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文档简介
矩阵与对角矩阵相似的条件定理
2
n
阶矩阵
A与对角矩阵相似的充分必要条件为矩阵A有n
个线性无关的特征向量.证必要性
若
A
与 相似,
则
P可逆矩阵 使得
1P AP
,设
,p1
,
p2
,
,
pn则由AP
P得
n
P
2
1n1
2
n
1
2A
p
,
p
,
,
p
p
,
p
,
,
p
2
,
n
1
即(i
1,
2,
,
n)i
piApi
矩阵与对角矩阵相似的条件定理
2
n阶矩阵
A与对角矩阵相似的充分必要条件为矩阵A有n
个线性无关的特征向量.证必要性
n
2
1
P
可逆P
0,
pi
(i
1,2,
,n)都是非零向量,故p1
,p2
,
,pn
都是A
的特征向量,且它们线性无关.充分性设p1
,p2
,
,pn
为A
的n
个线性无关的特征向量,它们对应的特征值为1
,
2
,
n
,则有Api
i
pi
(i
1,
2,
,
n)矩阵与对角矩阵相似的条件定理
2
n阶矩阵
A与对角矩阵相似的充分必要条件为矩阵A有n
个线性无关的特征向量.证
n
2
1充分性矩阵与对角矩阵相似的条件定理
2
n阶矩阵
A与对角矩阵相似的充分必要条件为矩阵A有n
个线性无关的特征向量.证 充分性
n
2
1令P
(p1
,p2
,
,pn
),易知P
可逆,且AP
A(
p1
,
p2
,
,
pn
)
(
Ap1
,
Ap2
,
,
Apn
)1
p1
,
n
pn
)
(
2
p2
,
,,
2
1
(
p
,
p
,
,
p
)
P1
2
n
n
矩阵与对角矩阵相似的条件定理
2
n阶矩阵
A与对角矩阵相似的充分必要条件为矩阵A有n
个线性无关的特征向量.证 充分性
n
2
1令P
(p1
,p2
,
,pn
),易知P
可逆,且AP
A(
p1
,
p2
,
,
pn
)
(
Ap1
,
Ap2
,
,
Apn
)
(
1
p1
,
2
p2
,
,
n
pn
)
P
,矩阵与对角矩阵相似的条件定理
2
n阶矩阵
A与对角矩阵相似的充分必要条件为矩阵A有n
个线性无关的特征向量.证 充分性
n
2
1令P
(p1
,p2
,
,pn
),易知P
可逆,且AP
A(
p1
,
p2
,
,
pn
)
(
Ap1
,
Ap2
,
,
Apn
)n
pn
)
P
,
(
1
p1
,
2
p2
,
,用
P
1
左乘上式两端得
P
1
AP
,
即A
与 相似.证毕.矩阵与对角矩阵相似的条件定理
2
n阶矩阵
A与对角矩阵
2
1相似的充分必要条件为矩阵A有n
个线性无关的特征向量.n
推论
若
n阶矩阵
A有n
个相异的特征值
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