第25讲空间中平行与垂直的判定和性质（教师版）

第25讲空间中的平行于垂直的判定与性质一．基础知识整合1．直线与平面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理若平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行(线线平行⇒线面平行)l∥a，aα，l⊄α⇒l∥α性质定理如果一条直线与一个平面平行，那么过该直线的任意一个平面与已知平面的交线与该直线平行(简记为“线面平行⇒线线平行”)l∥α，lβ，α∩β＝b⇒l∥b2．平面与平面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行(简记为“线面平行⇒面面平行”)a∥β，b∥β，a∩b＝P，aα，bα⇒α∥β性质定理如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b3．直线与平面垂直的判定定理及性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直⇒l⊥α性质定理若果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行⇒a∥b4．平面与平面垂直的判定定理文字语言图形语言符号语言判定定理如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直⇒α⊥β性质定理如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于交线的直线垂直另一个平面⇒l⊥α二．典例精析题型一：空间中平行关系的判定例1：如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F、G、H分别是BC、CC1、C1D1、A1A的中点．求证：(1)BF∥HD1；(2)EG∥平面BB1D1D.证明：(1)取BB1的中点M，易证四边形HMC1D1是平行四边形，∴HD1∥MC1.又MC1∥BF，∴BF∥HD1.(2)取BD的中点O，连结EO、D1O，则OE∥=eq\f(1,2)DC，又D1G∥=eq\f(1,2)DC，∴OE∥=D1G，∴四边形OEGD1是平行四边形，∴GE∥D1O.又D1O平面BB1D1D，∴EG∥平面BB1D1D.变式训练1：如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E、F、G分别是BC、DC、SC的中点，求证：(1)直线EG∥平面BDD1B1；(2)平面EFG∥平面BDD1B1.证明：(1)如图，连接SB，∵E、G分别是BC、SC的中点，∴EG∥SB.又∵SB⊂平面BDD1B1，EG⊄平面BDD1B1，∴直线EG∥平面BDD1B1.(2)连接SD，∵F、G分别是DC、SC的中点，∴FG∥SD.又∵SD⊂平面BDD1B1，FG⊄平面BDD1B1，∴FG∥平面BDD1B1，且EG⊂平面EFG，FG⊂平面EFG，EG∩FG＝G，∴平面EFG∥平面BDD1B1.题型二：空间中平行关系的性质例2：如图，直线CD、AB分别平行于平面EFGH，E、F、G、H分别在AC、AD、BD、BC上，且CD＝a，AB＝b，CD⊥AB.(1)求证：四边形EFGH是矩形；(2)点E在AC上的什么位置时，四边形EFGH的面积最大？解：(1)因为CD∥平面EFGH，所以CD∥EF，CD∥GH，所以GH∥EF.同理EH∥GF，所以四边形EFGH为平行四边形．又因为AB⊥CD，所以HE⊥EF.所以四边形EFGH是矩形．(2)设CE＝x，AC＝1，因为HE∥AB，所以eq\f(HE,AB)＝eq\f(CE,CA)，所以HE＝xAB＝xb.同理，EF＝(1－x)DC＝(1－x)a.所以S矩形EFGH＝HE·EF＝x(1－x)ab＝[－(x－eq\f(1,2))2＋eq\f(1,4)]ab，当且仅当x＝eq\f(1,2)时，S矩形EFGH最大，即当E为AC中点时，四边形EFGH的面积最大．变式训练2：如图，已知α∥β，点P是平面α、β外的一点(不在α与β之间)，直线PB、PD分别与α、β相交于点A、B和C、D.(1)求证：AC∥BD；(2)已知PA＝4cm，AB＝5cm，PC＝3cm，求PD的长．(3)若点P在α与β之间，试在(2)的条件下求CD的长．解：(1)证明：∵PB∩PD＝P，∴直线PB和PD确定一个平面γ，则α∩γ＝AC，β∩γ＝BD.又α∥β，∴AC∥BD.(2)由(1)得AC∥BD，∴eq\f(PA,AB)＝eq\f(PC,CD).∴eq\f(4,5)＝eq\f(3,CD).∴CD＝eq\f(15,4).∴PD＝PC＋CD＝eq\f(27,4)(cm)．(3)由(1)得AC∥BD，∴△PAC∽△PBD.∴eq\f(PA,PB)＝eq\f(PC,PD)，即eq\f(PA,AB－PA)＝eq\f(PC,PD).∴eq\f(4,5－4)＝eq\f(3,PD)，∴PD＝eq\f(3,4).∴CD＝PC＋PD＝3＋eq\f(3,4)＝eq\f(15,4)(cm)．题型3：空间中垂直关系的判定例3：如图所示，在四棱锥P­ABCD中，AB⊥平面PAD，AB∥CD，PD＝AD，E是PB的中点，F是DC上的点且DF＝eq\f(1,2)AB，PH为△PAD中AD边上的高．（1）证明：PH⊥平面ABCD；（2）证明：EF⊥平面PAB.证明：（1）因为AB⊥平面PAD，PH⊂平面PAD，所以PH⊥AB.因为PH为△PAD中AD边上的高，所以PH⊥AD.因为PH⊄平面ABCD，AB∩AD＝A，AB，AD⊂平面ABCD，所以PH⊥平面ABCD.（2）取PA中点M，连接MD，ME.因为E是PB的中点，ACBFPEO所以ME綊eq\f(1,2)AB.又因为DF綊eq\f(1,2)AB，所以ME綊DF，所以四边形MEFD是平行四边形，所以EF∥MD.因为PD＝AD，所以MD⊥PA.因为AB⊥平面PAD，所以MD⊥AB.因为PA∩AB＝A，所以MD⊥平面PAB，所以EF⊥平面PAB.ACBFPEO变式训练3：如图所示，已知PA⊥⊙O所在平面，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上任意一点，过A作AE⊥PC于点E，AF⊥PB于点F，求证：

(1)AE⊥平面PBC；

(2)平面PAC⊥平面PBC；(3)PB⊥EF.证明：(1)因为AB是⊙O的直径，所以∠ACB＝90°，即AC⊥BC.又因为PA⊥⊙O所在平面，即PA⊥⊂平面ABC，所以BC⊥PA.又因为AC∩PA＝A，所以BC⊥⊂平面PAC，所以BC⊥AE.又已知AE⊥PC，PC∩BC＝C，所以AE⊥平面PBC.(2)因为AE⊥平面PBC，且AE⊂平面PAC所以平面PAC⊥平面PBC.(3)因为AE⊥平面PBC，且PB⊂平面PBC，所以AE⊥PB.又AF⊥PB于点F，且AF∩AE＝A，所以PB⊥⊂平面AEF，所以PB⊥EF.

题型4：空间中垂直关系的性质例4：如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E、F分别在A1D、AC上，且EF⊥A1D，EF⊥AC.求证：EF∥BD1.证明：如图所示，连接AB1、B1C、BD.∵DD1⊥平面ABCD，AC平面ABCD.∴DD1⊥AC.又∵AC⊥BD，且BD∩DD1＝D，∴AC⊥平面BDD1.∵BD1平面BDD1，∴BD1⊥AC.同理可证BD1⊥B1C.∴BD1⊥平面AB1C.∵EF⊥A1D，A1D∥B1C，∴EF⊥B1C.又EF⊥AC，且AC∩B1C＝C，∴EF⊥平面AB1C，∴EF∥BD1.变式训练4：已知点P是菱形ABCD外一点，∠DAB＝60°，其边长为a，侧面PAD是正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD，G为AD的中点．(1)求证：AD⊥PB；(2)若E为BC边中点，能否在棱PC上找一点F，使平面DEF⊥结论．证明(1)：连接BG、PG.∵四边形ABCD是菱形且∠DAB＝60°.∴BG⊥△PAD为正三角形，且G是AD中点，∴PG⊥AD.∵PG∩BG＝G，∴AD⊥⊂平面PBG，∴AD⊥PB.(2)当F是PC中点时，平面DEF⊥△PBC中，EF∥PB.在菱形ABCD中，BG∥DE.∴平面DEF∥平面PGB.∵平面PAD⊥平面ABCD，PG⊥AD.∴PG⊥平面ABCD.又PG⊂平面PGB.∴平面PGB⊥平面ABCD.∴平面DEF⊥平面ABCD.题型5：空间中平行垂直关系的综合问题例5：如图，在四面体PABC中，PC⊥AB，PA⊥BC，点D，E，F，G分别是棱AP，AC，BC，PB的中点．(1)求证：DE∥平面BCP；(2)求证：四边形DEFG为矩形；(3)是否存在点Q，到四面体PABC六条棱的中点的距离相等？说明理由．证明：(1)因为D，E分别是AP，AC的中点，所以DE∥PC.又因为DE⊄平面BCP，PC⊂平面BCP，所以DE∥平面BCP.(2)证明：因为D，E，F，G分别为AP，AC，BC，PB的中点，所以DE∥PC∥FG，DG∥AB∥EF.所以四边形DEFG为平行四边形．又因为PC⊥AB，所以DE⊥DG.所以四边形DEFG为矩形．(3)存在点Q满足条件，理由如下：连接DF，EG，设Q为EG的中点，由(2)知，DF∩EG＝Q，且QD＝QE＝QF＝QG＝eq\f(1,2)EG.分别取PC，AB的中点M，N，连接ME，EN，NG，MG，MN.与(2)同理，可证四边形MENG为矩形，其对角线交点为EG的中点Q，且QM＝QN＝eq\f(1,2)EG，所以Q为满足条件的点．变式训练5：如图，在四棱锥PABCD中，PD⊥底面ABCD，AD⊥AB，CD∥AB，AB＝eq\r(2)AD＝2，CD＝3，直线PA与底面ABCD所成角为60°，点M、N分别是PA、PB的中点．求证：(1)MN∥平面PCD；(2)四边形MNCD是直角梯形；(3)DN⊥平面PCB.证明：(1)因为点M、N分别是PA、PB的中点，所以MN∥∥AB，所以MN∥平面PCD，MN平面PCD，所以MN∥平面PCD.(2)因为AD⊥AB，CD∥AB，所以CD⊥⊥底面ABCD，CD平面ABCD，所以CD⊥∩PD＝D，所以CD⊥平面PAD，所以CD⊥∥CD，MN≠CD，所以四边形MNCD是直角梯形．(3)因为PD⊥底面ABCD，所以∠PAD就是直线PA与底面ABCD所成的角，从而∠PAD＝60°.在Rt△PDA中，AD＝eq\r(2)，PD＝eq\r(6)，PA＝2eq\r(2)，MD＝eq\r(2).在直角梯形MNCD中，MN＝1，ND＝eq\r(3)，CD＝3，CN＝eq\r(MD2＋（CD－MN）2)＝eq\r(6)，从而DN2＋CN2＝CD2，所以DN⊥Rt△PDB中，PD＝DB＝eq\r(6)，N是PB的中点，则DN⊥∩CN＝N，所以DN⊥平面PCB.三．方法规律总结1.线面平行问题的常见类型及解题策略(1)线面平行的证明问题．判断或证明线面平行的常用方法有：①利用线面平行的定义(无公共点)；②利用线面平行的判定定理(a⊄α，bα，a∥b⇒a∥α)；③利用面面平行的性质(α∥β，aα⇒a∥β)；④利用面面平行的性质(α∥β，a⊄α，a⊄β，a∥α⇒a∥β)．(2)线面平行的探索性问题．①对命题条件的探索常采用以下三种方法：a．先猜后证，即先观察与尝试给出条件再证明；b．先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明其充分性；c．把几何问题转化为代数问题，探索命题成立的条件．②对命题结论的探索常采用以下方法：首先假设结论存在，然后在这个假设下进行推理论证，如果通过推理得到了合乎情理的结论就肯定假设，如果得到了矛盾的结果就否定假设．2.判定面面平行的四种方法(1)利用定义：即证两个平面没有公共点(不常用)．(2)利用面面平行的判定定理(主要方法)．(3)利用垂直于同一条直线的两平面平行(客观题可用)．(4)利用平面平行的传递性，即两个平面同时平行于第三个平面，则这两个平面平行(客观题可用)3.三种平行关系间的转化4.线面垂直问题的常见类型及解题策略(1)与命题真假判断有关的问题．解决此类问题的方法是结合图形进行推理，或者依据条件举出反例否定．(2)线面垂直的证明．证明线面垂直的核心是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质．因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想．(3)线面垂直的探索性问题．此类问题的解决方法同“线面平行的探索性问题”的求解方法．5.面面垂直的性质应用技巧(1)两平面垂直，在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面．这是把面面垂直转化为线面垂直的依据，运用时要注意“平面内的直线”．(2)两个相交平面同时垂直于第三个平面，那么它们的交线也垂直于第三个平面，在不是很复杂的题目中，要对此进行证明．6.三种平行关系间的转化四．课后练习作业一．选择题1．已知两条不同的直线l，m，两个不同的平面α，β，则下列条件能推出α∥β的是(C)A．l⊂α，m⊂α，且l∥β，m∥βB．l⊂α，m⊂β，且l∥mC．l⊥α，m⊥β，且l∥mD．l∥α，m∥β，且l∥m解析：借助正方体模型进行判断．易排除选项A，B，D，故选C.2．平面α∥平面β的一个充分条件是(D)A．存在一条直线a，a∥α，a∥βB．存在一条直线a，a⊂α，a∥βC．存在两条平行直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥αD．存在两条异面直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α解析：若α∩β＝l，a∥l，a⊄α，a⊄β，则a∥α，a∥β，故排除A.若α∩β＝l，a⊂α，a∥l，则a∥β，故排除B.若α∩β＝l，a⊂α，a∥l，b⊂β，b∥l，则a∥β，b∥α，故排除C3．在空间中，a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则真命题是(D)A．若a∥α，b∥α，则a∥bB．若a⊂α，b⊂β，α⊥β，则a⊥bC．若a∥α，a∥b，则b∥αD．若α∥β，a⊂α，则a∥β解析：对于A，平行于同一平面的两条直线的位置关系可能是平行、相交或者异面，因此选项A不正确；对于B，分别位于两个相互垂直的平面内的两条直线可能是平行的或异面的或相交的，因此选项B不正确；对于C，直线b可能位于平面α内，此时结论不正确；对于D，直线a与平面β没有公共点，因此a∥β，选项D正确．4.如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别为棱AB，CC1的中点，在平面ADD1A1内且与平面D1EF平行的直线(D)A．不存在B．有1条C．有2条D．有无数条解析：由题设知平面ADD1A1与平面D1EF有公共点D1，由平面的基本性质中的公理知必有过该点的公共直线l，在平面ADD1A1内与l平行的线有无数条，且它们都不在平面D1EF内，由线面平行的判定定理知它们都与平面D1EF平行．5.如图所示，在空间四边形ABCD中，E，F分别为边AB，AD上的点，且AE∶EB＝AF∶FD＝1∶4，又H，G分别为BC，CD的中点，则(B)A．BD∥平面EFGH，且四边形EFGH是矩形B．EF∥平面BCD，且四边形EFGH是梯形C．HG∥平面ABD，且四边形EFGH是菱形D．EH∥平面ADC，且四边形EFGH是平行四边形解析：由AE∶EB＝AF∶FD＝1∶4知EF綊eq\f(1,5)BD，∴EF∥平面BCD.又H，G分别为BC，CD的中点，∴HG綊eq\f(1,2)BD，∴EF∥HG且EF≠HG.∴四边形EFGH是梯形．6．设α，β分别为两个不同的平面，直线l⊂α，则“l⊥β”是“α⊥β”成立的(A)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：依题意，由l⊥β，l⊂α可以推出α⊥β；反过来，由α⊥β，l⊂α不能推出l⊥β.因此“l⊥β”是“α⊥β”成立的充分不必要条件．7．在如图所示的四个正方体中，能得出AB⊥CD的是(A)解析：A中，∵CD⊥平面AMB，∴CD⊥AB；B中，AB与CD成60°角；C中，AB与CD成45°角；D中，AB与CD夹角的正切值为eq\r(2).8．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面．(C)A．若m⊥n，n∥α，则m⊥αB．若m∥β，β⊥α，则m⊥αC．若m⊥β，n⊥β，n⊥α，则m⊥αD．若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥α解析：.A中，由m⊥n，n∥α可得m∥α或m与α相交或m⊂α，错误；B中，由m∥β，β⊥α可得m∥α或m与α相交或m⊂α，错误；C中，由m⊥β，n⊥β可得m∥n，又n⊥α，所以m⊥α，正确；D中，由m⊥n，n⊥β，β⊥α可得m∥α或m与α相交或m⊂α，错误．9.如图，在斜三棱柱ABC­A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则点C1在平面ABC上的射影H必在(A)A．直线AB上B．直线BC上C．直线AC上D．△ABC的内部解析：连接AC1(图略)，∵AC⊥AB，AC⊥BC1，AB∩BC1＝B，∴AC⊥平面ABC1.又AC⊂平面ABC，∴平面ABC1⊥平面ABC，∴点C1在平面ABC上的射影H必在两平面的交线AB上，故选A.10.如图，在三棱锥D­ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列结论正确的是(C)A．平面ABC⊥平面ABDB．平面ABD⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDED．平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE解析：要判断两个平面的垂直关系，就需固定其中一个平面，找另一个平面内的一条直线与第一个平面垂直．因为AB＝CB，且E是AC的中点，所以BE⊥AC，同理有DE⊥AC，于是AC⊥平面BDE.因为AC在平面ABC内，所以平面ABC⊥平面BDE.又由于AC⊂平面ADC，所以平面ADC⊥平面BDE.二．填空题11.如图，在空间四边形ABCD中，M∈AB，N∈AD，若eq\f(AM,MB)＝eq\f(AN,ND)，则直线MN与平面BDC的位置关系是__________．解析：在平面ABD中，eq\f(AM,MB)＝eq\f(AN,ND)，∴MN∥BD.又MN⊄平面BCD，BD⊂平面BCD，∴MN∥平面BCD.12．如图所示，正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为a，点P是棱AD上一点，且AP＝eq\f(a,3)，过B1、D1、P的平面交底面ABCD于PQ，Q在直线CD上，则PQ＝________．解析：∵平面A1B1C1D1∥平面ABCD，而平面B1D1P∩平面ABCD＝PQ，平面B1D1P∩平面A1B1C1D1＝B1D1，∴B1D1∥PQ.又∵B1D1∥BD，∴BD∥PQ，设PQ∩AB＝M，∵AB∥CD，∴△APM∽△DPQ.∴eq\f(PQ,PM)＝eq\f(PD,AP)＝2，即PQ＝2PM.又知△APM∽△ADB，∴eq\f(PM,BD)＝eq\f(AP,AD)＝eq\f(1,3)，∴PM＝eq\f(1,3)BD，又BD＝eq\r(2)a，∴PQ＝eq\f(2\r(2),3)a.13．设α，β是空间中两个不同的平面，m，n是平面α及β外的两条不同直线．从“①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α”中选取三个作为条件，余下一个作为结论，写出你认为正确的一个命题：________(填序号)．解析：因为当n⊥β，m⊥α时，平面α及β所成的二面角与直线m，n所成的角相等或互补，所以若m⊥n，则α⊥β，从而由①③④⇒②正确；同理②③④⇒①也正确．14.如图，PA垂直于圆O所在的平面，AB是圆O的直径，C是圆O上的一点，E，F分别是点A在PB，PC上的射影，给出下列结论：①AF⊥PB；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC.其中正确结论的序号为________．解析：因为PA垂直于圆O所在的平面，所以PA⊥平面ABC，即PA⊥BC，又因为AB是圆O的直径，所以BC⊥AC，所以BC⊥平面PAC，又AF⊂平面PAC，所以AF⊥BC，又AF⊥PC，所以AF⊥平面PBC，所以AF⊥PB.又因为AE⊥PB，所以PB⊥平面AEF，即PB⊥EF.三．解答题15．如图，E，F，G，H分别是正方体ABCD—A1B1C1D1的棱BC，CC1，C1D1，AA1的中点，求证：(1)GE∥平面BB1D1D；(2)平面BDF∥平面B1D1H.证明:(1)取B1D1中点O，连接GO，OB，易证OG∥B1C1，且OG＝eq\f(1,2)B1C1，BE∥B1C1，且BE＝eq\f(1,2)B1C1，∴OG∥BE且OG＝BE，四边形BEGO为平行四边形，∴OB∥GE.∵OB平面BDD1B1，GE⃘平面BDD1B1，∴GE∥平面BDD1B1.(2)由正方体性质得B1D1∥BD，∵B1D1⃘平面BDF，BD平面BDF，∴B1D1∥平面BDF，连接HB，D1F，易证HBFD1是平行四边形，得HD1∥BF.∵HD1⃘平面BDF，BF平面BDF，∴HD1∥平面BDF，∵B1D1∩HD1＝D1，∴平面BDF∥平面B1D1H.16.如图，斜三棱柱ABC­A1B1C1中，点D，D1分别为AC，A1C1上的点．(1)当eq\f(A1D1,D1C1)等于何值时，BC1∥平面AB1D1?(2)若平面BC1D∥平面AB1D1，求eq\f(AD,DC)的值．解：(1)如图，取D1为线段A1C1的中点，此时eq\f(A1D1,D1C1)A1B交AB1于点O，连接OD1.由棱柱的性质，知四边形A1ABB1为平行四边形，∴点O为A1B的中点．在△A1BC1中，点O，D1分别为A1B，A1C1的中点，∴OD1∥BC1.又∵OD1⊂平面AB1D1，BC1⊄平面AB1D1，∴BC1∥平面AB1D1.∴eq\f(A1D1,D1C1)＝1时，BC1∥平面AB1D1.(2)由已知，平面BC1D∥平面AB1D1，且平面A1BC1∩平面BDC1＝BC1，平面A1BC1∩平面AB1D1＝D1O.因此BC1∥D1O，同理AD1∥DC1.∴eq\f(A1D1,D1C1)＝eq\f(A1O,OB)，eq\f(A1D1,D1C1)＝eq\f(DC,AD).又∵eq\f(A1O,OB)＝1，∴eq\f(DC,AD)＝1，即eq\f(AD,DC)＝1.17.如图，三棱锥A-BCD中，∠BCD＝90°，BC＝CD＝1，AB⊥平面BCD，∠ADB＝60°，E，F分别是AC，AD上的动点，且eq\f(AE,AC)＝eq\f(AF,AD)＝