湖南省岳阳市平江县第五中学2022-2023学年高三数学文上学期期末试卷含解析

湖南省岳阳市平江县第五中学2022-2023学年高三数学文上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知数列{}是等差数列，a4=15，S5=55，则过点P（3，a3），Q（4，a4）的直线的斜率是

A．

B．4

C．-4

D．-143参考答案：B2.设a=cos2°﹣sin2°，b=，c=，则有(

) A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b参考答案：D考点：二倍角的正切．专题：三角函数的求值．分析：由两角差的正弦公式求a，由二倍角的正切公式求b，由二倍角的正弦公式求c，即可根据正弦函数的单调性和三角函数线的知识比较大小．解答： 解：∵a=cos2°﹣sin2°=sin（30°﹣2°）=sin28°，b==tan（14°+14°）=tan28°，c===sin25°，∵正弦函数在（0°，90°）是单调递增的，∴c＜a．又∵在（0°，90°）内，正切线大于正弦线，∴a＜b．故选：D．点评：本题主要考查了两角差的正弦公式，二倍角的正切公式，二倍角的正弦公式，正弦函数的单调性和三角函数线的知识应用，属于基础题．3.下列命题正确的个数是（

）①“在三角形中，若,则”的逆命题是真命题；②命题或，命题则是的必要不充分条件；③“”的否定是“”；④若随机变量，则A．1

B．2

C．3

D．4参考答案：C略4.在△ABC中，设命题p：，命题q：△ABC是等边三角形，那么命题p是命题q的（）A．充要条件 B．必要不充分条件C．充分不必要条件 D．即不充分也不必要条件参考答案：A【考点】正弦定理的应用；充要条件．【专题】计算题．【分析】先当p成立时，利用正弦定理把等式中的边转化成角的正弦，化简整理求得A=B=C判断出△ABC是等边三角形．推断出p是q的充分条件；反之利用正弦定理可分别求得=2R，=2R，=2R，三者相等，进而可推断出p是q的必要条件，最后综合可得答案．【解答】解：，即①；②，①﹣②，得（sinC﹣sinB）（sinA+sinB+sinC）=0，则sinC=sinA，∴C=A．同理得C=B，∴A=B=C，则△ABC是等边三角形．当A=B=C时，==2R，==2R，==2R∴成立，∴p命题是q命题的充分必要条件．故选A【点评】本题主要考查了正弦定理的运用，充分条件，必要条件和充分必要的条件的判定．考查了学生分析问题和推理的能力．5.设样本数据X1,X2,X3……..X10的均值和方差分别是1和4，若yi=xi+(为非零常数，i=1,2…..10),则y1,y2……….y10的均值和方差分别是

（

）

(A)1+，4

(B)1+4+

(C)1，4

(D)1,4+参考答案：A6.已知S—ABC是正四面体，M为AB的中点，则SM与BC所成的角的余弦值为（

）

A．

B．

C．

D．

参考答案：B略7.若α、β是两个相交平面，则在下列命题中，真命题的序号为（）①若直线m⊥α，则在平面β内，一定不存在与直线m平行的直线．②若直线m⊥α，则在平面β内，一定存在无数条直线与直线m垂直．③若直线m?α，则在平面β内，不一定存在与直线m垂直的直线．④若直线m?α，则在平面β内，一定存在与直线m垂直的直线．A．①③ B．②③ C．②④ D．①④参考答案：C【考点】命题的真假判断与应用．【专题】综合题；推理和证明．【分析】利用线面垂直的性质定理对四个命题分别分析解答．【解答】解：对于①，若直线m⊥α，如果α，β互相垂直，则在平面β内，存在与直线m平行的直线．故①错误；对于②，若直线m⊥α，则直线m垂直于平面α内的所有直线，则在平面β内，一定存在无数条直线与直线m垂直．故②正确；对于③，若直线m?α，则在平面β内，一定存在与直线m垂直的直线．故③错误；对于④，若直线m?α，则在平面β内，一定存在与直线m垂直的直线．故④正确；故选：C．【点评】本题考查了线面垂直的性质定理的运用判断直线的位置关系；关键是熟练运用定理，全面考虑．8.设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a3+a8=10，则S10=(

) A．20 B．10 C．50 D．100参考答案：C考点：等差数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：利用等差数列的通项公式和前n项和公式求解．解答： 解：∵等差数列{an}的前n项和为Sn，a3+a8=10，∴S10===．故选：C．点评：本题考查等差数列的前10项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．9.已知双曲线的左右焦点分别为，点在该双曲线上，若=，则双曲线的渐近线方程为（

）

A.

B.

C.D.

参考答案：A

【知识点】双曲线的简单性质H6解析：双曲线的左右焦点分别为F1（﹣，0），F2（，0），点在该双曲线上，则﹣=1，即有y02=b2，①又=（﹣﹣，﹣y0），=（﹣，﹣y0），若?=0，则（﹣﹣）?（﹣）+y02=0，②解得b2=2，即b=．即有双曲线的渐近线方程为y=±x．即为y=±x．故选A．【思路点拨】求出双曲线的焦点，求得向量，的坐标，由条件运用向量的数量积的坐标表示可得方程，再由P满足双曲线方程，解方程可得b，再由双曲线的渐近线方程即可得到．10.如图，矩形ABCD的四个顶点的坐标分别为A（0，﹣1），B（π，﹣1），C（π，1），D（0，1），正弦曲线f（x）=sinx和余弦曲线g（x）=cosx在矩形ABCD内交于点F，向矩形ABCD区域内随机投掷一点，则该点落在阴影区域内的概率是（）A． B． C． D．参考答案：B【考点】CF：几何概型．【分析】利用定积分计算公式，算出曲线y=sinx与y=cosx围成的区域包含在区域D内的图形面积为S=2π，再由定积分求出阴影部分的面积，利用几何概型公式加以计算即可得到所求概率．【解答】解根据题意，可得曲线y=sinx与y=cosx围成的区域，其面积为（sinx﹣cosx）dx=（﹣cosx﹣sinx）|=1﹣（﹣）=1+；又矩形ABCD的面积为2π，由几何概型概率公式得该点落在阴影区域内的概率是；故选B．【点评】本题给出区域和正余弦曲线围成的区域，求点落入指定区域的概率．着重考查了定积分计算公式、定积分的几何意义和几何概型计算公式等知识，属于中档题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知是定义在R上的奇函数，，则

。参考答案：略12.由曲线所围成的图形面积是

.参考答案：13.已知函数的图象在点处的切线方程是，则

。参考答案：314.在中，，，，设点，满足.若，则的值是

▲

．参考答案：15.已知直角△ABC中,AB=2，AC=1，D为斜边BC的中点，则向量在上的投影为

。参考答案：16.在三棱锥P-ABC中，,,,,则该三棱锥的外接球的表面积为

参考答案：5π

17.在中，．点M满足，则______参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.[选修4-5：不等式选讲]．已知a＞0，b＞0，函数f（x）=|x+a|+|2x﹣b|的最小值为1．（1）求证：2a+b=2；（2）若a+2b≥tab恒成立，求实数t的最大值．参考答案：【考点】函数恒成立问题；绝对值不等式的解法．【分析】（1）法一：根据绝对值的性质求出f（x）的最小值，得到x=时取等号，证明结论即可；法二：根据f（x）的分段函数的形式，求出f（x）的最小值，证明即可；（2）法一，二：问题转化为≥t恒成立，根据基本不等式的性质求出的最小值，从而求出t的范围即可；法三：根据二次函数的性质判断即可．【解答】解：（1）法一：f（x）=|x+a|+|2x﹣b|=|x+a|+|x﹣|+|x﹣|，∵|x+a|+|x﹣|≥|（x+a）﹣（x﹣）|=a+且|x﹣|≥0，∴f（x）≥a+，当x=时取等号，即f（x）的最小值为a+，∴a+=1，2a+b=2；法二：∵﹣a＜，∴f（x）=|x+a|+|2x﹣b|=，显然f（x）在（﹣∞，]上单调递减，f（x）在[，+∞）上单调递增，∴f（x）的最小值为f（）=a+，∴a+=1，2a+b=2．（2）方法一：∵a+2b≥tab恒成立，∴≥t恒成立，=+=（+）（2a+b）?=（1+4++），当a=b=时，取得最小值，∴≥t，即实数t的最大值为；方法二：∵a+2b≥tab恒成立，∴≥t恒成立，t≤=+恒成立，+=+≥=，∴≥t，即实数t的最大值为；方法三：∵a+2b≥tab恒成立，∴a+2（2﹣a）≥ta（2﹣a）恒成立，∴2ta2﹣（3+2t）a+4≥0恒成立，∴（3+2t）2﹣326≤0，∴≤t≤，实数t的最大值为．19.如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D为AB的中点，CD⊥DA1，AC⊥BC，∠ABB1=45°，AC=BC=BB1=2．（1）证明：B1D⊥BD；（2）求点A到平面A1CD的距离．参考答案：【考点】点、线、面间的距离计算；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（1）推导出BD=BA=，从而∠B1BD=90°，由此能证明B1D⊥BD．（2）推导出CD⊥平面ABB1A，从而平面CDA1⊥平面ABB1A，过A作AE⊥DA1于E，则AE⊥平面A1DC，AE即为点A到平面A1CD的距离，由此利用等面积法能求出点A到平面A1CD的距离．【解答】（本小题满分12分）证明：（1）∵在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D为AB的中点，CD⊥DA1，AC⊥BC，∠ABB1=45°，AC=BC=BB1=2．∴BD=BA=，…又BB1=2，且∠B1BD=45°，∴∠B1BD=90°，∴B1D⊥BD．…解：（2）∵CD⊥BA，CD⊥DA1，∴CD⊥平面ABB1A，∴平面CDA1⊥平面ABB1A，…过A作AE⊥DA1于E，则AE⊥平面A1DC，∴AE即为点A到平面A1CD的距离，…A1D==，故在△ADA1中，由等面积法得AE==．…20.(本小题满分13分)已知函数

.

（Ⅰ）若函数在处取得极值，求的值；（Ⅱ）当时，讨论函数的单调性.参考答案：

………1分（Ⅰ）因在处有极值，所以有

即…………3分解得

……5分经检验，符合题意所以，当在处有极值时，，.(Ⅱ)因，所以令,得,

………7分①

当时,在,有；在有所以的增区间为,,减区间为.

…………10分②

当时,在,有；在有所以得增区间为,减区间为,.

…………13分综上所述,当时,得增区间为,,减区间为;

当时,得增区间为,减区间为,.

略21.（12分）图1是由矩形ADEB、Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB=1，BE=BF=2，∠FBC=60°，将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连结DG，如图2.（1）证明：图2中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC⊥平面BCGE；（2）求图2中的二面角B-CG-A的大小.

参考答案：解：（1）由已知得AD∥BE，CG∥BE，所以AD∥CG，故AD，CG确定一个平面，从而A，C，G，D四点共面．由已知得AB⊥BE，AB⊥BC，故AB⊥平面BCGE．又因为AB平面ABC，所以平面ABC⊥平面BCGE．（2）作EH⊥BC，垂足为H．因为EH平面BCGE，平面BCGE⊥平面ABC，所以EH⊥平面ABC．由已知，菱形BCGE的边长为2，∠EBC=60°，可求得BH=1，EH=．以H为坐标原点，的方向为x轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系H–xyz，则A（–1，1，0），C（1，0，0），G（2，0，），=（1，0，），=（2，–1，0）．设平