音乐中的数学之美市公开课金奖市赛课一等奖课件

音乐中数学之美第1页第1页目录音乐与数学结合起源乐理中数学规律

乐曲结构与黄金分割和声傅立叶分析

乐器中数学奥妙

第2页第2页音乐与数学结合起源

最早将音乐与数学联系起来研究要追溯至公元前六世纪毕达哥拉斯学派，他们用百分比把两者有机结合起来。

乐声协调与所联系整数之间有着密切关系，拨动一根弦发出声音取决于绷紧弦长度

协和音由长度与原弦长比为整数比弦给出被拨动弦每一个友好结合，都能表示为整数比，由增大成整数比弦长度，能够产生所有音阶。

第3页第3页音乐与数学结合起源CBAGFEDC2

.第4页第4页音乐与数学结合起源

五度相生律也是毕达哥拉斯首创，故又名毕达哥拉斯律

基础音：发音体整体振动产生最低音是基础音，是由一根弦或空气柱整体振动时产生泛音：以基础音为原则，其余1/2、1/3、1/4等各部分也是同时振动，是泛音。泛音组合决定了特定音色，并能使人明确地感到基音响度。乐器和自然界里所有音都有泛音。

第5页第5页音乐与数学结合起源

依据第一、二泛音间频率比为2：3关系进行音繁衍，以此为纯五度，进行一系列五度相生，从而得到调中诸音。

纯律取泛音列中第一、二泛音之间纯五度以及第三、四泛音间大三度这两种音程为繁衍新音要素，由频率比为4:5:6几种大三和弦拟定诸音高。第6页第6页

纯律实际应用及乐谱记载在六世纪由我国梁代丘明传谱《碣石调幽兰》。直至十六世纪我国在数学运算上有所突破，在算盘上用开两次平方和一次立方办法求出了十二次方根，这实际就是一百多年后由德国人沃克梅斯特提出十二平均律，其频率由等比数列通项公式

拟定，公比为1.05946，是2开12次方算数根。音乐与数学结合起源第7页第7页乐理中数学规律

音程转位

音程：两个音之间在音高上关系

单音程：八度以内音程

音程转位：将音程冠音和根音互相颠倒位置

第8页第8页乐理中数学规律

音程转位

对单音程而言，原音程及其转位音程度数之和为9。在音符方面，小于全音符诸音符由除法拟定，如二分音符为全音符，四分音符为全音符。

拍子是拍分组，如拍子是以全音符为1拍，每小节有3拍，即，而拍子可认为以全音符为一拍，每小节有6拍，即。

？？第9页第9页乐曲结构与黄金分割对称在数学上就是1:1，由上下句构成乐段，由起承转合四部分构成作品，由四个乐章构成交响曲，都表达了造型对称美

作曲黄金分割把线段L分成两段，使其中较长段x为全段与较短段（L-x）百分比中项，即满足等式L:x=x:（L-x）.x=0.618034…倍L

第10页第10页第11页第11页乐曲结构与黄金分割

巴托克顶峰之作《弦乐、打击乐与钢片琴音乐》

第12页第12页乐谱结构第13页第13页这部作品第三乐章89小节B34小节A21小节A34小节一21小节二13小节二8小节一13小节二21小节一13小节高潮55小节34：5513：2121：348：13黄金分割第14页第14页

8、13、21、34、55、89等小节数数字本身，则均含于黄金分割另一个形式——斐波那契数列（即1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144等，且从第三项起每项均为前两项之和）。这个数列前两项之比1:1反应对称关系，而自第三项起，每相邻两项之比如2:3、3:5、5:8、8:13等均近似反应黄金分割百分比关系，且愈往后准确度愈高。由此可认为，上述乐曲结构明显受斐波那契数列制约。第15页第15页和声傅立叶分析

一个音叉所发出声音，其图像就是一个正弦函数，如。任何乐声图像都是周期性图像，它有固定音高和频率。而傅立叶定理指出，任何一个周期函数都能够表示为三角级数形式，如任何一个周期函数都可表示为

其中频率最低一项为基本音，其余为泛音。由公式知，所有泛音频率都是基本音频率整数倍，称为基本音谐波。

第16页第16页和声傅立叶分析

依据傅立叶定理，每个乐音都能够分解成一次谐波与一系列整数倍频率谐波叠加。假设do频率是，那么它能够分解成频率为，，，，……谐波叠加，即；同理，高音do频率是，同样能够分解为频率为，，，，……谐波叠加，即。这两列谐波频率有二分之一是相同，因此do和高音do是最友好。第17页第17页傅立叶还发觉每种声音都有三种品质：与曲线频率相关与曲线振幅相关与周期函数形状相关音调音量音色第18页第18页乐器中数学奥妙能与某音发生共鸣空气柱长度为该音波波长、、1、2等倍。低音乐器发音低，声波长，因此要求共鸣箱有较大致积；高音乐器则反之，发音高，声波短，因此共鸣箱需较小体积。因为一件乐器能够发出多个乐音，因此又要求其形状复杂，以利于在各个不同方位上形成不同长度共鸣空气柱，适合于不同高度音响需要。如中央C音频率为261.63Hz，波长1.3米，波长是0.325米，为确保该音共鸣，则共鸣箱内空最少有一个方位为0.325米（或其2、4、8等倍数）。音越低，波长越大，跨越障碍本事也越强，再加上频率低，能量损耗小特点，决定了低音传远性。第19页第19页乐器中数学奥妙

乐器之王——钢琴键盘，其琴键音程正好与斐波那契数列相关。在钢琴键盘上，从一个C键到下一个C键就是音乐中一个八度音程，其中共包括13个键，分别是8个白键和5个黑键，而5个黑键分成2组，一组有2个黑键，一组有3个黑键。2、3、5、8、13正好就是斐波那契数列中前几种数。第20页第20页

音乐是心灵算术练习。

——莱布尼茨音乐是由数要求运动。

——奥古斯丁第21页第21页音乐中出现数学与数学中存在音乐并非偶然，而是音乐与数学融合一体完美表达。音乐能够抒发人们情感，