ARIMA预测原理以及SAS实现代码

ARIMA定义ARIMA的完整写法为ARIMA(p,d,q)其中p为自回归系数，代表数据呈现周期性波动d为差分次数，代表数据差分几次才能达到平稳序列q为移动平均阶数，代表数据为平稳序列，可以用移动平均来处理获得观察值序列差分

运算irN拟合ARMA获得观察值序列差分

运算irN拟合ARMA平稳性检测方法►方法一：时序图序列始终在一个常数值附近随机波动，且波动范围有界，且没有明显的趋势性或周期性，所以可认为是平稳序列。下图明显不是一个平稳序列procgplotdata=gdp;plotgdp*year=1;symbolc=redi=joinv=star;run;

•►方法二：自相关图自相关系数会很快衰减向0所以可认为是平稳序列。procarimadata=gdp;►adf单位根检验（精确判断）三个检验中只要有一个Pr<Rho小于0.05即可认定为平稳序列，主要是stationarity

=(adf=3)起作用procarimadata=gdp;identifyvar=gdpstationarity=(adf=3)nlag=12;run;Dick&y-Fuller单位根检蜀濡后RhoPr<RhoTauPr<TauFPr>FZ&roMean03.96450.99939710.9999112.27E50.99991.S20.56U23.74340.99912.as0.990033.57650.99002.230.9924SingleMean03.B9520.99976.45D399945.65&.001&117.06320.99991.M-19阴91.19[).77&423.93620.99972.770.99993.000.156333.63570.99962.222.46&.40MTrend03.D2090.99981.&&D.999920.23&.001&137.Z6670.99991.1&D-99991.19D.92M2411990.9删1.713.653415090.99991.51D29992.34&.7Z37■白噪声检验Pr>卡方<0.05即可认定为通过白噪声检验。procarimadata=gdp;identifyvar=gdpstationarity=(adf=3)nlag=12;run;■非平稳序列转换为平稳序列方法一：将数据取对数。方法二：对数据取差分dif函数datagdp_log;setgdp;loggdp=log(gdp);cfloggdp二dif(loggdp);run;/**对数数据散点图**/procgplot;plotloggdp*year=l;symbolc二blacki=joinv=star;run;/*一阶差分对数数据散点图*/procgplot;plotcfloggdp*year=l;symbolc=greenv=doti=join;run;

n.no1995cfloggdpyear从上图中可以看出，一阶差分后序列已经变成平稳的了，因此，数列需要做一阶差分0.30n.250.20一0.15-0.10-0.0519B019B5znri5199nn.no1995cfloggdpyear从上图中可以看出，一阶差分后序列已经变成平稳的了，因此，数列需要做一阶差分0.30n.250.20一0.15-0.10-0.0519B019B5znri5199nznnn■专换完毕后再验证下面代码中的(1)就代表1阶差分，adf=3则代表平稳性检验0-3,/*一阶差分对数数据的自相关图、偏自相关图、纯随机性检验、单位根检验*/procarimadata=gdp_log;identifyvar=loggdp(l)stationarity=(adf=3)nlag=12;run;曰嗓尸的目相关检查至耶后卡万目由度618.81G<0.0045}0.4790.1G1-0.1G1-0.293-0.309-0.3471220.4512CLOSSff-0.1390.0440.1070.068-0.017-0.046増广Dickey-Fuller单位根检验类型滞后RhoPr<RhoTauPr<TauFPr>FZeroMean0-1.83960.3437-0.850.33791-1.54520.3B15-0790.36492-1.06100.4567-0.520.47933-0.44950.5685-0.280.5744SingleMean0-12.53320.0434-2.700.08773.670.20461-15.19870.0166-2.53丄12丄13.200.31122-39.7723^.0001-2.93/0.057^U.370.0S813-15B.1750.0001-2.90M&4/4.340.0097Trend0-12.48910.1999-2.610.27303.490.52281-14.971B0.1004-2.420.35983.030.59442-40.3B09<.0001-2.860.19204.090.41713■166.0470.0001-2.910.17864.300.3817用Qlb统计量作的2检验结果表明：对数差分后的GDP序列的Qlb统计量的P值为0.0045(<0.05)，故序列为非白噪声序列。单位根检验结果表明：对数差分后的GDP序列有常数均值、无趋势的二阶自回归模型的Tau统计量的P值小于0.0573,故序列基本可以确定为平稳序列，并可初步考虑用ARMA(2,g)模型对它们进行拟合。嚴型定阶/**定阶**/procarimadata=gdp_log;identifyvar=loggdp(l)nlag=6minicp=(0:2)q=(0:4);run;/*minic为一定范围模型定阶相对最优模型识别*/曰嗓戸的目相关检查至師后卡万目由度Pr>卡力目相关G18.8160.00450.4790.161-0.161-0.293-0.309-0.347MinimumInformationCriterionLagsMAOMA1MA2IUIA3MA4AR0-5.50235-5.92E5B-5.91546-6.03307-6.03373AR1-5.9469-5.07077-6.01308-6.36963-6.376AR2-6.20883-6.09519-5.97303-6.3134-6.26134误差序歹I晦：AR(EJ采用相对最优模型识别，根据上述分析及序列的自相关和偏自相关图，适当选择加=4,n=2,使用indentify命令中的minicp=(0:n)q=(0:m)短语进行相对最优模型定阶。结果显示(图6.10),在p=1,q=4时，BIC函数值最小。执行ARIMA过程的Estimatep=1q=4命令做参数检验，结果未能通过参数检验。让q在0〜3之间取值，通过反复测试,只有ARMA(1,3)模型与ARMA(1,0)模型通过参数检验及模型检验,其检验结果及参数估计如图6.11所示。■参数估计/**参数估计**/procarimadata=gdp_log;identifyvar=loggdp(l);estimatep=1q=4;run;/*SAS支持三种估计，默认为条件最小二乘估计，要制定可增加选项：METHOD=ML极大似然估计METHOD=ULS最小二乘估计METHOD=CLS条件最小二乘估计输出项的含义见王燕P104*/;条件最乎二乘估讦1渗数怙计标准误差t值近似Pr>|t|I滞后］:MU0.157770.043643.610.00170：：MA1J0.423525.231530.000.93631:0.030B42.941690.010.9917:MA1730.435272.7S7040.160.87753'1MAI,40.1102G0.551330.200.84354；;AR1,10.965595.117540.190.84921：从上面可以看出，在p=1q=4时，通不过检验祭件最小二乗估计参数估计标淮误差t值近似Pr>|t|滞后MU0.163580.026796.11<.00010MA1J-1.481360.36408-4.070.00061MA1,2-1.084490.34753-3.120.00522MA1.3-0.637390.21520-2.600.02093AR1,1-830000.3S787-2.U0.04431常数估计0.299354万差估计标准误差估计0.0041530.064441AIC-64.3524SBC-5e.0G19残羞数26AIC和SBC不旦括对数行列式

p=1q=3和条件最小二秉佶计蓼数怙计标准误差t值近似Pra|t|滞后MU0.165960.023596.61<.00010AR1,10.49B530.131732.740.01131静估计0.078207：;万差估计;标准误差估计0.00403G：0.06353：:AIC-67.6200iSBC-65.1046i谨差数r眄乂AIC和SBC不包括对数行列式op=1q=0时能通过检验从上面2个模型的检验结果可以看到，它们均为有效模型，但ARMA(1,0)模型的AIC为-67,SBC为-65均比ARMA(1,3)的AIC与SBC小，根据AIC准则和SBC准则,ARMA(1,0)应该更有效，所以应选择前者作为预测模型。■■AIL怕SDU已列STI」o裁数估计相关性裁救MUAR1JMU1.0000.069AR1J0.0691.000至滞后残卷的目相黄检查卡万目由废Pr＞卡万目申目关66.0750.29970.0540.062-0.109-0.191-0.001■0.301127.22110.7806-0.0640.0660.0880.080-0.0140.0681811.99170.8006-0.087-0.1890.0390.0460.144-0.0622415.94230.85770.0000.0260.103-0.075-0.0660.026|佶计均值0.1659661―I1'-I目回归因子因子1：1-0.49053旷⑴GDP对数序列模型的口径为：£Vlogx=0.155955+-t1-0.49853B其中，xt表示GDP序列，模型可写为：logx=1.49853logx一0.49853logx+0.078207+£tt-1t-2t■预测/**参数估计及预测**/procarimadata=gdp_log;identifyvar=loggdp(l)nlag=16;estimatep=1q=0;forecastlead=4id=yearout二results;run;@year|@leccO圃TDUCA5T|@i5T>LK|@U95|@KE5I1TALAlOTB5.D9325926E01OTD5.£4740764425.24S2L4T6750.Q6353D235T\5.1函詣祁3龍5.373T31G814HO.bbLT^dGSi13305.134420^4955.4025^706^60.0&3530E35T〔5”2700^0390?55ZT]]^C^50.D3L0Z3305；1®15.5E022014B4E.G0SBL996^G0.06353023575”40129701D75.7903309995-0.DB559犯至ii10825.57329^6655.641200QTD30.0B3530235I5E16BE3曲弗57651179442<1.0BT90E9M:1®35.T9£06115775.0779601660.06353023575”5534431號L5.00247713990.114900^161®45.Diaeiiiorra5.0SOE28TS770.Q6353D235T[5.85G011S1376.L050^57816-0.D6&91768!13355.113L0579316.O5Z015&132CL0&3530E35T[552749S&3956.17&53255710.0510?11799IT19EIB6.220411227G6.2907602&250.06353023576.1GG25129B6G.4L520523&4-O.070357035108?6.4t2S03flM4B.322tL2T6520.0B3530235IB227Effi7Qt264T品西7生10.06069023®|7F1314151®BG.&iei：i5'313e5B.506S229T550.0635302357&.462^6131&6.7L143^94946.D3L93Q1B1iB.74607129406.™7QLiT320.Q6353D235T!B.6752741QD3"6.9243031471^O.05371flarei19905.BWLIZIZTT6.35汁盯旳囲0.0&3530E35T[6T631EO410970LZZ]^1^5TF04T5Z52E5[1991|952410^6516.9S529L29020.06353023576.8^077432437.0896062721^O.0129200131M20B3530235IB9621440598T2L]]7a6O7S0.0677583917：LBITIB192D1993T.41623^15137.33330401050.06353023577.20076733&&7.4518217&440.0匪號阴4C61OT47.7072550627.624D63]1G^0.Q6353D235T[7.5QQ44B14257.74949009=130.OB22929GSS!1995S.DDTZ0O^S417.33054580560.a&353DZ35T[T.0O6OZS535T60550627535CLOT6T3467«199B9.ED554Q77E86.S3SD5839G70.06353023578.11054142268.35957537OS-0.DE9517G1S8.3136103784S.3325S63I120.0B3530235I£!2501^3373850T]fl334S2-0.0BS9]5^93iZ122Z32425199B3.37944721560.44576403320.06353023576/321267059£a.5703Ulrnri-q.DB&33aai0iS.428602368：3.4»445829^0.Q6353D235T!9.36503^545'8.&L49G28023^O.DB1343^42!300DS.5443530019S.5313L40T350.063&3DE35T:0406TOT9D566.65503105340.0130301224；2CO19.B9765004706.693265190^0.06353023578.55574022458.8O4T021723P.D4260G3512OJ287272^l82filS.7&23SLBQ520.0B3530235I£!637E647212888B&gS6Bgi-0.035L33^34^za27ZB293D£DD33.BDO5920ra0.650LL63020.06353023570.125031^0L3.97463533S9O.O1D46451302CO4Q.DB42203O46■3.CO526L19a^0.Q6353D235T[9.83074421B5|12977316430.07B9591142!ZCO59.2T39LT112^0.Q&353DZ35T[9.1^3«013B59:亍站4凶涵了.i300B9.44SB995&570.1144S296949”22236KST7社671017SS3S2021?1|9.Bl1034T463|0.159431m892935542038Q3235155833.；3L£DDB9.7711rows'0.1®®3B&9Tg^QKOJTSOID.L&i：i'33633T■还原预测数值并画图/**绘制预测图**/dataresults;setresults;y=exp(loggdp);estimate1=exp(forecast);el95=exp(l95);eu95=exp(u95);run;procgplotdata=results;ploty*year=lestimate1*year=2el95*year=3eu95*year=3/overlay;symbol1c=blacki=nonev=star;symbol2c=redi=joinv=none;

symbol3c=greeni=joinv=nonel=2;run;Iyear3DDDD197519BD19B5199019952DDD2DC520101DODD5000”nnn2DDDDIyear3DDDD197519BD19B5199019952DDD2DC520101DODD5000”nnn2DDDD15DDD■^一种确定p、q的方式procarimadata=gdp;identifyvar=gdpstationarity=(adf=3);run;直接对gdp求arima模型，可已看出acf是拖尾，而pacf是1阶截尾，所以最好是p=1,q=0SDOD-&O0Ddg4D0D-0/M-o-a-cgdpSDOD-&O0Ddg4D0D-0/M-o-a-cgdp,B的趋势和相黄分折2D0D--1.0-■确定p、q的方式理论由于ARMA(p,q)模型可以转化为无穷阶移动平均模型，所以ARMA(p,q)模型的自相关系数不截尾。同理，由于ARMA(p,q)模型也可以转化为无穷阶自回归模型，所以ARMA(p,q)模型的偏自相关系数也不截尾。总结AR(p)模型、MA(q)模型和ARMA(p,q)模型的自相关系数和偏自相关系数的规律，见表6.1所示。模型自相关系数Pkk偏自相关系数ekkkkAR(p)拖尾p阶截尾MA(q)q阶截尾拖尾ARMA(p,q)拖尾拖尾■模型优化指标当一个拟合模型在指定的置信水平a下通过了检验，说明了在这个置信水平a下该拟合模型能有效地拟合时间序列观察值的波动。但是这种有效的拟合模型并不是惟一的。如果同一个时间序列可以构造两个拟合模型，且两个模型都显著有效，那么应该选择哪个拟合模型用于统计推断呢？通常采用AIC和SBC信息准则来进行模型优化。1.AIC准则AIC准则是由日本统计学家赤池弘次(Akaike)于1973年提出，AIC全称是最小信息量准则(aninformationcriterion)。AIC准则是一种考评综合最优配置的指标，它是拟合精度和参数未知个数的加权函数：AIC=—2ln(模型中极大似然函数值)+2(模型中未知参数个数)(6.68)使AIC函数达到最小值的模型被认为是最优模型。2.BIC准则AIC准则也有不足之处：如果时间序列很长，相关信息就越分散，需要多自变量复杂拟合模型才能使拟合精度比较高。在AIC准则中拟合误差等于nln(b2)，即拟合误差随样本容量n£放大。但是模型参数个数的惩罚因子却与n无关，权重始终为常数2。因此在样本容量n趋于无穷大时，由AIC准则选择的拟合模型不收敛于真实模型，它通常比真实模型所含的未知参数个数要多。为了弥补AIC准则的不足，Akaike于1976年提出BIC准则。而Schwartz在1978年根据Bays理论也得出同样的判别准则，称为SBC准则。SBC准则定义为：SBC=—2ln(模型中极大似然函数值)+ln(n)(模型中未知参数个数)(6.69)它对AIC的改进就是将未知参数个数的惩罚权重由常数2变成了样本容量n的对数ln(n)。在所有通过检验的模型中使得AIC或SBC函数达到最小的模型为相对最优模型。之所以称为相对最优模型是因为不可能比较所有模型。表6.2河南省历年国民生产总值数据年份(Year)生产总值(亿元)(GDP)人均生产总值(元)(PGDP)年份(Year)生产总值(亿元)(GDP)人均生产总值(元)(PGDP)1978162.92232.319921279.751452.31979190.09266.719931662.761867.41980229.16316.719942224.432475.21981249.69340.119953002.743312.81982263.3035319963661.184007.41983327.95432.919974079.264430.11984370.04481.619984356.604695.11985451.74579.719994576.104893.71986502.91635.320005137.6654441987609.60755.820015640.115923.61988749.09909.920026168.736436.51989850.711012.320037048.597570.21990934.651090.620048815.099469.919911045.731201.2■付：完整代码datagdp;infiledatalines;inputyeargdppgdp;formatgdpBEST12.2pgdpBEST12.2;datalines;162.92232.3190.09266.7229.16316.7249.69340.1263.30353327.95432.9370.04481.6451.74579.7502.91635.3609.60755.8749.09909.9850.711012.3934.651090.61045.731201.21279.751452.31662.761867.42224.432475.23002.743312.83661.184007.44079.264430.14356.604695.14576.104893.75137.6654445640.115923.66168.736436.57048.597570.28815.099469.9run;/**原始数据散点图**/procgplotdata=gdp;plotgdp*year=1;symbolc=redi=joinv=star;run;/*注symbol常用参数C—图形颜色，red_红色，black_黑色，green_绿色，blue_蓝色，pink_洋红等*//*V—观测值的图形，star_*,dot_.,cicle_圆圈，diamond.菱形，none_不标*//*I—观察值的链接方式，join_线连，spline_光滑连接，needle_作观察值到横轴悬垂线，none_不连*/procarimadata二gdp;identifyvar二gdpstationarity