上的问题，其基本理论是把直线看作两平面的交线，点看作是两平面的公共点，由公理3得证．

本题主要考查三线共点的证明，考查逻辑推理能力，属于基础题．

18.【答案】解：(1)设a与b夹角为θ，θ∈[0,π]，

∵|a|=|b|=1，且|3a−2b|=7，

∴9a2【解析】(1)根据已知条件，将|3a−2b19.【答案】解：由题意可知，截去的八个四面体是全等的正三棱锥，体积是8×13×12×25×25【解析】由已知求得正方体的体积，减去八个正三棱锥的体积得答案．

本题考查正方体与三棱锥体积的求法，属基础题．

20.【答案】解：(Ⅰ)△ABC中，∵cosB=45>0，∴sinB=1−cos2B=35【解析】(Ⅰ)利用同角三角函数的基本关系，诱导公式、两角和差的余弦公式，求得cosC的值．

(Ⅱ)若c=2，利用正弦定理求得a21.【答案】证明：(如图)连接AC交BD于点O，连接MO，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴O是AC的中点，又M是PC的中点，∴PA//OM．

又∵OM⊂平面BMD，PA⊄平面BMD，【解析】连接AC交BD于点O，连接MO，由平行四边形可得PA//OM，进而可得PA//平面BMD.22.【答案】(1)证明：连接BM，BN，BG并延长分别交AC，AD，