数学上海高考函数与分析(函数的周期性)教师版

数学上海高考函数与分析(函数的周期性)教师版本节课程将介绍周期函数的定义和最小正周期的意义。【知识梳理】1.周期函数的定义：若对于定义域内的每一个x，都存在非零常数T，使得f(x+T)=f(x)恒成立，则称函数f(x)具有周期性，其中T叫做f(x)的一个周期。同时，kT（k∈Z，k≠0）也是f(x)的周期。所有周期中的最小正数叫做f(x)的最小正周期。2.几种特殊的抽象函数：（1）若f(x)=f(x+a)，则y=f(x)是以T=a为周期的周期函数。（2）若f(x+a)=-f(x)，则y=f(x)是以T=2a为周期的周期函数。（3）若f(x+a)=±f(x)，则y=f(x)是以T=2a为周期的周期函数。（4）若f(x+a)=f(x-a)，则y=f(x)是以T=2a为周期的周期函数。（5）若f(x+a)=(1-f(x))/(1+f(x))，则y=f(x)是以T=2a为周期的周期函数。（6）若f(x+a)=-(1+f(x))/(1-f(x))，则y=f(x)是以T=4a为周期的周期函数。（7）若f(x+a)=(1-f(x))/(1+f(x))，则y=f(x)是以T=4a为周期的周期函数。（8）若函数y=f(x)满足f(a+x)=f(a-x)（a>0），则若f(x)为奇函数，则其周期为T=4a，若f(x)为偶函数，则其周期为T=2a。（9）若函数y=f(x)（x∈R）的图像关于直线x=a和x=b（a<b）都对称，则函数f(x)是以2(b-a)为周期的周期函数。（10）若函数y=f(x)（x∈R）的图像关于两点A(a,y)和B(b,y)（a<b）都对称，则函数f(x)是以2(b-a)为周期的周期函数。（11）若函数y=f(x)（x∈R）的图像关于点A(a,y)和直线x=b（a<b）都对称，则函数f(x)是以4(b-a)为周期的周期函数。【典型例题分析】例1：已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=-f(x)，则f(6)的值为（B）。例2：（1）设f(x)的最小正周期T=2且f(x)为偶函数，它在区间[0,1]上的图像如右图所示的线段AB。则在区间[1,2]上，y=f(x)=x/2。已知函数f(x)是周期为2的函数，当-1<x<1时，f(x)=x^2+1，当19<x<21时，f(x)的解析式是什么？解：由于f(x)是周期为2的函数，所以f(x)=f(x-2)=...=f(x-2k)。设19<x<21，则-1<x-20<1，因此f(x)=f(x-20)=(x-20)+1。又因为f(x)是定义在实数集上以2为周期的函数，对于k∈Z，用Ik表示区间(2k-1,2k+1]，已知当x∈Ik时，f(x)=x^2，求f(x)在Ik上的解析式。解：由于f(x)是周期为2的函数，所以f(x)=f(x-2)=...=f(x-2k)。设x∈Ik，则(x-2k)∈I，因此f(x)=f(x-2k)=(x-2k)^2。定义在实数集上的函数f(x)满足f(x)=f(x+2)，当3≤x≤5时，f(x)=2-x-4。则下列哪个结论是正确的？A.f(sin(π/6))<f(cos(π/6))B.f(cos(π/6))<f(sin(π/6))C.f(cos(π/3))<f(sin(π/3))D.f(sin(π/3))<f(cos(π/3))解：由于f(x)是以6为周期的函数，所以f(x)=f(x+6)=f(x-6)=...。因此，f(sin(π/6))=f(sin(π/6+2kπ))，f(cos(π/6))=f(cos(π/6+2kπ))。由于3≤x≤5时，f(x)是单调递减的，所以f(sin(π/6+2kπ))>f(cos(π/6+2kπ))，即选项B正确。定义在实数集上的函数f(x)满足对任意x∈R，有f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)，且f(1)≠0。(1)求证：f(x)=cos(x)是满足条件的函数。(2)判断f(x)的奇偶性。(3)若存在非零常数c，使得f(c)=0，证明对任意x∈R都有f(x+c)=-f(x)。解：（1）令y=0，则有f(x)+f(x)=2f(x)f(0)，即f(x)^2-f(x)+1=0，解得f(x)=cos(x)。（2）令y=-y，则有f(x-y)+f(x+y)=2f(x)f(-y)，即f(x-y)=f(x+y)，因此f(x)是偶函数。（3）由f(c)=0可得2f(x)f(c)=f(x+c)+f(x-c)，令x=0，则有f(c)+f(-c)=2f(0)f(c)，即f(-c)=f(c)=0。因此，对任意x∈R，有f(x+c)+f(x-c)=2f(x)f(c)=0，即f(x+c)=-f(x-c)。又因为f(x)是偶函数，所以f(x+c)=-f(x-c)=f(-(x-c))=f(c-x)=-f(x-c)=-f(x+c)，即f(x+c)=-f(x)。（1）根据题意，偶函数f(x)满足f(x+c)+f(x-c)=-2f(x)，其中c为常数。由此可以推出f(x+c)=-f(x-c)，再根据偶函数的定义可以得到f(-x)=f(x)，即f(x)关于y轴对称。根据题意，f(x)关于直线x=1对称，因此可以得到f(2-x)=f(x)。由此可以推出f(x+2)=f(x)，即f(x)是以2为周期的周期函数。（2）根据题意，对于任意的x1,x2∈[0,1]，都有f(x1+x2)=f(x1)·f(x2)。因此可以得到f(1+1)=f(1)·f(1)，即f(2)=f(1)²。同理，可以得到f(4)=f(2)²=f(1)⁴。（3）根据题意，f(x)≥0，x∈[0,1]，且f(1)=a。根据题意，可以得到f(x)≥f(0)²，因此f(x)≥0，x∈[0,1]。根据周期函数的性质，可以得到f(n·2)=f(0)²ⁿ，其中n为正整数。因此可以得到a=f(1)=f(2-1)=f(1)·f(1-1)=a·f(0)，即f(0)=1。根据周期函数的性质，可以得到f(x)=f(xmod2)，即f(x)的周期为2。因此可以得到f(n·2+1)=f(1)·f(n·2)=a·a²ⁿ=a²ⁿ⁺¹。根据等比数列求和公式，可以得到f(2n)=a²ⁿ，因此aⁿ=f(1)=a²ⁿ，即a=1或a=0。由于f(x)≥0，因此a=1。因此可以得到f(x)=1，x∈[0,1]，且f(x)的周期为2。根据等比数列求和公式，可以得到lim(ln(an)/n)=lim(ln(a²ⁿ)/2n)=lim(ln(a)/2)=0。因此lim(ln(an)/n)=0。1、已知f(x)=2x，则f(113.5)=221。2、设函数f(x)是定义在R上的奇函数，对于任意的x∈R，都有f(x+1)=1-f(x)。当|x|≤1时，f(x)=2x，则f(11.5)=1-f(0.5)=-1/3。3、已知f(x)是定义在实数集R上的函数，满足f(x+2)=-f(x)，且x∈[0,2]时，f(x)=2x-x^2。（1）求x∈[−2,0]时，f(x)的表达式；当x∈[−2,0]时，x+2∈[0,2]，因此有f(x+2)=2(x+2)-(x+2)^2=-x-2x^2，即f(x)=-f(x+2)=x+2x^2。（2）证明f(x)是R上的奇函数。当x∈[−2,0]时，-x∈[0,2]，因此有f(-x)=2(-x)-(-x)^2=-(x^2+2x)=-f(x)，即f(x)是[-2,2]上的奇函数。又因为f(x+4)=-f(x)，所以f(x)是以4为最小正周期的周期函数，因此f(x)是R上的奇函数。4、已知函数f(x)的图象关于点(-3,0)对称，且满足f(x)=-f(x+2)，又f(-1)=1，f(0)=-2，求f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2006)+f(2007)+f(2008)+f(2009)+f(2010)的值。因为f(x)关于点(-3,0)对称，所以f(x+6)=f(x)，即f(x)是以6为最小正周期的周期函数。又因为f(x)=-f(x+2)，所以f(x+2)=-f(x+4)，即f(x+2)=f(x)，即f(x)是以2为最小正周期的周期函数。因为f(x)是以2、6为周期的周期函数，所以f(x)是以6的公倍数为周期的周期函数，即f(x+6n)=f(x)。根据题意，有f(-1)=1，f(0)=-2，因此f(-3)=f(-1+2)=-f(-1)=-1，f(-2)=f(-3+1)=f(-3)=-1。又因为f(x)是偶函数，所以f(-x)=f(x)，因此f(-2)=f(2)。因为f(x)是以6为周期的周期函数，所以f(1)=f(-5)，f(2)=f(-4)，f(3)=f(-3)，f(4)=f(-2)，f(5)=f(-1)。因此，f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2006)+f(2007)+f(2008)+f(2009)+f(2010)=f(-5)+f(-4)+f(-3)+f(-2)+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2004)+f(2005)+f(2006)。根据周期性和奇偶性可得，f(-5)=f(1)，f(-4)=f(2)，f(-3)=f(3)，f(-2)=f(4)，f(-1)=f(5)，f(0)=-2。因此，f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2006)+f(2007)+f(2008)+f(2009)+f(2010)=f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2004)+f(2005)+f(2006)-2-1=-3。因此，所求值为-3。2、定义在数轴上的函数$f(x)$既是奇函数，又是周期函数，$T$是它的一个正周期。若将方程$f(x)=0$在闭区间$[-T,T]$上的根的个数记为$n$，则$n$可能为（C）。3、已知函数$f(x)$为实数集上的奇函数，且满足$f(x+2)=-f(x)$，当$x\leqslantx<1$时，$f(x)=x$，则$f(7.5)$等于（B）。4、函数$f(x)$对于任意实数$x$满足条件$f(x+2)=f(x)$，且在区间$[0,2]$上的值为$x^2-x$。则$f(5)$的值为（$-7$）。5、已知$f(x)$是周期为$2$的奇函数，当$0<x<1$时，$f(x)=\logx$。设$a=f(1)$，$b=f(\frac{1}{2})$，$c=f(\frac{3}{2})$，则$\frac{f(5)}{f(6)}$的值为（$-\frac{1}{5}$）。6、定义在数轴上的函数$f(x)$既是偶函数又是周期函数，若$f(x)$的最小正周期是$\pi$，且当$x\in[\frac{\pi}{2},\pi]$时，$f(x)=\sinx$，则$f(\frac{5\pi}{2})$的值为（$\frac{3}{2}$）。7、设$f(x)$是定义在实数集上的奇函数，且$y=f(x)$的图象关于直线$x=\frac{1}{2}$对称，则$f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)=5f(\frac{3}{2})$。8、设函数$f(x)$在$(-\infty,+\infty)$上满足$f(2-x)=f(2+x)$，$f(7-x)=f(7+x)$，且在闭区间$[0,7]$上，只有$f(1)=f(3)$。试判断函数$y=f(x)$的奇偶性；试求方程$f(x)=0$在闭区间$[-2005,2005]$上的根的个数，并证明你的结论。解：（1）因为$f(x)$既不是奇函数也不是偶函数，所以$f(x)$是非奇非偶函数。（2）因为$f(x)$在$(-\infty,+\infty)$上满足$f(2-x)=f(2+x)$，$f(7-x)=f(7+x)$，所以$f(x)=f(4-x)=f(14-x)$，即$f(x)=f(x+10)$，即$f(x)$是以$10$为周期的周期函数。又因为$f(8)=f(6)$，$f(9)=f(5)$，$f(10)=f(4)$，所以$f(x)$在$[0,10]$上有两个根。又因为$f(x)$是以$10$为周期的周期函数，所以$f(x)$在$[-2005,2005]$上有$401$个根。在区间[0,10]上，函数f(x)只有两个根使得f(x)=，分别为f(1)和f(3)。