结构可靠度计算方法(一次二阶矩)课件

southwestjIaotongunIversIty西南交通大学SouthwestJiaotongUniversity《隧道与地下结构可靠度》课程第三讲结构可靠度计算方法龚伦副教授south1主要内容基本概念一次二阶矩理论的中心点法一次二阶矩理论的验算点法(JC法)映射变换法实用分析法主要内容基本概念2

southwestjIaotongwnIversIty一、基本概念西南交通大学SouthwestJiaotongUniversitysouth3现代的结构可靠度理论是以概率论和数理统计学为基础发展起来的，要解决的中心问题是围绕着怎样描述和分析可靠度，以及研究影响可靠度各基本变量的概率模型。1、解决的问题现代的结构可靠度理论是以概率论和数理统计学为基础发展起来的，4结构可靠度计算方法分精确法和近似法两种。精确法：求解结构的失效概率pf的方法，通常称为全概率法；近似法：一次二阶矩计算方法等，虽然是近似的，但仍属概率法。2、计算方法结构可靠度计算方法分精确法和近似法两种。2、计算方法5结构功能函数大多是非线性函数，且非线性不是很强的条件下，但又不能直接精确积分计算得到结构的可靠度，而通过计算结构可靠指标，近似得到结构可靠度的计算方法。在通常情况下，结构功能函数的一阶矩(均值)和二阶矩(方差)较容易得到，故称之为一次二阶矩法。3、一次二阶矩法结构功能函数大多是非线性函数，且非线性不是很强的条件下，但又6一次二阶矩法是一种在随机变量的分布尚不清楚时，采用均值和标准差的数学模型，求解结构的可靠指标、结构可靠度的方法。该法将功能函数在某点用泰勒级数展开，使之线性化，然后求解结构的可靠度，因此称为一次二阶矩。一次二阶矩法是一种在随机变量的分布尚不清楚时，采用均值和标准7

southwestjIaotongwnIversIty二、一次二阶矩理论的中心点法西南交通大学SouthwestJiaotongUniversitysouth8中心点法是结构可靠度研究初期提出的一种方法。其基本思想：首先，将非线性功能函数在随机变量的平均值(中心点)处作泰勒级数展开，并保留至一次项；然后，近似计算功能函数的平均值和标准差。1、一次二阶矩中心点法中心点法是结构可靠度研究初期提出的一种方法。1、一次二阶矩中9设X1,X2,…,Xn是结构中n个相互独立的随机变量，其平均值为,标准差为,功能函数将功能函数Z在平均值P*(μX1,μX2,…,μXn)处展开且保留至一次项，即(3-1)2、推导过程设X1,X2,…,Xn是结构中n个相互独立的随机变量，其平均10ZL平均值和方差为：(3-2)ZL平均值和方差为：11结构可靠指标为(3-3)结构可靠指标为12可靠指标β的几何意义是什么？证明如下功能函数泰勒级数展开至一次项，即(3-4)假定正态变换，即：(3-5)3、几何意义可靠指标β的几何意义是什么？证明如下3、几何意义13将(3-5)式代入(3-4)式，得

(3-6)(3-6)式为一个超平面方程，点P*(μX1,μX2,…μXn)到平面的距离为：(3-7)将(3-5)式代入(3-4)式，得(3-6)式为一个超平14中心点法验算点法极限方程曲面可靠区均值点显然，点P*(μX1,μX2,…,μXn)到平面的距离d，就是所求的可靠指标值β，两者是相等的。P*中心点法验算点法极限方程曲面可靠区均值点显然，点P*(μX115优点：计算简便。缺点：对于非线性功能函数，均值点一般在可靠区内，而不在极限边界上；选择不同极限状态方程（数学表达式不同，同样物理含义），得到的可靠指标不同。例如：p30例3-1。适用条件：结果比较粗糙，适用于可靠度要求不高的情况，如钢筋混凝土结构正常使用极限状态的可靠度分析。4、优缺点优点：计算简便。4、优缺点16[例题1]设X1,X2,…,Xn是结构中n个相互独立的随机变量，其平均值为μxi（i=1,2,…,n)，标准差为σxi(i=1,2,…,n)，功能函数Z=g(X1,X2,…,Xn)。求结构可靠指标β？[解]将功能函数Z在随机变量的平均值处泰勒级数展开，且保留一次项，即5、举例[例题1]设X1,X2,…,Xn是结构中n个相互独立的随机17ZL的平均值和方差为：结构可靠指标为：ZL的平均值和方差为：18[例题2]某结构构件正截面强度的功能函数为Z＝g(R,S)=R-S，其中抗力R服从对数正态分布，μR=100kNm，δR=0.12；荷载效应S服从极值I型分布，μS=50kNm，δS=0.15。试用中心点法求结构失效概率Pf?[解]：[例题2]某结构构件正截面强度的功能函数为Z＝g(R,S)19结构可靠指标结构失效概率结构可靠指标20

southwestjIaotongwnIversIty三、一次二阶矩理论的验算点法西南交通大学SouthwestJiaotongUniversitysouth21JC法是Hasofer,Lind,Rackwitz和Fiessler,Paloheimo和Hannus等人提出的验算点法。适用于随机变量为非正态分布的结构可靠指标的计算。通俗易懂，计算精度又能满足工程实际需要。国际结构安全度联合委员会(JCSS)推荐使用，故称为JC法。我国《建筑结构设计统一标准(GBJ68-84)》和《铁路工程结构设计统一标准(GB50216-94)》中都规定采用JC法进行结构可靠度计算。1、验算点法（JC法）JC法是Hasofer,Lind,Rackwitz和Fi22将P*（X*1,X*2,…,X*n)定义为验算点（设计点），故称之为验算点法。又因为是在中心点法的基础上改进的，故称为一次二阶矩的改进方法。数学推导过程如下：设X1,X2,…,Xn(i=1,2,,n)为基本变量，且相互独立，则极限状态功能函数方程为：(3-8)将极限方程用泰勒级数在P*（X*1,X*2,…,X*n)点上展开，取一次项，可得极限方程为：(3-9)2、推导过程将P*（X*1,X*2,…,X*n)定义为验算点（设计点），23设(3-10)有(3-11)将(3-11)代入(3-9)，得(3-12)设24Z的平均值为：

(3-13)验算点在极限边界上，即又(3-14)将(3-14)代入(3-13)，得(3-15)2.1按定义推导Z的平均值为：2.1按定义推导25Z的标准差σZ为：(3-16)则可靠指标β为：(3-17)Z的标准差σZ为：26随机变量满足正态分布，即(3-18)其中：(3-19)随机变量满足正态分布，即27由(3-12)，得(3-19)此为超平面方程，均值点P(μX1,μX2,…,μXn)到超平面的距离d为：(3-20)2.2按几何意义推导由(3-12)，得2.2按几何意义推导28各变量的方向余弦为：(3-21)显然，两种方法得到的结果是一致的。各变量的方向余弦为：29将(3-8)与(3-18)联立，求得β和各变量值，再代入到(3-8)和(3-18)，且联立求解，得到新的一组β和各变量值。直到满足下式为止，即(3-22)迭代结束，计算完成。2.3迭代过程将(3-8)与(3-18)联立，求得β和各变量值，再代入到(30两个随机变量为正态分布时，其极限方程为

标准化变换极限状态方程变为(3-23)(3-24)(3-25)3、正态分布时的推导过程两个随机变量为正态分布时，其极限方程为标准化变换极限状态方程31式中将(3-25)变为标准法线式直线方程(3-26)(3-27)式中将(3-25)变为标准法线式直线方程(3-26)(3-232是坐标系中原点到极限状态直线的距离(其中P*为垂足)。在验算点法中，的计算就转化为求的长度。是坐标系中原点到极限状态直线33两个正态随机变量的极限状态方程和设计验算点两个正态随机变量的极限状态方程和设计验算点34非正态分布时，可采取以下三种方法：当量正态化法（JC法）映射变换法实用分析法JC法为当量正态化法，将原来非正态分布随机变量Xi用等效正态分布代替，要求满足以下2个条件：原函数值F(xi*)与当量正态函数值F’(xi*)相等原概率密度值f(xi*)与当量正态分布概率密度值f’(xi*)相等4、非正态分布时非正态分布时，可采取以下三种方法：4、非正态分布时35JC法的等效正态分布图原分布FXi(xi*),fXi(xi*)等效正态分布F’Xi(xi*),f’Xi(xi*)OJC法的等效正态分布图原分布等效正态分布F’Xi(xi*),36条件(1)和(2)的数学表达式为(3-20)(3-21)由(3-20)，得(3-22)由(3-21)，得(3-23)4.1当量正态化法-JC法条件(1)和(2)的数学表达式为4.1当量正态化法-J37由(3-22)，得(3-24)将(3-24)代入(3-23)，得(3-25)由(3-24)和(3-25)，得(3-26)由(3-22)，得38将(3-26)代入(3-18)、(3-19)和(3-20)进行迭代计算，就可求解随机变量非正态分布的可靠度问题。显然，JC法通过当量变换，使得非正态分布的随机变量满足正态分布要求，进而应用满足正态分布的方法进行迭代计算，求解非正态分布随机变量的可靠度问题。将(3-26)代入(3-18)、(3-19)和(3-20)进39李云贵(1993)提出映射变换法。具体数学过程如下：设结构中的n个相互独立的随机变量为X1,X2,…,Xn，其概率分布函数为Fi(xi)(i=1,2,…,n)，概率密度函数为fi(xi)(i=1,2,…,n)，极限状态方程为Zx=g(X1,X2,…,Xn)=0(3-27)映射变换(3-28)则(3-29)4.2映射变换法李云贵(1993)提出映射变换法。具体数学过程如下：4.240将(3-29)代入(3-27)，得(3-30)由于Yi是一个标准正态随机变量，则(3-31)于是(3-32)(3-33)(3-34)将(3-29)代入(3-27)，得41其中：(3-35)对于常用的几种概率(1)Xi服从正态分布(3-36)(2)Xi服从对数正态分布(3-37)其中：42(3)Xi服从极值I型分布(3-38)式中，(3)Xi服从极值I型分布43Paloheimo和Hannus(1972)在赫尔辛基工程力学学术讨论会提出了分位值法。有的著作中是中国铁科院姚明初(1993)提出的分位值法。本文认为仍然是Paloheimo和Hannus(1972)提出的。所谓分位值法就是映射变换法的另一种表述。n个独立随机变量X1,X2,…,Xn，结构极限状态方程为(3-39)映射变换(3-40)则有(3-41)4.3分位值法Paloheimo和Hannus(1972)在赫尔辛基工程力44将(3-39)在点进行泰勒级数展开且保留一次项，即：(3-42)于是有(3-43)其中将(3-39)在45(3-44)是基本变量对应分位概率为的分位值。(3-45)各变量的“分项可靠指标”可用(3-45)求解得到。于是得到“设计值”，即(3-46)变量Xi的“设计值”与变量Xi的标准值Xik之比定义为分项系数，即(3-47)变量Xi的“设计值”与变量Xi的标准值Xik之比46JC法------举例[例题]已知极限状态方程：(1)(2)随机变量f，W均服从正态分布，μf=38，δf=0.1；μW=54，δW=0.05，求：两个极限状态方程条件下的β及f和W的验算点之值f*，W*。[解]1.首先求(1)式条件下的β及f和W的验算点之值f