指数函数与对数函数及函数的应用（解析版）-2022届高三《新题速递数学》8月刊（江苏等新高考地区专用 适用于高考复习）

专题四指数函数与对数函数及函数的应用

第I卷(选择题)

一、单选题

—x?—2x+l,x40

1.已知/(x)=〈，则函数g(x)=/(x)—e-*的零点个数为()

-2x+l,x>0

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】

将函数的零点问题转化为函数y=/(x)与函数y=e-x的交点，画出函数图象，数形结合即可判断；

【详解】

解:函数g(x)=/(x)—eT的零点，即方程f(x)—eT=O的解，BPf(x)=e-x,即y=/(x)与y=的

交点的横坐标，

因为/(x)=4一一'一，在同一平面直角坐标系画出函数图象如下所示：

—2x+1,x>0

由函数图象可知y=/(x)与y=邛、有两个交点，故函数g(x)=—又2个零点

故选：B

2.近几个月某地区的口罩的月消耗量逐月增加，若第1月的口罩月消耗量增长率为彳，第2月的口罩月消

耗量增长率为巴，这两个月口罩月消耗量的月平均增长率为广，则以下关系正确的是()

2

A.r=rtr2B.r<rxr2C.2r=4+4D.lr<r}+r2

【答案】D

【分析】

求出片,与"的关系，再根据基本不等式判断.

【详解】

由题意(1+4)(1+与)=(1+「尸，尸+2厂=乙与+{+弓,

时，产=4芍，2r=(+与，

(工2时，4+4>2标，

l+r=J(l+Q(l+")<1+"1+A,2r<rt+r2,因此/〉彳与，

2

综上2r<(+弓，r>^r2.

故选：D.

3.下列区间中，函数y=ln(—f+2x)单调递增的区间是()

A.(0,1)B.(—1)C.(1,-K»)D.(1,2)

【答案】A

【分析】

首先求出函数的定义域，再根据复合函数的单调性判断可得：

【详解】

解：因为y=ln(-f+2x),

令r(x)=2x72>0,解得0<x<2,即函数的定义域为{x|0<x<2},fi.y=/加，

因为，")=2工-/在((),1)上单调递增，在(1,2)上单调递减，y=在定义域上单调递增，所以函数

y=ln(-x2+2x)的单调递增区间为(0,1)

故选：A

4.下列选项中，y可表示为8的函数是()

2

A.3W-x2=0B.丫=、万C.\ny=x2D.y2=2x

人—

【答案】C

【分析】

根据函数的定义逐一判断四个选项的正误即可得正确选项.

【详解】

对于选项A：令尤=0,没有y的值与之对应，不满足任何一个》的值都有唯•确定的）'与他对应，故选项

A错误，

对于选项B：令*=4,y可以取±8,不满足一个》只能对应一个y,故选项B错误，

对于选项C：y=e,，是一一对应的关系，符合函数的定义，故选项C正确，

对于选项D：对于y2=2x,x=2对应y=±2不满足一个X只能对应一个y,不是函数故选项D错误，

故选：C.

5.设〃x）=|2，-2|,a,beR+,且出b,则下列关系式中不可能成立的是（）

A.f（等）》（瓢）小吟B.以吟号）小加）

2a+ba-\-b2

C./（毛）子疝）＞/（4）D./（而）"（当灯（4）

a+b2a+b2

【答案】D

【分析】

由条件a力eR+,且出6分析出竺父,当•的大小关系，再讨论函数“X）的单调性即可逐一判断

2a+b

作答

【详解】

因a,/?eR+,且a'b,则有,•“+、〉J拓且一＜夜^,于是得竺也〉J京〉2a°、

2a+b-Jaba+b2a+b

函数/（x）=＜2则/（x）在（0,1］上递减，在［1,+oo）上递增，

2*-2,x＞l

当空21时，南于（"电）＞f厢）＞以辿）成立,A选项可能成立：

a+b2a+b

当0＜丝241时，有/（当■）＞/（疯）＞/（巴吆）成立，C选项可能成立；

2a+b2

由0<2*-2<1知l<x<log23,即空2取(1,log,3)某个数，存在0〈二吆<J茄<1,

2a+b

使得了(当)》1(空2)y(而)成立，如图，即B选项可能成立;

a+b2

对于D,由成立知，必有山/(■疝)》,("2)成立知，必有府<1,即出

a+b2

现矛盾，D选项不可能成立，

所以不可能成立的是D.

故选：D

6.下列各函数中，值域为(0,+8)的是()

A.),=39B.y=2%T

2

C.y=log2(x+2x+3)D.y=Jl+2”

【答案】B

【分析】

由士e(-oo,0)U(0,+8)得y=3强的值域可判断A；由一2x—leR得y=2-2*T的值域可判断B：由

x2+2x+3=(x+l)2+2N2得y=log2(x2+2x+3)的值域可判断C；

由1+2'>1得y=J1+2"的值域可判断D.

【详解】

因为贵.一00⑼U(O,+⑹，所以y=3士«0,l)U(l,+8)，

不满足条件，故A错误；

因为—2x—IGR，»=2-«0,+8),即函数的值域为(0,+e),

满足条件，故B正确;

X2+2X+3=(X+1)2+2>2.

因为y=log2(/+2x+3)的值域是不满足条件，故C错误；

所以1+2、＞1，；♦y=J1+2*〉1则函数的值域为(1，长°)，不满足条件，故D错误.

故选：B.

7.已知函数/(x)是定义在R上的奇函数，/(-x)-/(2+x)=0,当xe(O,l］时，/(x)=log2x,则

A.-3B.-1C.2D.3

【答案】D

【分析】

由函数f(x)是定义在R上的奇函数，结合/(一X)—〃2+x)=0,可得函数的周期为4,然后利用周期和

/(-X)-〃2+力=0及奇函数的性质，分别对等),化简，使其自变量在区间(0』］匕然后

代入解析式中求解即可

【详解】

解：因为函数“X)是定义在R上的奇函数，所以/(x)+.f(—x)=0,

因为/(一力一)(2+力=0,所以/(r)=/(2+x),

所以/(x)=-/(2+x),所以/(2+x)=-/(4+x),

所以/(x)=/(4+x),所以/(x)的周期为4,

所以f［若卜f〔2019+£)=f(4x504+3+介吗1/信卜一小)

因为当xe(O,l］时，/(x)=log2x,

所以《等卜唱TO叱

,1,1

Tog?5Tog?4

=log22+log24=3,

故选：D

8.已知a=lg6,b=203,c=log2V3,则下列不等式正确的是（）

A.c<b<aB.a<b<cC.a<c<bD.c<a<b

【答案】C

【分析】

结合对数函数和指数函数的性质找中间值比较大小即可.

【详解】

因为2°3>2°=1，所以b>l;

因为O=lgl<lg正<lgji6=；,所以0<a<g；

因为g=log?正〈logz^vlogz/ul，所以g<c<l,

所以a<c</?.

故选：C

9.某工厂产生的废气经过过滤后排放，若过滤过程中废气的污染物数量P（单位：mg/L）与时间/（单

位：h）之间的关系为「=4"°屿，其中4为过滤未开始时废气的污染物数量，则污染物减少50%大约需

要的时间为（）（In2Ho.69）

A.8hB.12hc.14hD.16h

【答案】C

【分析】

依题意可得尸=0.5蛤，根据指数、对数的关系计算可得；

【详解】

解：依题意当污染物减少50%时，尸=（1一50%）弓=0.54，

05

0.54=Poe-°',

.,.0.5=

-0.05r=In-=-In2»-0.69,解得fa13.8.

2

故污染物减少50%大约需要的时间为14h

故选：c.

10.下列函数中既是奇函数又是增函数的是()

A..y=x2B.y=x3C.y=2xD.y=lgx

【答案】B

【分析】

逐一分析四个选项的奇偶性和单调性即可得出答案.

【详解】

A选项，因为y=V是偶函数，同在(YQ,0)上递减，故A错误;

B选项，因为y=V是奇函数，在R上是增函数，故B正确；

C选项，因为y=2、是非奇非偶函数，故C错误；

D选项，因为函数y=lgx的定义域为(0,+力)，不关于原点对称，所以函数y=lgx不具有奇偶性，故D

错误.

故选：B.

4-1,X<1

11.已知函数=<2'，函数g(x)=/2(x)-4(x)+4>0对于任意xe(O,2)恒成立,

x-3x+4,x>1

则。的取值范围为()

【答案】A

【分析】

先求出5</(X)42,所以函数g(x)=r(x)—c/(x)+4>0对于任意xe(O,2)恒成立，转化为

/2(x)-/(x)+4>0=a</(x)+^^,然后求出/(x)+7吉

的最小值即可

【详解】

3

解：当0<xWl时，/(x)=2»T+l为增函数，则2°T+l</(x)42i+l,即,</(x)<2,

377

当1<%<2时，f(x)=x2,—3x+4=(x——)2+-,则［<f(x)<2,

3

综上;</(x)<2,

因为函数8(%)=.r(力一4(£)+4>0对于任意工€(0,2)恒成立,

所以。<一(可+4

7W恒成立,

4

因为/(幻42,所以f(x)+4,当且仅当/(x)即〃x)=2时取等

“X)

号,

所以/(犬)+)；)

的最小值为4,

所以。<4

故选：A

—x+6x—5,(0<x«5)

已知为定义在上的奇函数。当心>时，f(x)=<

12./(.x)H0(^)'-5-1,(X>5)设方程/(x)-m=0

有四个互不相等的实根，则实数，”的取值范围是()

A.[-1,0)U(0,1]B.(-1,1)

C.(-4,0)U(0,4)D.(-1,0)U(0,1)

【答案】D

【分析】

方程f(x)-根=0有4个互不相等的实根可得函数y=/(X)与直线y=相有4个交点，结合图像即可得出

结果.

【详解】

作出分段函数的图像，如图

方程〃X)-加=o有4个互不相等的实根，则函数y=/(X)与直线y=相有4个交点.

当机时，符合题意，但/(X)是R上的奇函数，有/(0)=0,故加。0，

所以m的取值范围是：me(-1,0)11(0,1).

故选：D

13.已知函数八》)是偶函数，当x>0时，/(》)=2*2-3x+lnx,则/(—1)=(

A.5B.1C.-1D.-3

【答案】C

【分析】

根据函数/U)是偶函数，由/(—D=/(l)求解.

【详解】

因为x>0时，f(x)-2x2-3x+InJC,

所以/•(—l)=/(l)=2x/-3xl+lnl=—l.

故选：C

2

14.已知函数/(》)=彳4(。>1),给出下列四个命题：

①〃力在定义域内是减函数；

②g(x)=/(x)-l是非奇非偶函数;

③力(6=〃6+〃1—月的图象关于直线工=1对称；

④F(%)=|/(x)-l|是偶函数且有唯一一个零点.

其中真命题有()

A.①③B.②③C.③④D.①④

【答案】D

【分析】

2

利用复合函数单调性的求法判断了(%)=—匚单调性，判断g(-x)+g(x)=O是否成立即可判断

g(x)的奇偶性，应用特殊值求出力(0)、网2),反证法判断图象是否关于直线x=l时称，利用

/(6=/(同—1|的性质即可确定零点的个数.

【详解】

22

函数/(力=1%(。〉1)可看成函数"="+1(4>1)与函数〉=一的复合函数，

2

①函数〃=优+1(。>1)在R上是增函数，函数>=£在(0,+?)卜一是减函数，故"X)在定义域内是减函

数，真命题：

9

②g(x)=/(x)T=-7^jT，且g(-x)+g(x)=0,故g(x)是奇函数,假命题；

③〃(0)=〃0)+/⑴=1+言,巧2)=〃2)+/(-1)=a+含,若力(0)=/?(2),则〃=1,假

命题；

2

④g(x)=/(x)—l是奇函数，则F(x)=|/(x)—】是偶函数，且当x>0时，F(X)=|/(X)-1|=1--7—^

在(0,+?)上是增函数，故/(x)>b(O)=O,函数有唯一一个零点0,真命题.

故选：D.

15.若直角坐标平面内A、8两点满足①点A、B都在函数/(X)的图像上；②点A、B关于原点对称，则

点(AB)是函数/(x)的一个“姊妹点对”.点对(AB)与(B,A)可看作是同一个“姊妹点对”，已知函数

x1+2x(x<0)

=<2

小。）,则/（x）的“姊妹点对”有（)

A.0个B.1个C.2个D.3个

【答案】C

【分析】

根据题意可知，“姊妹点对”满足两点：都在函数图像上，且关于坐标原点对称，作出函数y=f+2x（x<0）

2

的图像关于原点对称的图像，再作出函数y=京（彳20）,由图像可得结论

【详解】

解：根据题意可知，“姊妹点对”满足两点：都在函数图像匕且关于坐标原点对称.

2

可作出函数>=炉+2%（》<0）的图像关于原点对称的图像，看它与函数y=/（xNO）交点个数即可.如图

所示:

2

当户1时，0<—<1

观察图象可得：它们有2个交点.

二、多选题

16.下列函数在定义域内既是奇函数又是减函数的有（）

A.xx

八3B.f(x)=e~-e

C./(x)=ln-x+D./(x)

ex+l

【答案】BC

【分析】

根据基本初等函数函数的单调性与奇偶性判断可得；

【详解】

解：对于A：/(》)=：定义域为｛x|xwO｝的奇函数，函数在(-8,0)和(0,+。)上单调递减，故A错误;

对于B：/(x)=e-x-/定义域为R,且/'(—x)=“X),即—"为奇函数，又函

数y=e"与y=-"在定义域上单调递减，所以/(x)=e-*-e*在定义域上单调递减的奇函数,故B正确；

对于C：/(于=In(-x+J/+1)定义域为为R,且

/(-%)=Infx+7x2+l)=In-----1厂—=-\n(-x+ylx2+｝］=-f(x),故函数为奇函数，又

、-X+,yX*'+1/

"")=ln(x+777T)单调递减，故C正确：

x_i-x_IPX-\PX-1

对于D：f(x)=-p~^定义域为为R，f(-x｝=P-—-=~^=-/(x)，故函数/(x)=^~为奇函

e*+1ex+1e'+1ex+1

数，又y(x)=5二2=i+:L,函数y=e、+l在定义域上单调递增，函数y=4在(0,+“)上单调

ex+1er+1x

递增，所以/(x)=l+二一在定义域上单调递增，故D错误；

e+1

故选：BC

17.已知的定义域为R,其函数图象关于直线x=—3对称且/。+3)=/(》-3),当xe［(),引时，

/(x)=2、+2x71,则下列结论正确的是()

A./(x)为偶函数B./(x)在［-6,-3］上单调递减

C./(幻关于》=3对称D./(2021)=-7

【答案】ACD

【分析】

山/(x+3)=/(x-3)可得函数的周期性，再根据函数的对称性即可得到函数的奇偶性，根据函数在

XG［0,3］的函数解析式判断函数在［-6,-3］上的单调性，最后根据周期性与奇偶性求出/(2021)即可;

【详解】

解：对于A,因为/(x)的定义域为R,其函数图象关于直线x=-3对称

所以f(x—3)=/(r-3),X/(x+3)=/(x-3),所以f(x+3)=f(—x-3)

所以/设一3)+3]=/[—(%—3)—3],即“x)=/(-x),所以函数为偶函数，故A正确；

对于B：因为/(x+3)=/(x-3),所以〃(x+3)+3)=/((x+3)—3),即/(x+6)=/(x)所以函数是

周期为6的周期函数，当xe[-6,-3]时，x+6e[0,3],因为当XG[0,3]时，/(x)=2'+2%-11函数在

[0,3]上单调递增,所以当xe[—6,-3]时，f(x)=〃x+6)=2"+2(x+6)-11,函数在[-6,-3]上单

调递增，故B错误；

对于C：因为函数图象关于直线1=—3对称，所以/(x-3)=/(-x-3),又函数是偶函数，所以

/(x)=/(-x),即/(x_3)=/[-(x_3)]=/(3_x),/(-x-3)=/[-(-x-3)]=/(x+3),所以

/(x+3)=〃3—x),所以f(x)关于x=3对称，故C正确；

对于D：/(2021)=f(336x6+5)=/(5)=/(-5)=/(-5+6)=/(1),又xe[0,3]时，

f(x)=2x+2x-H,所以/(2021)=/⑴=21+2x1-11=-7,故D正确；

故选：ACD

ln(x+l),x>0

18.己知函数/(x)={2c,八，其中实数aeR，则下列关于X的方程

x-2ax+l,x<0

尸(力一(1+可/(力+。=0的实数根的情况，说法正确的有()

A.。取任意实数时，方程最多有4个根B.当土亚<a<±^时,方程有3个根

22

C.当。=土@时，方程有3个根D.当时，方程有4个根

2

【答案】ACD

【分析】

先化简方程为/(x)=1或/(x)=。，再对。进行分类讨论，结合图象来确定M=1和/(%)=a分别有几

个根，根据结果对选项逐一判断即可.

【详解】

关于X的方程f2(x)-(l+a>f(x)+a=o.

即"㈤-1]"。)一。]=0,解得/(x)=1或f(x)=a,

ln(x+l),x..O

函数/(力=

x2-2ar+l,x<0

当x..O时，〃x)=ln(x+l)单调递增,

当x＜0时，f(x)=x2-2ax+l=(x-ay+\-a2,

对称轴为x=。，判别式△=4(。+1)3-1).

(1)当a.O时，函数f(x)的图象如下:

由图象可知,方程/(x)=l有1个根,

当。＞1时，方程/(幻=。有2个根，

当畸人1时，方程/(幻=。有1个根,

故当时，已知方程有3个根,肖Q,。＜1时,已知方程有2个根,当a=l时,已知方程有1个根;

(2)当。=一1时，函数/(x)的图象如下：

当一1<。<0时，函数/（X）的图象如下:

由两个图象可知，-L,“<0时，方程/（x）=l有2个根，方程/（尤）=。没有根,

故已知方程有2个根：

（3）当a<—1时，函数/（X）的图象如下：

方程/(x)=l有2个根，下面讨论最小值1-/与。的关系，由1一/＜。，解得,

2

当.＜二1二好时，1—/＜。，直线y=a如图①，方程/(x)=a有2个根，

2

故已知方程有4个根；

当。=土且时，1一片=。，直线y=a如图②，方程/(x)=a有1个根，

2

故已知方程有3个根；

当土@＜.＜一1时，1一片＞。，直线y=a如图③，方程/(x)=a没有根，

2

故己知方程有2个根.

综上可知，a取任意值时，方程最多有.4个根，故选项A正确；

当土叵＜4＜1时，方程有2个根，当。=1时，方程有1个根，当时，方程有3个根，故选项5错

2

误；

当,=正时,方程有3个根，故选项C正确；

2

当%-5〈上叵时，方程有4个根，故选项。正确.

2

故选：ACD.

【点睛】

方法点睛：解决函数零点或方程根的问题，常用的方法有：

(1)方程法(直接解方程得到函数的零点)；(2)图象法(直接画出函数的图象分析得解)；(3)方程+图

象法(令函数为零，再重新构造两个函数，数形结合分析得解).

19.关于已知函数〃x)=x(高片-1],则下列结论正确的是()

A./(x)的图像关于原点对称B.f(x)在(-8,0)上单调递增

C./(X)在(0,+8)上单调递增D.“X)的值域为(-8,0]

【答案】BD

【分析】

根据奇偶性定义判断A,根据单调性定义判断C,由对称性判断B,再由单调性判断D.

【详解】

函数/(幻=1一二一］定义域为R，

e'+l

l-e'l-e-Jex-l

fix)='/.f(-x)=(-x)f(x),

e,+lerl

故函数/(X)为偶函数，其图像关于y轴对称，所以A错误；

22

当x>0时，y=------1<0,且丁=-------1在(0,+°o)单减，

e+1e'+1

2?r2、r2

设0<玉<苫2，则0>T——1>-----1.所以X||『二一1—7一--1

一e*+le*?+l\eX|+1)一(3+1

故/(x)=J-T—1］在(。,+8)单减，故C错误；

又由/'(x)的图像关于y轴对称,故JU)在(-8,0)上单增，所以B正确；

结合/(x)的单调性可知，f(x)?/(0)0,故/(幻的值域为(一8,0］,所以D正确.

故选：BD.

20.地震震级根据地震仪记录的地震波振幅来测定，一般采用里氏震级标准.里氏震级的计算公式为

A

M=lg午(其中常数4是距震中100公里处接收到的0级地震的地震波的最大振幅，是指我们关

注的这次地震在距震中100公里处接收到的地震波的最大振幅).地震的能量E(单位：焦耳)是指当地震

发生时、以地震波的形式放出的能量.已知E=1043x1()1.5"，其中M为地震震级.下列说法正确的是().

A.若地震震级M增加1级，则最大振幅4rax增加到原来的10倍

B.若地震震级M增加1级，则放出的能量E增加到原来的10倍

C.若最大振幅Au,增加到原来的100倍，则放出的能量E也增加到原来的100倍

D.若最大振幅A1rax增加到原来的100倍，则放出的能量E增加到原来的1000倍

【答案】AD

【分析】

利用度指数、对数的运算性质逐一判断即可得出选项.

【详解】

因为V'=M+l=lg4+l=lg等a=lg勺，所以4”=10Alax，故A正确；

A)A)A)

因为E'=IO*'xl()L5(M+l)=104隈101.5"+1,5=]o4.8xl01.5Mxl()L5=I。”后,所以B错误;

因为M'=lg坦'_=2+电媪.=2+加

4815(M+2)48，所以错误,

4A)E'=10xl0=10x1015M+3=10.3EC

D正确.

故选：AD

21.己知定义在R上的函数〃x)>0,满足〃x>〃x+2)=4,KVxe[-l,l],/(x)-/(-x)=4,

当TWx<0时，〃％)=2-"+左(％为常数)，关于％的方程“X)-loga(x+l)=l(a<8且GH1)有且

只有3个不同的根，则()

A.函数/(x)的周期T=2B./(x)在[-1』单调递减

C./(x)的图象关于直线x=l对称D.实数。的取值范围是伍,2近)

【答案】BCD

【分析】

根据函数基本性质，逐项分析判断即可得解.

【详解】

由/(x>.f(x+2)=4知/(x-2)・/(x)=4,

所以/(x+2)=/(x-2),周期丁=4,A错误；

取x=0,得〃0)\f(0)=4,由/(尤)>0得((0)=2,又/(O)=l+h得3=1,

所以当TWxWO时，,f(x)=2-'+l是个减函数，

当0<xWl时，―14—x<(),/(-x)=2x+l,

44

不有是个减函数，-</(x)<2；

可知"X)在[-⑶单调递减，B正确；

当％£0,3]时,%—2G[—1,1],—x+2G[—1,1],得/(x—2),/(—%+2)=4,

44

/(x)./(-%)4,

/(x-2)/(-x+2)

所以在区间［T,3］上,/(x)-/(-%)=4,

又/(x)-〃x+2)=4,得/(—x)=〃x+2),

即的图象关于直线41对称，

由周期性可知/(%)在R上的图象关于直线x=l对称，故C正确；

由题意知〉=/(力一1与8(力=1%(》+1)(。<8且。")有且只有3个公共点,

考查函数y=/(x)T,有极大值点％=3,7,11,

极小值点X=l,5,9,…，极大值为2,极小值为

3

g(x)为减函数时不合题意，所以g(x)为增函数，

“口小1cIn2In21

*a<8lfg(l)=loga2=—>—=-

由题意知g(3)<2且g(7)>2,

即log〃4<2旦log“8>2,所以2<a<2j5，D正确.

故选：BCD

22.下列函数/(x),g(x)表示相同函数的是()

v

A./(x)=2,^(x)=log2XB.f(x)=|x|,g(x)=V?

c.y=x,y=^D..f(x)=21gx,g(x)=lg(2x)

【答案】BC

【分析】

根据相等函数的定义判断即可；

【详解】

解：对于A；/(x)=2-g(x)=log2尤显然不是相等函数，故A错误；

对于B：/(x)=W定义域为R,目.8(》)=47=可定义域也为/?,且函数解析式一致，故是相等函数,

故B正确;

对于C:因为y=#7=x，所以y=X与y=#7是同一函数，故C正确；

对于D：f(x)=21gx=lgx2与g(x)=lg(2x)显然不是相等函数，故D错误；

故选：BC

23.已知函数y=/(%)为奇函数，且对定义域内的任意x都有/(1+x)=-/(1-x).当xe(1,2)时，

/(x)=l-log2x,则下列结论正确的是()

A.函数y=/(X)的图象关于点(女0)(斤wZ)成中心对称

B.函数y=|〃x)|是以1为周期的周期函数

C.当xe(O,l)时，/(x)=log2(2-x)-l

D.函数y=/(区)在化女+1)化eZ)上单调递减

【答案】AC

【分析】

首先根据对称性的定义，判断函数的对称性，并判断函数的周期，结合函数的图象判断选项B,利用对称性

求函数在X€((),l)时，求函数的解析式，以及利用偶函数的性质判断D选项.

【详解】

对定义域内的任意%都有/(1+幻=一/(1一x)，则函数〃幻关于点(1，0)对称，

又因为函数/(x)为奇函数，所以图像关于原点(0,0)对称，所以一=

即/(x+l)=/(x—1),所以函数/(x)的周期为2,

综上可知函数)=/(x)的图象关于点(&,0)(AwZ)成中心对称，故A正确；

根据以上性质，结合条件，画出函数y=|/(x)|的图象，

由图象可知函数y=|/(x)|的周期为2,故B不正确；

当时,2r«1,2),因为函数关于点(1,0)对称,

所以〃x)=_/(2_x)=_[l_log2(2_x)]=log2(2_x)_l,故C正确；

函数丁=/(|刀|)是偶函数，偶函数的图象关于>轴对称，对称区间函数的单调性相反,

由条件可知xe(1,2)时，函数〃x)=l-log2X是单调递减函数，

那么当无w(—2,—1"寸，函数单调递增，故D不成立.

故选：AC.

24.若4*-4,<5-,-57,则()

A.B.yT>/c.lg(y-x)>0D.<3一

【答案】AD

【分析】

A.根据已知条件先分析函数=-57的单调性，然后比较出的大小；

B.取x=-2,y=-l进行判断即可；

C.取y=l,x=0进行判断即可；

D.根据指数函数y=的单调性以及X，y的大小关系进行判断.

【详解】

A.设/(x)=4'-57,

因为甲一4><5-*-5T可化为4'一5r<4V—5一，，则<f(y)，

根据指数函数的性质，可得y=4、单调递增，y=5-*单调递减，

因此/(x)=4'—5r在R匕单调递增，所以为<丁,故正确；

1

3此时尸3<r3,故错误;

B.由A项得％<y,当x=—2,y=-l时，(-1)-=-1,(一2)-38-

C.由A项得尤＜y,当y=l,x=o时，lg(y—x)=0,故错误:

D.因为y=3T=(；)在R上是减函数，由尤<丁，可得(g)〉(g)，即故正确；

故选：AD.

第n卷(非选择题)

三、填空题

25.2004年12月26日，印尼发生强烈地震，继而引发海啸，印尼地震监测机构最初公布的报告称，这次

地震的震级为里氏6.8级，但美国地质勘探局测定的地震震级为里氏8.9级，已知里氏震级R与地震释放的

2

能量E的关系为R=§(lgE-1L4),那么里氏8.9级的地震释放的能量大约是里氏6.8级地震释放的能量

的倍.(精确到01)

【答案】1412.5

【分析】

把给定的两个震级分别代入公式，列出各自释放的能量表达式，两者相比计算即得.

【详解】

由R=g(lg£—11.4)得E=IO9+U4,

3

于是得里氏6.8级地震释放的能量g=,

3

得里氏8.9级地震释放的能量E,=10丁9+必，

-X8.9+11.4

从而有------=1()315al412.5,

骂]0产8+必

所以里氏8.9级的地震释放的能量大约是里氏6.8级地震释放的能量的1412.5倍.

故答案为：1412.5

26.函数/(x)的定义域为£>,若对任意的ae。，存在唯一的〃e。，使得/(。)+/3)=4,则称f(x)在

1Vc2L

。上的“特征”为4,给出下列函数：(1)f(x)=\nxf%£[_,/]；(2)f(x)=x-l,xe[-l,V6]；(3)

e

/(x)=—=,x<l;(4)/(x)=x2-e\其中“特征”为4的函数的序号是_______.

x-1

【答案】(1)

【分析】

根据给定条件对4个函数逐一分析判断即可作答.

【详解】

对于(1),Vaep,/］,-l<ln</<5,则/⑼=4一/(。),-<b<e5,而f(x)在［1"5］单调，

eee

即/3)在di］上的“特征”为4,⑴符合；

e

对于(2),因/(6)+/(1)=/•(逐)+/(—1)=4,即。=石€［—1,#］,存在b=l或8=-1使得

/'⑷+/(0)=4成立,即■值不唯(2)不符合;

(X1)+1

对于(3),x<l时，/(x)=-<=l+-L-<l,即7。”€(^』),/(。)+/(份<2,(3)不符合；

对于(4),显然/*)=X2.，20恒成立，/(2)+f(h)=4e2+f(b)>4e2>4,即a=2时使等式成立的6

值不存在，(4)不符合，

所以“特征”为4的函数的序号是(1)

故答案为：(1)

27.若函数/(x)=log/6-ax)在［0,2］上为减函数，则。取值范围是.

【答案】(1,3)

【分析】

令y=log"”,a>0旦,〃=6—依，由y=log“〃是增函数且〃>0恒成立，列出关于。的不等式

组并解之即可.

【详解】

令y=log«〃，。>0且。。1,u-6-ax，

因为函数/'(外=108”(6-依)在［0,2］上是减函数且〃=6-办在［0,2］上是减函数，

所以y=log«“是增函数旦〃〉0恒成立，

a>l/、

即c八，解之得。的取值范围是(1,3).

6-2a>0

故答案为：(1,3).

28.指数函数y="(">(),QH1)的图像经过点(2,9),则该指数函数的表达式为.

【答案】y=3'

【分析】

根据指数函数y="图象过点（2,9），代入解得。的值.

【详解】

解：指数函数y="（a>0口一aHl）的图象经过点（2,9）,

所以9=a2,解得。=3,

所以该指数函数的表达式为y=3'.

故答案为：y=31

2V-2

29.函数y=~^的值域为.

■T+1

【答案】（—2,1）

【分析】

2*-23

将）=-_±变形为y=1—---,然后利用观察法求解即可

,2,+12+]

【详解】

2'+1）—33

脩春」------/—=1——.

2V+12'+1

因为2%>0,所以2'+1>1，

13

所以0<------<1,则—3<—―<0,

2*+12V+1

3

所以一2<1-——<1,即一2<y<l,

2V+1

所以函数的值域为（-2,1）

'+X+1-],

30.已知函数/（x）=<x2',g^x）=axr+2x+a+\,若对任意的占wR,总存在实数

log2（2x+6）,x>-l

七£曲+8），使得〃N）=g«）成立，则实数〃的取值范围为.

【答案】0,1

_4_

【分析】

求出函数/Xx)的值域，结合对任意的玉eR,总存在实数+8),使得/(x)=g(X2)成立，转化

为f(x)的值域是函数g(x)值域的子集即可.

【详解】

设函数/(x)、g(x)的值域分别为集合A、B,

1(\1>27r7A

当xv-l时，——+_+-G-,2

x1尤2/44,

当xN-l时，/W>2,所以A=

因为对任意的王€农，总存在实数々€[0，田)，使得了(%)=g(%2)成立，

所以应有AuB,

故当。<0显然不合要求.

当a=0时,在[0,+<»)上g(x)=2x+1e[1,+o。)符合要求.

(11

当々>0时，g(x)=〃%+—+a+l—在[0,+8)上递增，

、a,a

73(3-

所以g(x)€[a+l,+oo),+所以有ae[o,

4.1

'3'

综上，aG0,—.

_4_

-3-

故答案为：o,—

_4_

31.已知/是函数/(x)=lgx+x—4的零点，且毛€(匕左+1),keZ,则％=__________.

【答案】3

【分析】

根据函数单调性，以及零点存在性定理，判断函数零点所在区间再结合题中条件，即可得出结果.

【详解】

因为函数〃X)=lgx+x-4显然是单调递增函数,

又/(3)=lg3+3—4=lg3—1<0,所以/(4)=lg4+4—4=lg4>0,

根