第二章弹性力学课件

第二章应力状态理论10/10/202311/49应力概念是固体力学最主要概念之一,应力分量具有张量性质，符合张量坐标变换规律。考虑单元体平衡，得到平衡微分方程，在边界上得到边界条件，边界条件在弹性力学问题求解中占有主要地位。10/10/202322/492.1张量概念与坐标变换2.2应力和一点应力状态2.3平衡微分方程2.4边界条件2.5主应力和应力张量不变量2.6转轴时应力张量变换2.7圣维南原理2.8例题10/10/202333/492.1张量概念与坐标变换指标符号(1)量与数：任何一种量都是客观对象数学表征，一般是由若干个数字给出，最简单量称为标量，由一种数字确定。矢量有大小、方向，就不能只用一种数值表达，由若干分量组成，引入下标识号法。

10/10/202344/49能够将坐标x,y,z

轴，记为x1,x2,x3,一般可简记为xi,各轴基矢记为e1,e2,e3,可简记为ei,在此坐标系中矢量v分量记为v1,v2,v3,可简记为vi。矢量点积:一种矢量和另一种矢量点积能够决定一种标量，用指标符号可记为:10/10/202355/49求和所得到成果，不再具有这一指标，这一指标换为其他指标也不会影响其成果，这一指标称为哑标。不求和指标称为自由指标。一项中有相它符号指标，一般有泛指意义。(2)Einstein求和商定：最后一种等式在符号∑下fisi有两个同样指标i。商定凡在同一项中有一对相同指标（也就是一种指标出现两次时），就以为是对这一指标从1到3全程求和，并限定在同一项中不能有同一下标出现3次或3次以上，求和符号略去不写，记为：10/10/202366/49

记基矢点积

ei·e

j=δij其中称为克罗内克尔代尔塔符号(Kroneckerdelta)。该定义表白它有对称性，与指标排列次序无关，即：δij＝δji10/10/202377/49记基矢混合积(e

i

×e

j）·e

k

=eijk

其中称为置换符号。利用置换符号，两个矢量矢积可记为

a

i

×b

j=eijk

aibjek当i，j，k有两个或三个相同当i,j,k为偶置换当i,j,k为奇置换10/10/202388/49将求导符号简记为：梯度可记为：则散度可记为：10/10/202399/49

标量与坐标轴选用无关，但矢量分量和应力分量和坐标轴选用有关，这种与坐标变换有关，满足要求坐标变换公式物理量称为张量。标量称为零张量，矢量为一阶张量，矩阵（方阵）是二阶张量。二张量定义在力学中常用物理量（或几何量）可分为几类：标量（只有大小没有方向）；矢量（现有大小又有方向）；张量（具有多重方向性更为复杂物理量）10/10/20231010/49应力张量：一点应力状态，它具有二重方向性，即应力分量值既与截面法线方向有关又与应力分量本身方向有关，是二阶张量，可记为。=10/10/20231111/492.2应力和一点应力状态

根据物体连续性假设，可以为物体在微小面上ΔS力是连续分布，内力ΔF则是这个分布力协力，于是分布集度为：即平均力。当ΔS很小时，这个集度极限就称为应力，表达为：ΔFΔS10/10/20231212/49在给定直角坐标系下，应力可沿3个坐标方向分解，分别表达为：,,。则有：这里，，分别表达坐标单位矢量。应力矢量又可分别沿微分面法向和切向方向分解，分别表达为正应力和切应力。10/10/20231313/49一点应力状态通过物体内一点能够作无数个方位不一样微分面，各微分面上应力一般各不一样，我们把物体内同一点各微分面上应力情况，称为一点应力状态。在笛卡尔坐标系下，我们分别沿平行于坐标平面3个微分面方向进行应力分解后，可得到9个应力分量，我们将他们整体称为应力张量，其中每一种量称为应力分量。应力张量表达为：10/10/20231414/499个应力分量能够完全确定一点应力状态。10/10/20231515/49在外力作用下，物体整体平衡同步，任何一部分也将保持平衡。我们从中取出一种单元体dv=dxdydz加以分析,物体内某点正应力为σi。

假如仅考虑单元体平衡，能够不考虑单元体同一方向上相隔一定距离应力微小变化，前后两面应力可以为是大小相等、方向相反。不过，在分析整体平衡时，应力这个微小变化，各面应力差就是造成物体各处应力变化原因，必须加以考虑。2.3平衡微分方程10/10/20231616/49图示单元体z轴方向平衡，在z面负面z处，正应力记为σz,在x面负面处，切应力记为τxz；xyzoz正面z+dz处应力为x正面x+dx处切应力为τxz10/10/20231717/49在y面负面y处，切应力记为τyz,xyzoy正面y+dy处应力为τyz设Fbz

为物体Z方向体力分量。总和后整顿便得到z方向静力平衡方程∑Z=0:10/10/20231818/49同理得到x、y方向静力（或运动）平衡微分方程:其中Fbx,Fby,Fbz

为物体体力分量。从平衡方程中看到只有6个未知数σij。利用前后、上下、左右面中心线轴转距为0,能够得到：即为剪应力互等定理。根据切应力互等定理，应力分量为对称张量。10/10/20231919/49平面状态平衡微分方程为：平衡微分方程张量形式是：10/10/20232020/49

平衡微分方程矩阵形式是：Lσ+F=0其中L是微分算子：10/10/20232121/49按照边界条件不一样，弹性力学问题可分为位移边界问题、应力边界问题和混合边界问题。位移边界问题：物体在所有边界上位移分量是已知。应力边界问题：物体在所有边界上应力分量是已知。混合边界条件：物体一部分边界具有已知位移，因而具有位移边界条件，另一部分边界具有已知面力，因而具有应力边界条件。2.4边界条件10/10/20232222/49在外力作用下，我们从物体从中取出单元体位于边界处，则单元体内部应力形成内力和边界上外力平衡。1)假如边界面正好和坐标平面平行，则立即可得到应力应满足条件。2)假如边界面和坐标平面斜交，则应根据形成四周体平衡条件得到应力应满足条件。应力边界条件10/10/20232323/49设边界上一点处A外力沿轴向分量为px,py

（沿正向为正）。在边界A这部分可视外力分量为应力分量，直接得到应力边界条件：σx=pxτyx=py10/10/20232424/49设斜面ACD为边界面，其外法线n方向为(l1,l2,l3)，面积为ΔS，边界外力p分量为(px，py，,pz)，则三角形ABC、ABD、BCD面积分别为ΔS在各对应方向上投影为l1ΔS,l2ΔS,l3ΔS。四周体体积为dv。nxyzo10/10/20232525/49注意，这里边界上外力是坐标轴方向上分量。由x方向平衡得到：pxΔS=l1ΔSσx+l2ΔSτyx+l3ΔSτzx即px=l1σx+l2τyx

+l3τzxxyz010/10/20232626/49由y、z方向平衡得到:py=l1τxy+l2σy+l3τzy

pz=l1τxz+l2τyz+l3σz其张量形式为Pi

=σijlj10/10/20232727/49假如四周体取自物体内部，则(px，py，,pz)是斜面上应力σv（P）沿原坐标轴方向上分量，将其与斜面方向矢量点积，则得到该面上法向应力（正应力）10/10/20232828/49切应力可按矢量办法求得：10/10/20232929/49当坐标转动时，受力物体内任一确定点九个应力量将伴随变化。在坐标系不停转动过程中，必然能找到一种坐标系，使得该点在该坐标系中只有正应力分量，而剪应力分量为零。把这样微分面称为主微分面，简称主平面，其法向方向称为应力主方向，而其上应力称为主应力。主应力和应力不变量2.5主应力和应力不变量10/10/20233030/49前面得到就是斜面应力公式，它给出了物体内一点九个应力分量与通过同一点各微分面上应力之间关系。这样要理解各点应力状态问题，化为求出各点九个应力量问题。由前面斜面应力公式可知，过任意一点法向矢量为n微分斜面上，其斜面应力为：假如法向矢量n为应力主方向，则斜面应力σn应与斜面法向矢量n同向，此时，斜面上只有正应力而无剪应力，于是：可得到主平面上法向矢量n应满足关系式：引入δij进行换标，上式改写为：10/10/20233131/49上式是ni线性代数方程组。其非零解存在条件：方程（*）称为应力状态特性方程，它三个特性根即为主应力。I1、I2、I3分别称为应力张量第一、第二和第三不变量。10/10/20233232/49由于方程（*）根不变，故方程总系数一定为不变量。假如坐标轴正好与三个主方向重合，则应力张量简化为？主坐标系，主向空间？主应力几个主要性质：（1)不变性：从物理意义上讲，主应力是物体内部受外部确定原因作用时客观存在量。（2）实数性（3）正交性（4）极值性：通过一点所有微分面上全应力中，最大和最小全应力分别是绝对值最大和最小主应力。10/10/20233333/49弹性理论适用范围是由材料屈服条件来确定。大量试验证明，剪应力对材料进入塑性屈服阶段起决定性作用，例如第三强度理论，又称特雷斯加（TrescaH)屈服条件，是以最大剪应力为材料是否进入塑性屈服阶段判据；第四强度理论，又称米泽斯（VonMisesR)屈服条件，则与八面体剪应力有关。思考题：在点M应力σi已知主坐标空间中求最大剪应力和八面体应力计算式？10/10/20233434/49

2.6转轴时应力分量变换

当坐标系变化时，通过一点各应力分量应如何变化。能够证明，当坐标平移式，应力张量中各应力分量不会变化，我们只研究当坐标旋转时，应力张量变换。设在笛卡尔坐标系oxyz下，某点9个应力分量为：

10/10/20233535/49

目前让坐标系转过某一角度，得到新坐标系设它与老坐标之间关系为：其中表达3个新坐标轴对于老坐标轴方向余弦，假如：

x

y

z10/10/20233636/49其中新坐标系下应力可表达为：10/10/20233737/49

其中，过M点并与轴垂直微分面向老坐标轴是倾斜微分面，它法线方向即为轴方向，其方向余弦为，固有斜面上应力可表达为：将此式代入上页公式整顿可得:10/10/20233838/4910/10/20233939/49

应力分量为二阶张量，应力分量坐标变换公式为用指标符号记为10/10/20234040/49以平面应力状态为例，设新坐标系由原坐标系逆时针转动θ而成，新坐标轴基矢e1'

、e2'

对原基矢e1

、e2

过渡矩阵为式

[lij]=l，则坐标变换公式[σi'j']=l[σij]lT10/10/20234141/49其展开形式为10/10/20234242/49当坐标系变化时，应力分量也发生变化，当坐标系转动到某些位置时，应力分量中切应力为零，仅有正应力不为零，这些正应力称为主应力。这时坐标系所指方向为主方向。从变换角度来