湖北省荆州市容城中学2021年高三数学文月考试卷含解析

湖北省荆州市容城中学2021年高三数学文月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.函数的图象如图所示，为了得到的图象，则只要将的图象（

） A．向左平移个单位长度

B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度

D．向右平移个单位长度参考答案：A2.函数的零点所在的大致区间是（

）A．（0,1） B．（1,2） C．（2,3） D．（3,4）参考答案：B3.如图，函数y=f（x）的图像为折线ABC，设f1（x）=f（x），fn+1（x）=f[fn+1（x）],n∈N*,则函数y=f4（x）的图像为参考答案：D4.已知，则数列是

(

）A．递增数列

B．

递减数列

C．

常数列

D．

摆动数列参考答案：A5.若双曲线的左、右焦点分别为，线段被抛物线的焦点分成5：3两段，则此双曲线的离心率为A. B. C. D.参考答案：A6.程序框图如右图所示,则该程序运行后输出的值是A.3

B.4 C.5

D.6参考答案：A略7.△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，=，=（sinB，cosA），⊥，b=2，，则△ABC的面积为（）A． B． C． D．参考答案：C【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系．【专题】计算题；转化思想；综合法；解三角形；平面向量及应用．【分析】由⊥，得sinB=﹣，由正弦定理得得sinA=﹣，再由同角三角函数关系式得到cosA=﹣，sinA=，从而sinB=，cosB=，从而求出sinC，由此利用△ABC的面积S=，能求出结果．【解答】解：∵△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，=，=（sinB，cosA），⊥，b=2，，∴===0，∴sinB=﹣，由正弦定理得，整理，得sinA=﹣，∴sin2A+cos2A=4cos2A=1，∵0＜A＜π，∴cosA=﹣，sinA=，A=，∴sinB=，cosB==，∴sinC=sin[π﹣（A+B）]=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB==，∴△ABC的面积S===．故选：C．【点评】本题考查三角形面积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量垂直、正弦定理、同角三角函数关系式等知识点的合理运用．8.阅读右面的程序框图，则输出的S=A

14

B

20

C

30

D55参考答案：C解析：当时，S=1;当i=2时，S=5;循环下去，当i=3时，S=14；当i=4时,S=30；9.已知定义在上的偶函数满足且在区间上是增函数则

（）A.

B.C.

D.参考答案：B10.若集合A=｛-1，1｝，B=｛0，2｝，则集合｛z︱z=x+y,x∈A,y∈B｝中的元素的个数为（

）A．5

B.4

C.3

D.2参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.我们称一个数列是“有趣数列”，当且仅当该数列满足以下两个条件：①所有的奇数项满足，所有的偶数项满足；②任意相邻的两项，满足.根据上面的信息完成下面的问题：（i）数列1,2,3,4,5,6__________“有趣数列”（填“是”或者“不是”）；（ii）若，则数列__________“有趣数列”（填“是”或者“不是”）.参考答案：是

是【分析】依据定义检验可得正确的结论.【详解】若数列为1,2,3,4,5,6，则该数列为递增数列，满足“有趣数列”的定义，故1,2,3,4,5,6为“有趣数列”.若，则，.，故.,故.，故.综上，为“有趣数列”.故答案为：是，是.【点睛】本题以“有趣数列”为载体，考虑数列的单调性，注意根据定义检验即可，本题为中档题.

12.在Rt△ABC中，AB=AC=3，M，N是斜边BC上的两个三等分点，则的值为．参考答案：4考点： 平面向量数量积的运算．专题： 计算题；平面向量及应用．分析： 运用向量垂直的条件，可得=0，由M，N是斜边BC上的两个三等分点，得=（+）?（+），再由向量的数量积的性质，即可得到所求值．解答： 解：在Rt△ABC中，BC为斜边，则=0，则=（）?（+）=（+）?（+）=（+）?（）=++=×9+=4．故答案为：4．点评： 本题考查平面向量的数量积的定义和性质，考查运算能力，属于中档题．13.若等式sinα+cosα=能够成立，则m的取值范围是______________.参考答案：14.（几何证明选讲选做题）如图，是圆的切线，切点为，点在圆上，，，则圆的面积为.参考答案：【知识点】与圆有关的比例线段．N1解析：∵弦切角等于同弧上的圆周角，∠BCD=60°，∴∠BOC=120°，∵BC=2，∴圆的半径为：=2，∴圆的面积为：π?22=．故答案为：．【思路点拨】通过弦切角，求出圆心角，结合弦长，得到半径，然后求出圆的面积．15.某校为了解学生的视力情况，随机抽查了一部分

学生的视力，将调查结果分组，分组区间为：

；经过数据处理，

得到如右图的频率分布表：

则频率分布表中示知量________．参考答案：略16.在样本的频率分布直方图中，共有5个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其余4个小长方形面积和的，且样本容量为50，则中间一组的频数为___________.参考答案：略17.已知集合A={3,a2},B={0,b,1-a},且A∩B={1}，则A∪B=

.参考答案：{0,1,2,3}三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分10分）已知函数．⑴求的值；⑵若，求的值．参考答案：解：⑴⑵因为，所以，所以，所以

略19.（12分）已知函数f（x）=2sinxsin（﹣x）+2cos2x+a的最大值为3．（I）求f（x）的单调增区间和a的值；（II）把函数y=f（x）的图象向右平移个单位得到函数y=g（x）的图象，求g（x）在（0，）上的值域．参考答案：见解析【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；正弦函数的图象．【专题】计算题；转化思想；数形结合法；三角函数的图像与性质．【分析】（I）利用三角函数恒等变换的应用化简可得函数解析式f（x）=2sin（2x+）+1+a，令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈Z，即可解得f（x）的单调递增区间，利用函数的最大值为3，可解得a的值．（II）由函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换可求g（x）=2sin（2x﹣）+1，根据范围2x﹣∈[﹣，]，利用正弦函数的图象和性质即可求得g（x）在（0，）上的值域．【解答】（本题满分为12分）解：（I）∵f（x）=2sinxsin（﹣x）+2cos2x+a=sin2x+cos2x+1+a=2sin（2x+）+1+a，∴令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈Z，解得：﹣+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，可得函数f（x）的单调递增区间为：[﹣+kπ，+kπ]，k∈Z，∴由函数的最大值为3，可得3+a=3，解得a=0…6分（II）由（I）可得f（x）=2sin（2x+）+1，∴g（x）=2sin[2（x﹣）+]+1=2sin（2x﹣）+1，∵x∈（0，），∴2x﹣∈[﹣，]，∴sin（2x﹣）∈[﹣，1]，2sin（2x﹣）+1∈[1﹣，3]，即g（x）在（0，）上的值域为[1﹣，3]…12分【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象和性质的综合应用，考查了转化思想和数形结合思想，属于基础题．20.（本小题满分13分）已知函数，其中实数a为常数．(I)当a=-l时，确定的单调区间：(II)若f(x)在区间（e为自然对数的底数）上的最大值为-3，求a的值；(Ⅲ)当a=-1时，证明．参考答案：(Ⅰ)当时，,∴，又,所以当时，在区间上为增函数，当时，，在区间上为减函数，即在区间上为增函数，在区间上为减函数.

…4分(Ⅱ)∵，①若，∵,则在区间上恒成立，在区间上为增函数，，∴，舍去;②当时，∵，∴在区间上为增函数，，∴，舍去;③若，当时，在区间上为增函数，当时，，在区间上为减函数，，∴.综上.

………9分(Ⅲ)由(Ⅰ)知，当时，有最大值，最大值为，即，所以，

………………10分令，则，当时，，在区间上为增函数，当时，，在区间上为减函数，所以当时，有最大值，……………12分所以,即.

…………13分21.（本小题满分13分）已知函数.（Ⅰ）若求函数上的最大值；（Ⅱ）若对任意，有恒成立，求的取值范围.参考答案：解：（I）当时，，

.............1分

令..................................2分

列表：

-+↘↗

∴当时，最大值为.………7分

（Ⅱ）令①

若单调递减.单调递增.所以，在时取得最小值，因为.

…..9分

②

若，

所以当……..10分③若单调递减.单调递增.所以，在取得最小值，令

综上，的取值范围是.………………13分22.在直角坐标系xoy上取两个定点A1（﹣2，0），A2（2，0），再取两个动点N1（0，m），N2（0，n），且mn=3．（1）求直线A1N1与A2N2交点的轨迹M的方程；（2）已知点A（1，t）（t＞0）是轨迹M上的定点，E，F是轨迹M上的两个动点，如果直线AE的斜率kAE与直线AF的斜率kAF满足kAE+kAF=0，试探究直线EF的斜率是否是定值？若是定值，求出这个定值，若不是，说明理由．参考答案： 解：（1）依题意知直线A1N1的方程为：①﹣﹣﹣（1分）直线A2N2的方程为：②﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）设Q（x，y）是直线A1N1与A2N2交点，①×②得由mn=3整理得﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）∵N1，N2不与原点重合∴点A1（﹣2，0），A2（2，0）不在轨迹M上﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）∴轨迹M的方程为（x≠±2）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）（2）∵点A（1，t）（t＞0）在轨迹M上∴解得，即点A的坐标为﹣﹣（8分）设kAE=k，则直线AE方程为：，代入并整理得﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）设E（xE，yE），F（xF，yF），∵点在轨迹M上，∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣③，④﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（11分）又kAE+kAF=0得kAF=﹣k，将③、④式中的k代换成﹣k，可得，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）∴直线EF的斜率∵∴即直线EF的斜率为定值，其值为﹣﹣﹣（14分）考点： 直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．专题： 综合题．分析： （1）先分别求直线A1N1与A2N2的方程，进而可得，利用mn=3，可以得，又点A1（﹣2，0），A2（2，0）不在轨迹M上，故可求轨迹方程；（2）先求点A的坐标，将直线AE的方程代入并整理，利用kAE+kAF=0得kAF=﹣k，从而可表示直线EF的斜率，进而可判断直线EF的斜率为定值．解答： 解：（1）依题意知直线A1N1的方程为：①﹣﹣﹣（1分）直线A2N2的方程为：②﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）设Q（x，y）是直线A1N1与A2N2交点，①×②得由mn=3整理得﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）∵N1，N2不与原点重合∴点A1（﹣2，0），A2（2，0）不在轨迹M上﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）∴轨迹M的方程为（x≠±2）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）（2）∵点A（1，t）（t＞0）在轨迹M上∴解得，即点A的坐标为﹣﹣（8分）设