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文档简介

矩阵与对角矩阵相似的条件定理

2

n

阶矩阵

A与对角矩阵相似的充分必要条件为矩阵A有n

个线性无关的特征向量.证必要性

若

A

与 相似,

则

P可逆矩阵 使得

1P AP

,设

,p1

,

p2

,

,

pn则由AP

P得

n

P

2

1n1

2

n

1

2A

p

,

p

,

,

p

p

,

p

,

,

p

2

,

n

1

即(i

1,

2,

,

n)i

piApi

矩阵与对角矩阵相似的条件定理

2

n阶矩阵

A与对角矩阵相似的充分必要条件为矩阵A有n

个线性无关的特征向量.证必要性

n

2

1

P

可逆P

0,

pi

(i

1,2,

,n)都是非零向量,故p1

,p2

,

,pn

都是A

的特征向量,且它们线性无关.充分性设p1

,p2

,

,pn

为A

的n

个线性无关的特征向量,它们对应的特征值为1

,

2

,

n

,则有Api

i

pi

(i

1,

2,

,

n)矩阵与对角矩阵相似的条件定理

2

n阶矩阵

A与对角矩阵相似的充分必要条件为矩阵A有n

个线性无关的特征向量.证

n

2

1充分性矩阵与对角矩阵相似的条件定理

2

n阶矩阵

A与对角矩阵相似的充分必要条件为矩阵A有n

个线性无关的特征向量.证 充分性

n

2

1令P

(p1

,p2

,

,pn

),易知P

可逆,且AP

A(

p1

,

p2

,

,

pn

)

(

Ap1

,

Ap2

,

,

Apn

)1

p1

,

n

pn

)

(

2

p2

,

,,

2

1

(

p

,

p

,

,

p

)

P1

2

n

n

矩阵与对角矩阵相似的条件定理

2

n阶矩阵

A与对角矩阵相似的充分必要条件为矩阵A有n

个线性无关的特征向量.证 充分性

n

2

1令P

(p1

,p2

,

,pn

),易知P

可逆,且AP

A(

p1

,

p2

,

,

pn

)

(

Ap1

,

Ap2

,

,

Apn

)

(

1

p1

,

2

p2

,

,

n

pn

)

P

,矩阵与对角矩阵相似的条件定理

2

n阶矩阵

A与对角矩阵相似的充分必要条件为矩阵A有n

个线性无关的特征向量.证 充分性

n

2

1令P

(p1

,p2

,

,pn

),易知P

可逆,且AP

A(

p1

,

p2

,

,

pn

)

(

Ap1

,

Ap2

,

,

Apn

)n

pn

)

P

,

(

1

p1

,

2

p2

,

,用

P

1

左乘上式两端得

P

1

AP

,

即A

与 相似.证毕.矩阵与对角矩阵相似的条件定理

2

n阶矩阵

A与对角矩阵

2

1相似的充分必要条件为矩阵A有n

个线性无关的特征向量.n

推论

若

n阶矩阵

A有n

个相异的特征值

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