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∫x∫lnx1 xydt xdt y 1 1lnxylnxlny对数函数y=lnx的反函数为指数函数xey,习惯上记为yex.指数函数有加法公式ex+y=ex⋅ey.这里的底数e这样定义,它使得∫1 e∫1对数函数y=lnx导数可以直接求出来,即y′=1x(利用变上限积分求导法则。指数函数y=ex的导数可以间接求出来,即利用它的反函数导数,然后倒过来即可,由此可知(ex)′=ex.这比直接利用导数定义要便捷一些。借助于欧拉公式eix=cosx+isinx,我们实际上可以由指数函数来研究三定积分运算∫看做是导数的逆运算,即按:=⎛d ∫.只是后来人们发现了牛顿-莱布尼茨公式,发现连续函数的变上积分∫表示一族函数而不是一个,即∫f(x)dx=F(x)不要漏掉任意常数Cn∑f(ξi)(xi−xi−1当max{xi−xi−1→0无法控制f(ξi).的想法是分y轴(即控制f(ξi),大致想法如下:设m≤f(x)M,然后分割函数的值域[m,Mm=l0<l1<L<ln=
Ek={x∈[a,b]:lk≤f(x)Lebesgue测度记为m(Ek.∑lkm(Ek→∫f(x)∫EDI=∫∫Df(x的,而函数的定义要求对每一个x,有惟一的数值f(x与之对应。所以分xf(x的表现不那么糟糕。但是,如果分y轴,那么根据函数定义,同一个数值y,可能有一堆x与之对应,此时已经不存在函数关系x=g(y了。这一解释说明,站在函数积分的角度看,分x轴与分y轴并不对等。细想想确实如此,对于形态好的函数,分x轴与分y轴效果一样,对于一些比较BT的函数,需要分y轴了(同时要借助L测度理论。需要强调的是:本人的看法是,Lebesgue积分的真正价值不是使得R不可积函数变得可积了,L积分的真正价值是:大大放宽了积分与极限∫u ∫0∫u z∫0
=arcsin定义了正弦函数zsinu.这其实是椭圆积分中k0对应的退化情
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