数学实验之四数列与级数市公开课金奖市赛课一等奖课件

数学试验之四

数列与级数陈发来

中国科学技术大学数学系/10/10第1页第1页1、数列与级数数列

级数数列与级数关系给定数列（1），令 ，则数列（1）等价于级数（2）。反之，给定级数（2）令则级数（2）等价于数列（1）。/10/10第2页第2页给定数列（1），回答下列问题：1、数列有什么规律与性质？2、数列极限是否存在有限？

3、假如数列极限趋于无穷，那么它趋于无穷阶是多大？

4、假如数列极限不存在，那它在无穷大时极限状态又如何？/10/10第3页第3页2、Fibonacci数列Fibonacci数列由递推关系拟定。其前十项为：

1，1，2，3，5，8，13，21，34，5512345/10/10第4页第4页为研究Fibonacci数列规律，我们在二维平面上画出顺次连接点列折线图。/10/10第5页第5页易知故有阶在与之间。为进一步研究特性，在平面坐标系中画连接

折线图。然后用直线去拟合之./10/10第6页第6页/10/10第7页第7页猜想将上式代入递推公式中得由此然而,上式并不满足进一步猜想/10/10第8页第8页由此得能够验证上式是Fibonacci数列通项.由此，Fibonacci数列趋于无穷阶为/10/10第9页第9页普通地,给定数列递推关系假设则满足/10/10第10页第10页因此通项为其中是上述方程根。/10/10第11页第11页3、调和级数调和级数研究数列极限阶./10/10第12页第12页首先研究折线图./10/10第13页第13页由于

下面研究极限.从上图猜想,极限存在.事实上,易知/10/10第14页第14页故知极限存在.进而由此猜想用数据拟合发觉,称为Euler常数./10/10第15页第15页也能够直接从数列出发.猜想/10/10第16页第16页4、3N+1问题问题：任给自然数n，假如n是偶数，则将n除2；假如n是奇数，则将n乘3加1。重复上述过程得到一个无穷数列。比如，上述数列可递归地定义为假如n为偶假如n为奇

/10/10第17页第17页我们来研究上述数列规律。先从简朴示例开始。/10/10第18页第18页用Mathematica编程验证：1、是否对任意n，从n开始产生数列最后都落于421循环中？2、数列在落于421循环之前，有什么规律？/10/10第19页第19页对n=27得/10/10第20页第20页/10/10第21页第21页该问题起源于20世纪50年代，被称为Syracuse猜想，角谷猜想，Collatz问题，Hasse算法问题，Ulam问题，Thwaites猜想，简称3x+1问题。当前有些人验证到猜想仍然成立。/10/10第22页第22页一些观测：假如，则对，为奇数，则/10/10第23页第23页假如对每个n,数列中有某一项小于n,则猜想成立。对n=4k+1,有对n=16k+3,有/10/10第24页第24页假如猜想不成立，则只有下列两种情况之一1、数列落于有别于421循环中；2、不存在循环。此时，数列总趋势会越来越大。/10/10第25页第25页引入一些概念：航班：从n开始迭代产生数列（直至1为止）。如第5次航班为5168421航程：航班长度。如航班5168421长度为5最大飞行高度：一个航班中最大数字。如第5航班最大飞行高度为16/10/10第26页第26页保持高度航程：从起点起连续不小于起点数字个数。如3105168421保持高度航程为5。假如所有航班保持高度航程有限，则3n+1问题成立。航程统计航班：航程不小于所有它前面航班航程。如第7航班，它航程为16。保持高度航程统计航班：保持高度航程不小于所有前面航班保持高度航程。/10/10第27页第27页最大飞行高度统计航班：最大飞行高度不小于所有它前面航班最大飞行高度。对于一个固定航班N,考虑它着陆前表示奇变换。其中除2变换称为偶变换，乘3加1变换成为奇变换。用E(N)表示偶变换数，O(N)表示奇变换数。/10/10第28页第28页一些统计：保持高度航程：N=118303688851791519,G(N)=1471留数：N=993,R(N)=1.253142航程：N=1269884180266527,F(N)=2039/10/10第29页第29页显然3N+1问题与下列问题等价：1）所有航班航程有限；2）所有航班保持高度航程有限；3）对所有N,E(N)有限；4）对所有N,O(N)有限。/10/10第30页第30页一些摸索：1）航程与起点关系。/10/10第31页第31页上述图形中有无规律？用f(n)表示航班n航程。f(n)上界与n存在什么样函数关系？比如，当n适当大后，是否有f(n)<n？一些航程统计：/10/10第32页第32页2）保持高度航程与起点关系。/10/10第33页第33页上述图形中能看出什么规律？用G(N)表示保持高度航程。G(N)上界是否与不超出c*log(N)?对N=2^p-1,a_2=3*2^p-2,a_4=3^2*2^p-1,a_2p=3^p-1.于是，G(2^p-1)>2p.一些保持高度航程统计：G(3)=6,G(7)=11,G(27)=96,G(703)=132./10/10第34页第34页3）最大飞行高度与起点关系。/10/10第35页第35页用t(n)表示航班n最高飞行高度。上述图形中有什么规律？t(n)与n关系如何？比如，是否有t(n)<K*n*n?/10/10第36页第36页偶变换与奇变换关系：/10/10第37页第37页O(N)/E(N)上界是什么？当N趋于无穷时，O(N)/E(N)极限是什么？简朴分析：其中R(N)称为留数，它是所有形如项积，这里a_i是航程中奇数。比如，/10/10第38页第38页对于航班3105168421,E(3)=5,O(3)=2,R(3)=(1+1/9)(1+1/15)取对数得故/10/10第39页第39页且假如则/10/10第40页第40页一些猜想：（1）R(N)<=R(993)(2)令C(N)=O(N)/E(N),则C(N)<C,C<log2/log3为常数。

/10/10第41页第41页启发式论证：注意每一次奇变换后必定是偶变换，但每一次偶变换后能够是奇变换，也也许是偶变换。假设这种也许性是同样。从某一个N开始，我们考察航班高度改变：（1）奇变换后做偶变换结果为奇数，也许性1/2，高度变换3/2；（2）奇变换后做偶变换结果为偶数，也许/10/10第42页第42页性为1/4，高度改变3/4；奇变换后再作三次偶改变，也许性1/8，高度改变3/8；………………..平均改变高度：高度最后下降。/10/10第43页第43页用c表示保持高度航程中奇变换次数平均值。利用上述模型能够证实，c=3.49265….对3到000000之间航班保持高度航程中奇次变换取平均值，可得到3.4926…。这两个结果惊人一致性使我们相信上述启发式模型正确性。/10/10第44页第44页一些理论结果：（1）R.Terra和C.Evertt证实了：几乎所有航班都会下降到它起点下列。（2）存在常数c,当n足够大时，在比n小航班中，能够在1上着陆航班个数不小于或等于n^c.1978年，R.Crandal首先给出c=0.05;1989年I.Krasikov得到c=0.43;1993年G.Wirsching给出c=0.48;1995年D.Applegate和J.Lagarias得到c=0.81./10/10第45页第45页会不会永远证不出来？自从哥德尔发表他著名不完备定理以来，每次数学家碰到一个困难问题，都会疑神疑鬼—这会不会证不出来？哥德尔不完备定理，在包括皮亚诺自然数公理系统中，总有不可证实命题存在。因而3N+1问题有也许不能证实，即使它是错误。比如，我们也许发觉一个航班，/10/10第46页第46页它非得越来越高，但无论如何不能证实它永远也不会着陆到1。数学家J.Conway（创造了生命游戏）定义了一个类似3N+1问题不可证实命题。但他办法仍然不能阐明3N+1是否能够证实。/10/10第47页第47页各种改变与推广（1）推广到负数。能够有三个不同循环：-1-2-1-5-14-7-20-10-5-17-50-25-74-37-110-55-164-82-41-122-61-182-91-272-136-68-34-17是否有更多循环？/10/10第