正方形综合练习2023年九年级数学中考复习

正方形综合2023九年级数学中考复习

1.（2021春•香坊区校级期中）己知应）为正方形438的对角线，点E为正方形ABCD外一点，连接隹,

BE,CE,若AEJLCE,BE与AD交于点、F,CE与AO、8。分别交于点G、H.

(1)如图1,求证：ZAEB=45°;

(2)如图2,求证：AE+CE=^BE；

(3)如图3,连接DE,若DG=2FG,SMBE=30,求C”的长.

图1

2.(2022秋•乐东县期末)如图1,在正方形438中，45=4,点P是射线BC上一点，连接R4,PD.

(1)当点P是边3c的中点时，求证：&ABP三XDCP;

(2)如图2,点E,F,G,”分别是4),DC,CP,总的中点，依次连接EF,FG.GH,HE.

①请判断四边形的形状，并说明理由;

FQ,当的面积为时，求的长.

②若点Q是叨的中点，连接EQ,AEQkg3P

图1图2釜用图

3.（2022秋•卫辉市期末）【观察猜想】（1）我们知道，正方形的四条边都相等，四个角都为直角.如图1,

在正方形ABCD中，点£,F分别在边3C,CD上,连接AE,AF,EF,并延长到点G,使=

连接AG.若NE4F=45。，则BE,EF,。江之间的数量关系为；

【类比探究】（2）如图2,当点E在线段8c的延长线上，且NE4尸=45。时，试探究BE,EF,之间

的数量关系，并说明理由；

【拓展应用】（3）如图3,在RtAABC中，AB=AC,D,£在8c上，ZDAE=45°,若AABC的面积为

12,BDCE=4,请直接写出AM坦的面积.

4.(2022秋•大东区期末)如图1,已知正方形CEFG的边CG在正方形钻8的边CD上，连接3G,DE.

(1)求证：ABCG三ADCE；

(2)将正方形CEFG绕点C按逆时针方向旋转，使边FG经过点。，如图2,连接和8G,写出BG与

DE的位置关系，并说明理由；

(3)在(2)的条件下，连接BE,若正方形ABCD的边长为5,正方形CEFG的边长为4,直接写出。G?+BE?

的值.

图2

5.(2022秋•海门市期末)如图，矩形ABC。中，AB=4,BC=a(4>4),点E在边BC上，在AB同侧以

AE为边作正方形AEFG,直线FG交直线A。于点H.

(1)如图①，若点尸是CO的中点，求a的值；

(2)如图②，若点尸在矩形ABCO内，且G”：FH=3：1,求8E的长;

6.(2021春•兴宁区校级期中)点E为正方形AB8边上的一点，点G为BC延长线一点，连接AE,

过点E作AfjLEb,且AE=£F,连接CF.

(1)如图，求证：ZFCG=45°:

(2)如图，过点D作DH//EF交AB于点、H,连接HE,求证：AH2+BH2=HE2；

(3)如图，连接AT、DF,若所交CZT于点M,DM=2,BH=3,求。尸的长.

AD

ADf\3^1AD

7.(2021春•平山县期中)如图，正方形43CO的边04、0C在坐标轴上，点3坐标为(6,6),将正方形OC54

绕点C逆时针旋转角度一个锐角度数a,得到正方形DCFE,功交线段相与点G,ED的延长线交线段

OA于点”，连CH、CG.

(1)求证：ACBG=ACDG；

(2)认真探究，求出4CG的度数；猜想HG、OH、8G之间的数量关系，并写出理由.

(3)连接比＞、DA,AE,£»得到四边形向3,在旋转过程中四边形码。能否为矩形？如果能，请

求出点H的坐标；如果不能，请说明理由.

8.(2023•昆明一模)已知四边形ABC£>是正方形.

(1)如图1所示，点O是正方形对角线的交点，连接03,OC,若AB=4,求OB的长.

(2)如图2所示，当点O是3C上一点，OCLBC,连接8C',C'£>,点M是C'。的中点，连接,CM,

求证：CM=OM.

图2

9.(2022秋•南川区期末)如图1,在正方形ABC。中，对角线AC、8。相交于点。，点E为线段80上一

点，连接CE,将CE绕点C顺时针旋转90°得至I」CF,连接EF交CD于点G.

(1)若4B=8,BE=2近,求△(?£下的面积.

(2)如图2,线段FE的延长线交AB于点”，过点尸作于点求证：BH+MG=—BE；

2

(3)如图3,点E为射线。。上一点，线段FE的延长线交直线CQ于点G,交直线A8于点”，过点产

10.(2022•杭州模拟)如图所示，在平面直角坐标系中，正方形04BC的点A、C分别在x轴和y轴的正

半轴上，点8(6,6)在第一象限，AP平分由交03于P.

(1)求NOPA的度数和OP的长；

(2)点尸不动，将正方形。4BC绕点O逆时针旋转至图2的位置.ZC(?P=60°,AP交08于点尸，连接

CF.求证：OF+CF=PFi

(3)如图3,在(2)的条件下，正方形的边回交x轴于点£＞、OE平分NBOD,M,N是OB、OE上

的动点，请直接写出8N+M/V的最小值.

答案版:

1.

【解答】(1)证明：如图1,作研，CE于点P,交£4的延长线于点

/.ZA/=ZBPC=90°,

AEA.CE,

ABPE=ZM=ZAEP=90°，

/.四边形MBPE是矩形，

:.ZMBP=90。,

四边形ABCD是正方形，

:.AB=CB,ZABC=ZADC=90°,

.・.ZMBA=ZPBC=90°-ZABP，

在AAB"和ACBP中，

NM=NBPC

<NMBA=APBC,

AB=CB

^ACBP(AAS)f

:.MB=PB,

四边形MBPS是正方形，

.\ZAEB=ZMBE=45°.

(2)证明：如图1,N\BM=\CBP,

AM=CP,

四边形MRPE是正方形，

:.ME=PE=BP,

;.AE+CE=ME-AM+PE+CP=PE-CP+PE+CP=2PE,

PE?+BP2=BE?,

2PE2=BE2,

:.4PE2=2BE2,

:.2PE=y/2BEf

:.AE+CE=6BE.

(3)解：如图2,连接AC,作G/工BE于点I,GJ上DE于点、J,

AD=CD,ZADC=90°,

.・.ZmC=ZDC4=45°,

.ZAEG=/CDG,ZAGE=NCGD,

:2GEskCGD,

EGAG

---=---,

DGCG

EGDG

..---=---,

AGCG

ZEGD=ZAGC,

/.AEGE^AAGC,

.・.ZDEG=ZC4G=45°，

..NDEG=NFEG=45。,

:.GI=GJ,

DG=2FG,

••SADEG=2SAFEG，

/.-EDGJ=2x-EFGI，

22

:.ED=2EF,

ZBAF=ZDEF=90。,ZAFB=ZEFD,

/SAFB^AEFD，

,AB_AF

~ED~~EF'

ABEDc

二.——=——=2,

AFEF

:.AB=2AF,

作AQ_L3£于点Q,则NAQE=90。，

ZQAE=ZQEA=45°,

：.QE=QAf

ABQA=ABAF=9GP,ZQBA=ZABF,

/.NBQA^^BAF,

.QB_QA

…AB~AF"

2=空=2,

QAAF'

QB=2QA，

:.BE=3QA,

gx3QA-QA=SMBf：=30，

QA=245,QB=46，

/.BC=DC=AD=AB=《QA。+QB?=J(26，+(4右1=10,

：.DF=AF=-AB=5,

2

:.DG=-DF=-x5=—,

333

:.CG=VOC2+DG2=^102+(y)2=,

DG//BC,

..XJGHsgCH,

10

.GHDG31

…C77-BC-To_3J

「u3”310而5710

4432

.•.c〃的长是亚.

A17\、D

wB

图1

2.

【解答】(1)证明：如图1,四边形/WCD是正方形，

:.AB=DC,ZB=ZC=90°,

，点户是边8c的中点，

:.BP=CP,

在AABP和ADCP中，

AB=DC

<NB=NC,

BP=CP

:.AABP=ADCP(SAS).

(2)解：①四边形£FG”是平行四边形，理由如下，

如图2,点P在边上，如图3,点P在边3C的延长线上，连接AC,

.•点、E,F,G,”分别是AD,DC,CP,R4的中点，

.\EF//AC,EF=-AC,HG//AC,HG=-AC,

22

:.EF//HG,EF=HG,

/.四边形EFGH是平行四边形.

②如图2、图3,作用上BP于点I,连接5H,

BH=PH=AH=LAB,

2

：.PI=BI,

CB=AB=4,

:.Hl=-AB=2,

2

,点Q是PD的中点，

:.EQ=^AP=HP,FQ=；CP=GP,

:.庄QF=M~1PG(SSS),

9

*，,S&EQF=SMIPG=2

：.-x2PG=-,

22

二.PG=-f

:.PC=2PG=2x-=\，

2

当点P在边3c上，如图2,则成=3C—PC=4—1=3；

当点P在边8C的延长线上，如图3,则族=BC+PC=4+1=5,

综上所述，族的长为3或5.

3.

【解答】解：【观察猜想】(1)四边形/WCD为正方形,

:.AD=AB,ZABG=ZADF=90°,

BG=DF,

MDF=^ABG(SAS)，

:.AF=AG,ZDAF=ZBAG,

四边形/WC£>为正方形，

.\ZBAD=90°,

ZE4F=45°，

.•.Za4E+ZZMF=45°,

ZBAG+ZBAE=45°=/LEAF,

.\ZGAE=AEAF=45°,

在AAGE和AA/芯中，

AG=AF

<ZGAE=NEAF,

AE=AE

MGE=AAFE(SAS),

:.GE=EF,

GE=GB+BE=BE+DF,

：.EF=BE+DF.

故答案为：EF=BE+DF；

【类比探究】(2)EF=BE—DF,理由如下：

如图2,在3。上截取3G=OF,连接AG.

四边形ABCD为正方形,

:.AD=AB9ZABG=ZADF=9Q°,

BG=DF,

:./>ADF=AABG(SAS)f

AF=AG,ZDAF=ZBAG,

四边形ABC。为正方形，

:.ZBAD=90°,

ZE4F=45°,

ND4E+NZM/=45°,

/.ZBAG+Z+ZZMF=45°,

.-.ZG4E=ZE4F=45°,

在AAGE和AAFE1中，

AG=AF

<ZGAE=NEAF,

AE=AE

.­.AAGE=AAFE(SAS),

:.GE=EFf

.GE=BE-BG=BE-DF,

：.EF=BE-DF；

【拓展应用】(3)如图3,将绕点A逆时针旋转90。得到A4CG,连接EG,此时A3与AC重合,

.\AD=AG,BD=CG,ZZMG=90。，

ZZME=45°,

ZGAE=ZDAE=45°,

AE=AE>

:.MDE^^AGE(SAS),

***SgDE=SgGE'

在RtAABC中，AB=AC,

/.ZB=ZACB=45°,

由旋转得ZB=ZACG=45°,

/.NECG=ZACB+ZACG=90°,

.•.AECG是直角三角形，

•"S.CG=38口，CE，

BDCE=4,

S*£CG=2'

AABC的面积为12,

^AADE=^AAGE=~X(12—2)=5.

图2

4.

【解答】(1)证明：如图1,

四边形CEFG和四边形是正方形，

BC=CD,CG=CE,ZBCD=NGCE=90。,

:.\BCG=ADCE(SAS)；

(2)解：BGVDE,理由如下：

如图，延长8G,ED交于点、H,

四边形CEFG和四边形ABC。是正方形,

:.BC=CD,CG=CE,ZBCD=ZGCE=90°,

:.ZBCG=ADCE,

:.ABCG=ADCE(SAS),

:.NBGC=NDEC,

ZBGC+ZHGC=180°,

.\ZHGC+ZDEC=180°,

ZGHE+ZGCE=180°,

.-.ZGHE=90°,

:.BG±DE；

(3)解：连接加，GE,

正方形A8C£）的边长为5,正方形CE/，G的边长为4,

:.BD=542,GE=4夜,

BH2+DH2=BD2,GH2+HE2=GE2,GH2+HD2=DG2,BH2+HE2=BE2,

DG2+BE2=BD2+GE2=50+32=82.

图2图2

5.

【解答】解:（1）如图①,

二•四边形ABCD是矩形，AB=4,

.••ZB=ZC=90",CD=AB=4,

:点尸是C。的中点，

：.CF=^CD=2,

2

・・•四边形AEFG是正方形，

/.ZAEF=90°,AE=EF,

：.ZAEB+ZCEF=NAEB+NA4E=90°,

:・NBAE=/CEF,

.♦.△ABE//\ECF(A4S),

：.AB=EC=4,BE=CF=2,

：.BC=BE+EC=6,

即。的值为6；

(2)如图②，过点尸作bM_LA。于M,交BC于K,过点G作GMLAD于N,

NEKF=/ANG=NB=90°,

•・•四边形A8CD是矩形，A8=4,

：,ZB=ZBAD=90°,

・・・四边形A8KM是矩形，

：.KM=AB=4,

•・•四边形AEFG是正方形，

AZEAG=ZAEF=ZAGF=90°,AG=AE=EF,

：.ZGAN+ZDAE=ZBAE+ZDAE=90°,

ZAEB+ZCEF=ZAEB+ZBAE=90°,

・•・NBAE=NCEF=/GAN,

■:NANG=NB=/EKF=90°,

：・4ABEQXEKF@4ANG(44S),

工AB=EK=AN=4,BE=KF=NG,

VFM1AD,GNA.AD,

:・GN〃FM,

:AGNHs^FMH,

：.GN：FM=GH：FH=3：1,

:.GN=FK=3FM,

：.KM=KF'+FM=4FM=4f

：.FM=1,

:.BE=KF=3；

(3)①当点尸在矩形ABC。内时，过点尸作于M,交8C于K,过点G作GNLAO于N,

：.NEKF=NANG=NB=90°,

；四边形ABC。是矩形，AB=4,

：.ZB=ZBAD=ZC=ZA£)C=90°,

四边形A8KM是矩形，

：.KM=AB=4,

♦.•四边形4EFG是正方形，

AZEAG=ZAEF=ZAGF=90°,AG=AE=EF,

：.ZGAN+ZDAE^ZBAE+ZDAE=90°,

ZAEB+ZCEF=^AEB+ZBAE=90°,

二ZBAE=NCEF=NGAN,

■:NANG=NB=NEKF=94°,

/\ABE^AEKF^/\ANG(AAS),

：.AB=EK=AN=4,BE=KF=NG,

设FM=x,则BE=KF=NG=4-x,

'：BC=a=S,

:.CK=8-BE-EK=8-(4-x)-4=x,

'JFM1.AD,

...NOMK=NC=NAOC=90°,

二四边形CCMK是矩形，

:.DM=CK=x,

：.DM=FM,

"：DF=2,

:.DM=FM=版,

：.BE=KF=NG=4-&,

"：FMLAD,,GNLAD,

：.GN//FM,

.♦.△GN，s△bMH,

：.GH：FH=GN：FM—4-V2—2^2-1:

V2

②当点尸在矩形ABC。外时，过点尸作产于M,交于K,过点G作GN_LAD于M

A/XABE^AEKF^/\ANG(A4S),

:.AB=EK=AN=4,BE=KF=NG,

设尸M=x,则8E=Kb=NG=4+x,

VBC=a=8,

：.CK=BE+EK-BC=4+x+4-8=x,

・・・/DMC=/CCK=NMOC=90°,

・・・四边形CDMK是矩形，

：.DM=CK=xf

:・DM=FM,

VDF=2,

:.DM=FM=®,

：.BE=KF=NG=4+版,

VFM1AD,,GNLAD,

:・GN〃FM,

:.AGNHs4FMH,

：.GH：FH=GN：FM=史亚=2&+l.

V2

综上，GH-.FH的值为2&-1或2&+1.

G.

图④

6.

【解答】(1)证明：如图1,过点/作FK_LCG于点K,

；4=ZAEF=/FKE=90。,

：.ZBAE+ZAEB=ZAEB+^LFEK=90°，

:.ZBAE=ZFEK,

AE=EF,

:.MBE=AEKF(AAS),

:.BE=FK,AB=EK=BC,

:.BE=CK9

1.CK=FK,

.\ZFC7C=45°;

(2)证明：DH//EF,AEVEF,

:.DH±AEf

ZHAE+ZDAE=ADAE+ZADH,

:.ZBAE=ZADH,

/DAH=NB=90。,AD=AB,

:.^ABE=ADAH(ASA),

：.AH=BE,

BH2+BE2=EH2,

AH?+BH?=HE?；

(3)解：如图3,作AO_LAM交BC延长线于点O,连接EM,

ZOAM=ZBAD=90°,

:.ZOAB=ZDAM，

ZABO=ZADM=9^°AB=AD,

:.MBO=^ADM(ASA)f

：.AO=AM，

NA所=90。，AE=EF,

.•.A位是等腰直角三角形，

.­.ZE4M=45°,

:.ZDAM+ZBAE=45°f

.\ZOAB^-ZBAE=45°,

/.ZOAE=ZMAEt

AO=AM，AE=AE，

:.\OAE=\MAE{SAS),

:.OE=EM,

由(2)知AABE二拉却7,

:.AH=BE,DH=AE,

AE=EF,

:.DH=EF,

DH//EF，

平行四边形"EFD，

：.DF=HE,

设A〃=8E=x,OE=EM=2+x,CM=x+\,

在RtACME中，EM2=CE2+CM2,

.-.(2+X)2=32+U+1)2,

解得x=3,

:.AH=BE=3,

HE=yjBH2+BE2=3五,

:.DF=HE=3y/2.

图1图3

7.

【解答】(1)证明：四边形OCHA是正方形，

.-.ZCBG=90°,CB=OC,

旋转正方形OCBA到正方形CDEF,

/.ZCDG=90°,CD=OC,

;.CD=BC,NCDG=/CBG=9Q。,NCD4=90。,

在RtACBG和RtACDG中，

jCG=CG

\CB=CD'

/.RtACBG=RtACDG(HL)；

(2)解：N〃CG=45。时，HG=BG+OH,

理由是：ZCOH=ZCDH=90°,

在RtACOH和RtACDH中，

jCH=CH

[CO=CD'

..RtACOH=RtACDH(HL)；

:.OH=HD,/OCH=ZDOH,

RtACBG3RtACDG,

:.BG=DG,ZBCG=ZDCG,

:.HG=HD+DG=BG+OH,AHCG=-ZOCB=1x90°=45°;

22

(3)解：在旋转过程中四边形岫。能为矩形,

四边形OCB4是正方形，3(6,6),

:.ZBAO=90°,AB=OA=6,

四边形隹或＞是矩形，

.-.DE=AB=6,BG=AG=3,

:.[X)=GE=AG=3,

设贝=

在用GA"中，由勾股定理得：AG2+AH'=HG2,

即(6-X)2+32=(3+X)2,

解得：x=2,

的坐标是(2,0).

8.

【解答】(1)解点O是正方形4JCQ对角线的交点,

二.AO3C是以BC为斜边的等腰直角三角形，

:.OB2+OC2=BC2.

AB=4,

;.BC=4,

OB=OC,BP2OB2=16

解得：OB=2＞72.

(2)证明：如图，延长OM交C£＞于点N,

M是(7£)的中点，

DM=CM.

四边形是正方形，

:.CD±BC.

OC'±BC,

:.OC'I/CD,

：.4OC'M=NNDM,

ZOMC=ZNMD,

在△OMC'和AMWD中，

40cM=4NDM

CM=CM

NOMC=NNMD

:.\OMC二^NMD(ASA),

:.OM=MN,

DCJLBC,

..CM=OM.

【解答】(1)解：在正方形A8c。中，A8=8,

:・A0=C0=0B=4近,

・・・5E=2&,

：.0E=2点,

VAC1BD,

/.ZCOE=90°,

C£=VOC2-H3E2=V(4V2)2+(2V2)2=，

由旋转得：CE=CF,ZECF=90°,

•♦.△CEF的面积=*CE2=*X(2V10)2=10；

(2)证明：如图2,过E作ENJ_4B于N,作EP_LBC于P,

•；EPLBC,FMLCD,

：.ZEPC=ZFMC=90°,

VZBCD=ZECF=90°,

・•・/PCE=/MCF,

■:CE=CF,

:.ACPEQACMF(A4S),

:.EP=FM,

VEP1BC,ENLAB,BE平分/ABC,

：.EP=EN,

:・EN=FM,

■:FM1CD,

:・NFMG=NENH=9U°,

・.・A3〃CD,

・•・/NHE=/MGF,

:ANHE必MGF(44S),

：・NH=MG,

：.BH+MG=BH+NH=BN,

・・・ABEN是等腰直角三角形，

:・BN=y~^BE,

2_

2_

(3)解：BH-MG=叵BE,理由是：

2

如图3,过七作EN_LA3于M交CG于尸,

〈EP-LBC,FMLCD,AB//CD,

J.EPLCD,

：.ZEPC=ZFMC=90°,

VZM