应用离散数学代数结构格和布尔代数题库试卷习题及答案_第1页
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文档简介

应用离散数学代数结构§四.七格与布尔代数题四.七一．确定具有如图四.四所示哈斯图地偏序集是否为格。图四.四题一地图解图(a)不是格,图(b)是格,图(c)是格。二．证明每个有限格都有一个最小元素与一个最大元素。证明:用反证法,假设某有限格没有最大元素,只有极大元,则这几个极大元之间没有上确界,与格地定义矛盾,从而有限格都有最大元素。同理可证明有最小元素。三．给出一个无限格地例子,使得（一）既没有最小元素也没有最大元素。（二）有最小元素但没有最大元素。（三）有最大元素但没有最小元素。（四）有最小元素也有最大元素。解:对于偏序集<R,≤>,既没有最小元素也没有最大元素。对于偏序集<N,≤>,有最小元素零,但没有最大元素。对于偏序集<Z-,≤>,有最大元素-一,但没有最小元素。对于偏序集<[一,二],≤>,有最大元素二,有最小元素一。四．给出一个有限格地例子,其至少一个元素有多于一个地补元,且至少一个元素没有补元。解如下哈斯图所示地偏序集是一个格,元素有补元与,元素有补元与,元素有补元与,但元素与都没有补元。一一零abdce五．设是有界格,证明:（一）若≥二,则不存在以自身为补元地元素。（二）若≥三,且是链（全序集）,则不是有补格。证明:用反证法,假设L存在一个元素a以自身为补元,所以a-一=a.据有界格地定义,则a⨁a=a=1,a⨂a=a=0显然,二者矛盾。因此若≥二,则不存在以自身为补元地元素。用反证法,假设L是有补格,则L每个元素都是有补元地。若a与b是补格,则需求满足a⨁b=1,a⨂b=0,但是a,b间不一定可以比较,也就是说不一定是全序集,与条件矛盾。六．格是分配格吗？试分析之。解:不是分配格,例如有三个数,c|a,b与c,a都不具有整除关系,但是,但,不满足分配律,所以不是分配格。七．给出一个不是分配格地例子。解:<N,|>不是分配格。八．在布尔代数证明证明:（一）在布尔代数满足bc⨁b=1,bc若a⨂bc=零时因为(a⨁b)⨂(bc⨁b)=(a⨂bc)⨁b=零⨁b=b(a⨁b)⨂(bc⨁b)=(a⨁b)⨂一=a⨁b从而a⨁b=b所以a≤b另一方面,若a≤b时,因为bc≤bc从而a⨂bc≤b⨂bc=零,所以a⨂bc=零。（二）若a⨁bc=一时因为(a⨂b)⨁(ac⨂a)=(a⨁bc)⨂a=一⨂(a⨂b)⨁(ac⨂a)=(a⨂b)从而a⨂b=a所以a≤九．对于,给出所有不同构地元格,并说明其哪些是分配格,有补格与布尔格。解:一元格:{a}二元格:是分配格,有补格与布尔格。三元格:是分配格,有补格与布尔格。四元格:（一）是分配格,有补格与布尔格。（二）是分配格,有补格与布尔格。五元格:（一）是分配格,有补格与布尔格。（二）是有补格,但不是分配格与布尔格。（三）不是分配格,不是有补格,不是布尔格。一零．设是布尔代数,在上定义二元运算,有问能否构成代数系统？如果能,指出是哪一种代数系统。为什么？解

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