质点动力学课件

第2章质点动力学“潮汐”是海水的一种周期性的升降或涨落运动，是月亮和太阳对地球的引力以及地球自转所致。海水周期性涨落水体形成了海流潮汐动能---潮汐能。第2章质点动力学“潮汐”是海水的一种周期性的升降或§2.1

牛顿运动定律及其应用主要内容：1.牛顿运动定律2.力学中常见的几种力3.牛顿第二定律的微分形式4.质点动力学的两类问题§2.1牛顿运动定律及其应用主要内容：1.牛顿运动定律2.1.1牛顿运动定律任何物体都保持静止或匀速直线运动的状，直到其他物体作用的力迫使它改变这种状态为止。注意三个重要概念•

惯性——物体的固有属性（惯性定律）牛顿第一定律§2.1

牛顿运动定律及其应用•惯性参照系——物体运动遵从第一定律的参照系•力(概念)——使物体改变运动状态的原因静力学基本方程（质点处于静止或匀速直线运动状态时）2.1.1牛顿运动定律任何物体都保持静止或匀速直线运动的状一个物体的动量随时间的变化率等于这个物体所受的合力。牛顿第二定律当物体的质量不随时间变化时(1)第二定律的三个性质•对应性

——•矢量性

——（矢量叠加定理）•瞬时性

——第二定律是一个瞬时关系式讨论一个物体的动量随时间的变化率等于这个物体所受的合力。牛顿第(2)分量表示形式自然坐标中•如火箭、雨滴问题。•在狭义相对论中,高速运动物体的质量与运动速度有关。(3)在一般问题中，m可认为常量，但有时m是变化的：√X(2)分量表示形式自然坐标中•如火箭、雨滴问题。•在狭牛顿定律的正确性被事实所证明，它是质点动力学的基本定律，也是整个经典力学的基础。第三定律—力的特性牛顿第三定律注意:第三定律揭示了力的特性•成对性

——物体之间的作用是相互的。•一致性

——作用力与反作用力性质一致。•同时性

——相互作用之间是相互依存，同生同灭。第二定律—力的度量(定量描述)小结第一定律—“力”的概念牛顿定律的正确性被事实所证明，它是质点动力学的基本定律，也是1.力学中的常见力万有引力：万有引力的大小万有引力定律的矢量式万有引力常量2.1.2力学中常见的几种力由于物体具有质量而在物体之间产生的一种相互作用。万有引力定律式适用于两个质点；

说明对于两个质量均匀的球体之间的引力，可以直接用万有引力定律式计算。1.力学中的常见力万有引力：万有引力的大小万有引力定律的矢地球对其表面附近物体的万有引力质量为m的物体所受重力为重力：设地球的质量为mE，地球的半径为R，物体的质量为m重力加速度地球对其表面附近物体的万有引力质量为m的物体所受重力为重力如图所示，一质点m旁边放一长度为L、质量为M的杆，杆离质点近端距离为l•

万有引力公式只适用于两质点解例质点所受杆的万有引力。求如图所示，一质点m旁边放一长度为L、质量为M的杆，杆离当l>>L时讨论当l>>L时讨论弹性力：因形变而产生的恢复力支承面的支承力绳索内的张力(1)质量忽略不计的轻绳，绳中各点处的张力相等；(2)质量不能忽略的绳索，且处于加速运动状态时，绳中各点处的张力不同。弹性力：因形变而产生的恢复力支承面的支承力绳索内的张力(胡克定律弹簧的弹性力胡克定律弹簧的弹性力

摩擦力：静摩擦力：(3)最大静摩擦力静摩擦力的大小随外力的变化而变化；彼此接触的物体阻碍其相对运动或相对运动趋势的力

(2)静摩擦力的方向与接触面相对滑动趋势的指向相反；:静摩擦系数彼此接触的物体有相对运动趋势时，接触面间出现的摩擦力摩擦力：静摩擦力：(3)最大静摩擦力静摩擦力的大小随滑动摩擦力：(1)为滑动摩擦系数，且；

(2)滑动摩擦力的方向总是与相对运动的方向相反。干摩擦力随作用力的变化规律动摩擦静摩擦相互接触的物体有相对滑动时，接触处出现的摩擦力滑动摩擦力：(1)为滑动摩擦系数，(2)湿摩擦力:（1）在固体与流体相对运动速率不大时（2）在固体与流体相对运动速率较大时（3）湿摩擦力远小于干摩擦力2.常见力的分类接触力与非接触力主动力与被动力固体在流体中运动时，沿着接触面出现的摩擦力湿摩擦力:（1）在固体与流体相对运动速率不大时（2）在固体2.1.3牛顿第二定律的微分形式及其应用1.牛顿第二定律的微分形式自然坐标中的分量式直角坐标系中的分量式2.1.3牛顿第二定律的微分形式及其应用1.牛顿第二定律2.质点动力学的两类问题

两类问题已知质点的运动方程，或任一时刻的速度或加速度，求质点所受的力；

——微分法

(2)已知质点受到的力，求质点的运动方程等，包括任意时刻质点的位置、速度或加速度。

——积分法

应用牛顿运动定律求解质点动力学问题的一般步骤(1)选取研究对象，隔离物体；(2)分析受力，画出受力图；(3)选取坐标系；(4)列牛顿运动微分方程求解（通常取分量式）；(5)讨论结果的物理意义，判断其是否合理和正确。2.质点动力学的两类问题两类问题已知质点的运动方程，或任(1)劈m1相对地面的加速度和木块m2相对劈的加速度；(2)欲使木块与劈之间无相对滑动，应该沿水平方向给劈多大的作用力？将一质量为m1的三角形劈，放在光滑的水平桌面上，另一质量为m2的立方体木块，沿三角形劈的光滑斜面自由下滑，如图所示。例解求建立如图的坐标系(1)m1

、m2

受力情况如图设劈相对地面的加速度为a1木块相对劈的加速度为ar方向如图(1)劈m1相对地面的加速度和木块m2相对劈的加速度；将一对木块m2有且对劈m1有(1)(2)(3)(4)(5)对木块m2有且对劈m1有(1)(2)(3)(4)(5)对木块m2有对劈m1有(1)(2)(3)(4)解以上方程，得木块相对地面的加速度为讨论：...对木块m2有对劈m1有(1)(2)(3)(4)解以上方程，得建立如图的坐标系(2)设沿水平方向给劈施加力F，且木块与劈以相同的加速度a沿水平方向运动，方向如图所示。对木块m2有对劈m1有(1)(2)(3)(4)(5)且建立如图的坐标系(2)设沿水平方向给劈施加力F，且木块与劈对木块m2有对劈m1有(1)(2)(3)(4)(5)且由(4)式可得由(3)式可得劈和木块共同运动的加速度为由(1)式可得在劈上所加的水平力为对木块m2有对劈m1有(1)(2)(3)(4)(5)且由(4设一物体在离地面上空高度等于地球半径处由静止落下。在地面附近有以地心为坐标原点，物体受万有引力解可得：例它到达地面时的速度（不计空气阻力和地球的自转）。求r设一物体在离地面上空高度等于地球半径处由静止落下。在地面附近以初速度v0竖直向上抛出一质量为m

的小球，小球除受重力外，还受一个大小为αmv2

的粘滞阻力。解例求小球上升的最大高度。讨论：

=0？以初速度v0竖直向上抛出一质量为m的小球，小球除受重力外

有一质量为m的均匀细棒长为l，将其一端固定并作为转轴，细棒绕转轴在光滑水平面上以匀角速度

旋转。选微元dx距离固定端为l/2、l/4处的张力。例解求建立如图自然坐标列方程，对其受力分析,如图有一质量为m的均匀细棒长为l，将其一端固定并作为转轴，细棒绕考虑到

x=l

时，FT(l)=0，则代入(1)式则距固定端x处棒中的张力为距固定端为l/2处的张力距固定端为l/4处的张力考虑到x=l时，FT(l)=0，则代入(1)式则§2.2

惯性系与非惯性系主要内容：1.惯性参考系2.牛顿运动定律的适用范围3.力学相对性原理§2.2惯性系与非惯性系主要内容：1.惯性参考系2.2.2.1惯性系和非惯性系对地参考系牛顿运动定律在加速运动的车厢参考系中不成立！而对车厢参考系对地参考系对车厢参考系牛顿定律适用的参考系，简称惯性系。惯性参考系：反之，称为非惯性系。牛顿第二定律§2.2

惯性系与非惯性系讨论：判断：实验。实用的惯性系：地面参考系地心参考系日心参考系2.2.1惯性系和非惯性系对地参考系牛顿运动定律在加速运2.2.2牛顿运动定律的适用范围牛顿运动定律适用于惯性系；牛顿运动定律适用于低速领域的宏观物体。2.2.3力学相对性原理不可能利用在惯性系内部进行的任何力学实验来确定该系作匀速直线运动的速度；在一切惯性系中，力学定律具有完全相同的表达形式；物理量可以是相对的，但不同惯性系中力学定律的表达式则是绝对的。船在走吗?2.2.2牛顿运动定律的适用范围牛顿运动定律适用于惯性系m以地面参考系例一光滑斜面固定在升降机的底板上，如图所示，当升降机以匀加速度

a

0

上升时，质量为m的物体从斜面顶端开始下滑.yxmgx方向y方向物体对斜面的压力和物体相对斜面的加速度。求解m以地面参考系例一光滑斜面固定在升降机的底板上，如图所示，当§2.3

功与能主要内容：1.功2.动能定理3.保守力的功势能4.功能原理与机械能守恒定律§2.3功与能主要内容：1.功2.动能定理3.保守

2.3.1功恒力，路程

s位移功功是标量功有正功、负功之分，功的正负功取决于

。1.恒力的功，夹角θ外力对物体作负功，也可以说物体反抗外力作正功。

注意§2.3

功与能2.3.1功恒力，路程s位移功功是标量功有正功、负功变力的功元功等于力与元位移的标积由a点移动到b点，总功取元位移，在范围内，作用力可认为是恒力。在任一元位移上，力所作的元功功是过程量，是力的一种空间累积效应变力的功元功等于力与元位移的标积由a点移动到b点，总功取元位

(3)功在数值上等于曲线下的面积

讨论(1)在直角坐标系中(2)合力的功——等于各分力沿同一路径所作功的代数和示功图(4)功率(3)功在数值上等于曲线下的面积讨论(1)在直角坐标功的计算由a点移动到b点，总功在直角坐标系中合力的功——等于各分力沿同一路径所作功的代数和功率功的计算由a点移动到b点，总功在直角坐标系中合力的功摆球受力分析列方程元功例解有一长为l、质量为m的单摆，最初处于铅直位置且静止。现用一水平力作用于小球上，使单摆非常缓慢的上升（即上升过程中每一位置近似平衡）。用摆球与铅直位置的夹角q表示单摆的位置。求当

由0增大到

0的过程中，此水平力所作的功？，建立坐标系如图。得总功摆球受力分析列方程元功例解有一长为l、质量为m的单摆，最初处质量为10kg的质点，在外力作用下做平面曲线运动，该质点的速度为解在质点从y=16m到y=32m的过程中，外力做的功。求例,开始时质点位于坐标原点。质量为10kg的质点，在外力作用下做平面曲线运动，该质解在设作用于质量m=2kg的物体上的力为F=6t，在该力作用下物体由静止出发，沿力的作用方向作直线运动。在前2s时间内，这个力所作的功。例解求分离变量，并考虑初始条件，积分在前2s力所作的功为设作用于质量m=2kg的物体上的力为F=6t，在该力一条长为l、质量为m的均质柔绳AB，A端挂在天花板的钩上，自然下垂。现将B端无限缓慢地沿铅垂方向提高到与A端同一高度处。取绳自然下垂时B端位置为坐标原点，铅垂向上为Oy轴正方向。设B端提升过程中的某一时刻坐标为y该过程中重力所作的功。例解求取元位移dy绳提起部分所受重力为，则重力在元位移上的元功为该过程中重力所作的总功为一条长为l、质量为m的均质柔绳AB，A端挂在天花板的钩上，自2.2.3动能定理合力在元位移上所作的元功1.质点的动能定理（动能定理的微分形式）（动能定理）2.2.3动能定理合力在元位移上所作的元功1.质讨论合外力的功是质点动能变化的量度；动能是一个由物体的运动状态所决定的状态量；动能定理只适用于惯性系。合力对质点所作的功等于质点始、末两状态动能的增量。（动能定理）讨论合外力的功是质点动能变化的量度；动能质量为m的质点，系在一端固定的绳子上且在粗糙水平面上作半径为R的圆周运动。当它运动一周后，由初速vo减小为vo/2。运动过程中：受重力、支承力、摩擦力，只有摩擦力作功。(2)因摩擦力方向与运动方向相反可得(1)摩擦力所作的功；(2)滑动摩擦系数；(3)静止前质点运动了多少圈?例解求(1)根据质点的动能定理，摩擦力的功质量为m的质点，系在一端固定的绳子上且在粗糙水平面上作半径为(3)设静止前质点运动了n圈由质点的动能定理有可得（圈）(3)设静止前质点运动了n圈由质点的动能定理有可得（圈）

内力外力,根据质点的动能定理对m1:对m2:两式相加2.质点系的动能定理内力外力,根据质点的动能定理对m1:对m2:两式相加2.质推广到n个质点的质点系（质点系的动能定理）所有外力和内力对质点系作功的总和等于质点系动能的增量注意质点系的内力和外力的区分,

内力的特点？

什么情况下内力功的和为零？系统内力的功也可以改变系统的动能。推广到n个质点的质点系（质点系的动能定理）所有外力和内力对质2.质点系的动能定理（质点系的动能定理）所有外力和内力对质点系作功的总和等于质点系动能的增量.注意质点系的内力和外力的区分,内力的特点？

什么情况下内力功的和为零？系统内力的功也可以改变系统的动能。2.质点系的动能定理（质点系的动能定理）所有外力和内力对质

长为l的均质绳索，部分置于水平面上，另一部分自然下垂，如图所示。已知绳索与水平面间的静摩擦系数为ms，滑动摩擦系数为mk。以绳索的水平部分为研究对象取如图所示的坐标(1)满足什么条件时，绳索将开始滑动？(2)若下垂长度为b时，绳索自静止开始滑动，当绳索末端刚刚滑离桌面时，其速度等于多少？例解求当时，水平部分受到的下垂部分的拉力为此时达到最大静摩擦力则有即当，绳索将开始滑动。长为l的均质绳索，部分置于水平面上，另一部分自然下垂，如图所(2)以整个绳索为研究对象，绳索在运动过程中各部分之间相互作用的内力的功之和为零。重力的功为摩擦力的功为根据动能定理，有解得若水平面光滑，则(2)以整个绳索为研究对象，绳索在运动过程中各部分之间重力2.3.3保守力的功势能1.几种常见力的功元功

重力的功总功

结论重力所作的功仅和物体的始末位置有关，而与路径无关。物体沿acbda闭合路径L运动一周，重力的功2.3.3保守力的功势能1.几种常见力的功元功重力的万有引力的功太阳元功总功

结论万有引力的功仅和物体的始末位置有关，而与路径无关。沿任意闭合路径L运动一周，万有引力的功万有引力的功太阳元功总功结论万有引力的功仅和物体的始末弹性力的功元功总功结论弹性力所作的功仅和物体的始末位置有关，而与路径无关。沿任意闭合路径L运动一周，弹性力所作的功总功弹性力的功元功总功结论弹性力所作的功仅和物体的始末位置

总功摩擦力的功元功（Fk为常量）结论:摩擦力的功与路径有关。作功只与物体始末位置有关，而与物体运动路径无关的力。2.保守力保守力：非保守力：（重力、万有引力、弹性力都是保守力）作功与物体运动路径有关的力。（摩擦力是非保守力）保守力沿任意闭合路径一周所作的功为零，即（保守力场）总功摩擦力的功元功（Fk为常量）结论:摩擦力的功与路径有几种常见力的功

重力的功万有引力的功弹性力的功摩擦力的功作功只与物体始末位置有关，而与物体运动路径无关的力。

保守力：

非保守力：（重力、万有引力、弹性力都是保守力）作功与物体运动路径有关的力。（摩擦力是非保守力）保守力沿任意闭合路径一周所作的功为零，即（保守力场）几种常见力的功重力的功万有引力的功弹性力的功摩擦力的3.势能在保守力场中b(选参考点)a取：则（势能的定义）

：(势能零点)势能是位置的函数，在数值上等于从a

到

势能零点

保守力所做的功（该函数通常称作势能函数）。势能是系统具有的做工本领3.势能在保守力场中b(选参考点)a取：则（势能的定义）讨论（1）由于势能零点可以任意选取，所以某一点的势能值是相对的。（2）势能增量：在保守力场中，质点从a1→a2位置，势能增量为质点在该过程中，保守力的功

A等为即在该过程中，保守力的功

A等于质点在始末两位置势能增量的负值微分形式保守力场中任意两点间的势能差与势能零点选取无关。讨论（1）由于势能零点可以任意选取，所以某一点的势能值是相几种常见的势能（势能定义）1.重力势能

xyzO势能零点：

2.弹性势能

Ox势能零点：

几种常见的势能（势能定义）1.重力势能xyzO势能零点：3.万有引力势能

rMm等势面r势能零点：

3.万有引力势能rMm等势面r势能零点：保守力与势能的微分关系比较(1)和(2)式直角坐标系中，dEp的全微分分量式：保守力与势能的微分关系比较(1)和(2)式直角坐标系中，d势能曲线(质点的势能与位置的关系可以用图线表示出来)ZO重力势能弹性势能E万有引力势能XOrO(1)由势能曲线求保守力(2)确定质点的运动范围(3)确定平衡位置，判断平衡的稳定性。势能曲线(质点的势能与位置的关系可以用图线表示出来)ZO重XE质点运动范围：做往复振动ABC势场中的粒子：B点：稳定平衡位置A、C点：非稳定平衡位置XE质点运动范围：做往复振动ABC势场中的粒子：B点：稳定平有一双原子分子由A、B两原子组成，设A原子位于坐标原点，B原子与A原子的间距为x，这两原子之间的作用力为分子力（分子力是保守力，可用势能来描述），且这两原子相互作用的势能函数可以表示为式中a和b为正常数，x以m为单位，势能Ep(x)以J为单位。(1)势能Ep(x)=0时，x=?

(2)原子间的相互作用力和平衡位置。例解求(1)由解得当x→∞时，上述方程也能成立则x→∞也是一个解。有一双原子分子由A、B两原子组成，设A原子位于坐标原点，B原(2)保守力等于相关势能梯度的负值，即平衡位置，Fx=0由解得（舍去）

（平衡位置）(2)保守力等于相关势能梯度的负值，即平衡位置，Fx=

例是不是保守力?解如果是保守力，则不是保守力例是不是保守力?解如果是保守力，则不是保守力1.功能原理2.3.4功能原理与机械能守恒定律由系统的动能定理有(功能原理)作用于质点系内各质点上的所有外力和非保守内力在某一过程中作功的总和，等于质点系机械能的增量。1.功能原理2.3.4功能原理与机械能守恒定律由系统的动系统的功能原理当2.机械能守恒定律(质点系的机械能守恒定律)普遍的能量守恒定律则如果系统中只有保守内力作功，而其它内力和外力都不作功，或作功的总和始终为零，则系统总机械能保持不变。在一个孤立系统（即不受外界作用的系统）内，能量可以有一种形式转换为另一种形式，但系统的总能量保持不变。系统的功能原理当2.机械能守恒定律(质点系的机械能守恒定律(1)选取研究对象。应用功能原理或机械能守恒定律解题步骤(2)分析受力和守恒条件。

(3)明确过程的始、末状态。(4)列方程。(5)解方程，求出结果。(6)讨论解的物理意义。(1)选取研究对象。应用功能原理或机械能守恒定律解题步骤卫星的动能和机械能。一质量为m的人造地球卫星，沿半径为r的圆轨道绕地球运行。以卫星和地球组成的系统为研究对象例解求设地球质量为mE,卫星的动能为(无穷远处为万有引力势能零点)则卫星的势能为卫星的机械能为卫星的动能和机械能。一质量为m的人造地球卫星，沿半径为r的圆一质量为m的物体，从静止开始在距地面R处自由下落。只有保守力作功，系统机械能守恒，则建立以O点为原点的坐标系设无穷远处为万有引力势能零点，则物体到达地球表面时的速度。设地球半径为R。例解求一质量为m的物体，从静止开始在距地面R处自由下落。只有保守力把一个物体从地球表面上沿铅垂方向以第二宇宙速度例1物体从地面飞行到与地心相距

nRe处（n为正整数）经历的时间。求发射出去，阻力忽略不计.解根据机械能守恒定律有把一个物体从地球表面上沿铅垂方向以第二宇宙速度用弹簧连接两个木板m1

、m2

，弹簧压缩x0

。解整个过程只有保守力作功，机械能守恒例2给m2

上加多大的压力能使m1

离开桌面？求

用弹簧连接两个木板m1、m2，弹簧压缩x0。解整个过§2.4

动量定理与动量守恒定律主要内容：1.动量与冲量2.质点的动量定理4.动量守恒定律3.质点系的动量定理§2.4动量定理与动量守恒定律主要内容：1.动量与冲量2.4.1冲量与动量1.冲量力的时间积累，即冲量。恒力(t1→

t2)：变力:元冲量(t

→

t+dt):(t1→

t2)：冲量的方向:的方向.

2.动量动量：运动质点的质量与其速度的乘积。动量是矢量，方向为速度方向。动量与动能数量上的关系为§2.4

动量定理与动量守恒定律2.4.1冲量与动量1.冲量力的时间积累，即冲量。恒力3.质点的动量定理(合力的冲量)(动量定理微分形式)(动量定理积分形式)作用在质点上的合力在某一时间内的冲量等于质点在同一时间内动量的增量。牛顿运动定律动量定理的分量形式冲量的分量只改变自己方向上的动量3.质点的动量定理(合力的冲量)(动量定理微分形式)(动量

平均冲力平均冲力一质量为m=1000kg的蒸汽锤从高度为h=1.5m的地方由静止下落，锤与被加工的工件的碰撞时间为

t=0.01s，且锤与工件碰撞后的末速度为零。建立如图所示坐标，蒸汽锤对工件的平均冲击力。例解求受力分析如图，设平均冲击力为锤撞击工件的初速为则由动量定理得时间短而冲力大，重力等往往可以忽略。

工件一质量为m=1000kg的蒸汽锤从高度为h=1.5m的地一质点受合力作用，合力为质点从静止开始在2s内所受合力的冲量和质点在2s末的动量。例解求根据动量定理由冲量的定义有一质点受合力作用，合力为质点从静止开始在2s内所受合力的冲量例

质量为m的匀质柔软绳，全长为

L，开始时静止，下端与地面的距离为

h。所受绳的作用力？Lh解

设

t

时刻（地面上有

l长