正弦、余弦定理解三角形（典型例题+跟踪训练）【解答题抢分】2023年高考数学（新高考通用）解析版

【解答题抢分专题】备战2023年高考数学解答题典型例题+跟踪训练（新高考通用）

专题01正弦、余弦定理解三角形

目录一览

一、梳理必备知识

二、基础知识过关

三、典型例题讲解

四、解题技巧实战

五、跟踪训练达标

六、高考真题衔接

一、梳理必备知识

1.正弦定理

上=上='=2火.（其中R为A48C外接圆的半径）

sinAsinBsinC

<=>tz=27?sinJ,6=27?sin5,c=27?sinC;（边化角）

<=>sinsinB=sinC=—;（角化边）

2R2R2R

用法：

⑴已知三角形两角和任一边，求其它元素；

⑵已知三角形两边和其中一边的对角，求其它元素.

2.余弦定理:

从+。2-/

cosA=

2bca2=b2+c2-2bccosA,

cos5==><b2=a2+c2-2accos5,

2ac

c2=/+/72-labcosC.

a2^b2-c2

cosC=

2ah

用法：

⑴已知三角形两边及其夹角，求其它元素；

⑵已知三角形三边，求其它元素.

3.三角形面积公式：

SMBC-absinC^-bcsinA=-acsinB=-(a+b+c)r(r•为三角形ABC的内切圆半径)

2222

4•三角形内角和定理：

在△Z8C中，有4+8+。=%=。=%一(/+8)="|=(—^1^=2。=2乃一2(4+8).

【常用结论】

①在\ABC中，。>b=sin/>sin5o/>5;

②sin2/=sinIB,则N=+B=-.

2

③在三角手数中，sinZ>sin6o/>6不成立。但在三曲形中，sin/>sin6o/>6成立

二、基础知识过关

一、判断题

1.在“18C中，若/:8:C=1:2:3,则a:6:c=1:2:3.()

【答案】错误

【分析】通过内角和180。和三角的比例关系可求出三角，再结合正弦定理得到边的比例关系

【详解】解：在“8C中，/:8:C=1:2:3,由三角形内角和为180。知力=30。，8=60。，C=90。，

由正弦定理得a:6:c=sin/:sin8:sinC=sin300:sin60°:sin90°=1:6:2,

故答案为：错误

2.在A/8C中，a>bA>B<=>sinA>sinB.()

【答案】正确

【分析】利用三角形中大边对大角和正弦定理判断即可.

【详解】当a>b时，由大边对大角，得4>B,

当4>6时，由大角对大边，得a>b,

所以由正弦定理得sin/>sin8,反之也成立，

所以在“8C中，a>h<^>A>B<=>sinA>sinB

故答案为：正确.

3.在中，若(a+c)("c)=b(6+c),则44=60"()

【答案】错误

【分析】利用余弦定理可求得cosNN的值，结合角A的取值范围可求得角A的大小.

【详解】••,(a+c)("c)=b(b+c),贝=从+左，:.b2+c2-a2=-bc,

由余弦定理可得cos4=

2bc2

Q0"<ZA<180°>所以，4=120°.

故答案为：错误.

4.在A/8C中，若则此三角形是锐角三角形；()

【答案】错误

【分析】由余弦定理可判断各自正误.

,222

【详解】在“8C中，若〃+/>/,只能说明cos/=°+'一。>0,A是锐角，其他两角是不是锐角不

2bc

确定，错误；

二、单选题

5.在△ZBC中，4=],BC=6,AB=2巫,则。二()

兀c兀一兀一兀T3兀

A.-B.-C.一D.一或一

64344

【答案】B

【分析】利用正弦定理求得sinC,进而求得C

【详解】由正弦定理得号

sinJ

出厂

.62逐,TX276a

所以耳=/^MnC=F-=3由于所以0为锐角,所以

故选：B

6.在448c中，a,b,c分别是角4B,C的对边，a=Rb=6,B=",那么4=()

37r7T3兀_也兀7T

A.—B.-C.一或一D.-

44443

【答案】B

【分析】利用正弦定理可求出sin4,再结合大边对大角即可得解.

【详解】因为a=6,b=百,B=g

由正弦定理’)=—勺，可得sin,4-asin8_asm3-立，

smAsinBsma一人-百一1

又因为所以故0<4<々，所以/=9.

34

故选：B.

TT

7.在J8C中，内角4民。的对边分别为a/,c,若。=3,6=4,4=§,则a=()

A.V13B.25/3C.5D.6

【答案】A

【分析】根据余弦定理计算直接得出结果.

【详解】由余弦定理可得/=/+，-2bccosZ=13,所以a=JTJ.

故选：A.

8.在A/BC中，a,b,c分别为内角/,B,C的对边，若/-/=次。，sinC=26'sin8,则A等于()

5兀「2兀C兀c兀

A.—B.—C.一D.-

6336

【答案】D

【分析】根据正弦定理把sinC=26sin8化为c=2忌，再结合余弦定理求角即可

【详解】：sinC=2A/isin5,，c=2Gb,结合/=/c即可求得〃=闻.

由余弦定理可得cos/=卓.又•・•/e(0,兀)，.♦.4=£.

2bc2x6x2/26

故选：D

三、填空题

9.在“8C中，=15)B=45,AB=-^6>贝!I4C=.

【答案】2

【分析】根据题意由正弦定理可得答案.

【详解】C=180o-15°-45o=120°,

由正弦定理得名=/[,即&—=解得/C=2.

sinCsinBsin1200sin45°

故答案为：2

10.在“8C中，/8=2,。为的中点，若BC=DC=6,则/C的长为.

【答案】2

【分析】根据给定条件，在中利用余弦定理求解作答.

【详解】在ABC。中，BC=DC=yfi，BD=；AB=1,由余弦定理得：

„BC2+BD2-CD22+1-20

COSD-----------------------=-----7=---=----9

2BC-BD2xV2xl4

在"8C中，由余弦定理得：AC2=AB2+BC2-2AB-BCcosB=4+2-2x2x/2=4,解得NC=2,

4

所以NC的长为2.

故答案为：2

四、解题技巧实战

1.（云南省文山州砚山县第三高级中学2022-2023学年高二下学期2月月考数学试题）锐角中，内角

A,B,C（角A为锐角）所对的边分别为6,c,若6=2asinB.

（1）求A的大小；

【答案】⑴/4

【分析】（1）由正弦定理可推得sin/=；,根据锐角三角形中角A的范围求出结果.

【详解】（1）解：由6=2asin8以及正弦定理可得，sin8=2sin/sin8.又sinBW0,所以sin4二1.

2

因为0</<?所以

26

2.（江苏省南通市崇川区等5地2023届高三下学期3月高考适应性考试（一）数学试题）在△ZSC中，角

A,B,C的对边分别是a,b,c,已知b=4,且6cosc+！。=a.

2

⑴求B；

【答案M呜

【分析】（1）利用正弦定理边化角以及三角恒等变换公式求解；

【详解】（1）方法一：,.，bcosC+；c=a,1.sin5cosc+gsinC=sirt4=sin（B+C）,

所以sin^cosC+—sinC=sin5cosc+cosBsinC,

2

所以;sinC=sinCcos5,*/Ce（0,7r）,.\sinC>0,.\cosB=g,

jr

•・•G（0,7l）,.\B=q.

方法二：在“8。中，由正弦定理得：sinBcosC+^-sinC=sinJ=sin（S+C）,

所以sin8cosc+；sinC=sin8cosC+cos8sinC,所以gsinC=cosfisinC.

1jr

因为Ce（0,7t）,所以sinCwO,所以cos8=],因为8e（O,兀）,5=§.

3.（江苏省苏州市2022-2023学年高三上学期期末学业质量阳光指标调研数学试题）记ABC的内角4B,

C的对边分别为a,b,c,已知6+缶cos8=2，c=JL

⑴求出

【答案】（1）：;

4

【分析】（1）根据给定条件，利用余弦定理求得〃+2-/=2b,再利用余弦定理求解作答.

22

【详解】（1）在“8。中，由b+6acosB=2,c=6得:accosB=2-b,由余弦定理得/+c-h=2accosB,

即/+2-〃=4-26,整理得〃+2-/=26,由余弦定理得cosN=,

2bc

,b2+2-a22b&*，仆、

cosA=----i==—尸一二—9而Z£（0,兀），

26b2型2

所以力二%

4

五、跟踪训练达标

一、解答题

1.（陕西省榆林市神木中学2020-2021学年高二下学期第二次月考文科数学试题）在“8C中，。、b、c分

别是内角A、B、C的对边，a=4\Q，b=6,cosA=--j.

⑴求c的值；

【答案】（l）c=2

【分析】（1）根据题意和余弦定理计算即可求解；

【详解】（1）由余弦定理知/=〃+。2-⑦。（;。$/,即48=36+c2-2x6xcx（-g）,

整理得《2+4c-12=0,解得c=2或c=-6（舍负），故c=2.

2.（江西省金溪县第一中学2023届高三一轮复习验收考试数学（理）试题）已知在非钝角“IBC中，角48,。

所对的边分别为。也gc=〃[cos5+gsin8].

(1)求sirM；

【答案】（1）sirt4=

【分析】（1）利用正弦定理边化角以及两角和的正弦公式化简c=a（cos8+gsin8）,可得cos/=；sin/1,结

合同角的三角函数关系，即可求得答案.

【详解1(1)由c=cos8+；sinBj及正弦定理得sinC=sin(4+8)=sin/1cosB+gsin4

整理得cosZsinS=—sirt4sin5

2

因为0<B<—,sin^w0,所以cosZ=」sirL<，l-sin?Z,

2245

因为在锐角△48C中,0“45，sinj}o,所以sinJ=2^.

3.（山西省晋中市2023届二模数学试题（B卷））△力BC的内角48,C的对边分别为a,b,c,其中6=3五,

且满足也£bsxnB

sinA

（1）求△/8C的外接圆半径；

【答案】⑴指

【分析】（1）根据正弦定理及余弦定理求出角，再由正弦定理得解;

・、生初、/csinCbsinB

【详解】（D=7-，=不不-。'

由正弦定理，得则不+c-C,即COS人

cn一b_3叵一工

因为0<8<兀，所以8=2，设AABC的外接圆半径为R,由正弦定理知"”一金万"近一4°

2

所以AABC的外接圆半径为几.

4.（江苏省如东一中、宿迁一中、徐州中学三校2022-2023学年高一下学期3月联考数学试题）在“8C中,

7

内角48,C所对的边分别为a,b,c.已知cosC=-,3>b=4a.

8

(1)求cosB的值;

【答案】（1）-；

【分析】（1）利用两次余弦定理即可.

【详解】（1）在“8C中，38=4〃

^h)2+b2-c2

a2+b2-c271

又因为cosC=解得c=

2ab2x-b-b82

4

22-^2口+弓~D1

由余弦定理可得cosB=a+：cb=_4_备_=_

lac2，_4

42

5.（河南省开封高级中学2022・2023学年高三下学期核心模拟卷（中）理科数学（四）试题）记的内

角4,B,C的对边分别为。也c,已知6公泊3-及05。=8054匕=指,6为bABC的重心.

⑴若”2,求。的长；

【答案】（l）c=2土&

【分析】（1）根据正弦定理边角互化，结合三角恒等变换得siM=正，进而得cos/="，再根据余弦定

33

理解方程即可得答案；

【详解】（1）因为-acosC=ccosA，

所以，V3sirL4siii8-sinAcosC=sinCcosA,

所以，VJsin/sinB=sinJcosC+sinCcosA=sin（/+C）=sin8

因为8e（O,兀）,sinSwO,所以sin/l=¥，

因为a=2<b=巫,所以.《。，彳）,cosA=^~，

因为cos"=£与二三=丘==*,整理得C2_4C+2=0,解得C=2士&，所以c=2土收

2bc246c3

6.（广东省深圳市2023届高三第一次调研数学试题）记A/8C的内角48,C的对边分别为a,b,c,已知

b+c=2asin^C+-^-J.

⑴求A；

【答案】（1）4=方

【分析】（1）由"c=2asin（c+t）可得小二戊^©…/由正弦定理及辅助公式得"力4度,即可

求得答案；

【详解】（1）解：由己知得，b+c=VJasinC+t/cosC，

由正弦定理可得，sin8+sinC=QsinJsinC4-sinJcosC>

因为Z+8+C=7i,所以sin8=sin（4+C）=sin?lcosC+cos4sinC,

代入上式，整理得cosAsinC+sinC=#sin力sinC，

又因为Ce（0,7t）,sinC*O,所以6sin/-cosX=1,即

又因为八（0,兀），所以_/</"<^，所以八江3解得/=?

666663

7.（湖南省部分市2023届高三下学期3月大联考数学试题）已知。6。的内角A、B、。所对的边分别为。、

b、c,acos（5-C）=2VScsiiiS-a^cos^.

（1）求角A；

【答案】⑴。

【分析】（1）利用和差角的余弦公式得到〃sinBsinC=V5csin氏os4,再由正弦定理将边化角，即可求出tag,

从而得解；

【详解】（1）解：因为acos（5-C）=bVJcsin5-，coJ,

可得acos（3-。）+acos4=20csinScoS,

贝（j“cos（5—C）一tzcos（B+C）=2y[3cs\nBcosA,

所以acosBcosC+asin8sinC-。（?os5cosC-sinSsinC）=2&sinScosZ,

即tzsin^sinC=VJcsin8cos4,由正弦定理得sin力sin^sinC=>/5sinCsin^cosZ，

显然sinC>0,sinS>0,所以sin<=6cos力，所以tarM=\/J,因为人£（0,兀），所以，=：.

8.（河北省石家庄市2023届高三质量检测（一）数学试题）的内角4民。的对边长分别为。力,。，

、na+bsinC+sinB

设----=-----------

c-bsinJ

⑴求C;

（2）若（道+l）a+26=，求sin4.

【答案】⑴与

【分析】（1）利用正弦定理边角互化结合余弦定理求解即可；

222

【详解】（D根据题意，由正弦定理可得笔=2，^c=a+b+ab,

c-ba

所以根据余弦定理cosC=i+bi=」■及“BC中Ce（0,兀）可得C=岁.

lab23

9.（江苏省南京市、盐城市2023届高三上学期期末调研反馈数学练习题）记》3C的内角4B,C的对边

分别为a,b,c,已知sin4sin（C-3）+sin2C=sin8sin（4-C）.

(1)证明：a2+b2=3c2?

【答案】(1)证明见详解

【分析】(D先利用两角差的正弦公式展开，再利用正弦定理，将所给的条件角化边，最后利用余弦定理

即可证明；

【详解】(1)由sin"sin(C-8)+sin2C=sin8sin(/-C)可得，

再由正弦定理可得，

accosB-abcosC+c2=ahcosC-hecosA,

即accosB-2abcosC+c2+hecos4=0,

根据余弦定理可知，

+c2-b2^-^a2+h2-c-^+c2+^(b2+c2-a2>j=0,

化简得：a2+b2=3c2,故原等式成立.

10.(辽宁省名校联盟2022-2023学年高二下学期3月联合考试数学试题)记J8C的内角4民。的对边分

别为a,b,c,已知.

在①bsin2/=4asiMcos2g；②si/B-sinZ=sia4sinC这两个条件中任取一个，补充在上面问题中，并解

答下面问题.

7T

(1)若C=§,求A；

注：如果选择不同的条件分别解答，按第一个解答计分.

兀

【答案】(1)4=与2

【分析】(1)若选择①利用二倍角公式结合正弦定理化简即可；若选择②利用正余弦定理即可.

【详解】(1)若选择①，

I..BAA.41+COSfi

由匕sin2Z=4QSIIL4COS—,得2bs\nAcosA=4QSIIL4X-------------

22

因为sin/lwO,所以bcos/1=a(l+cos3),

由正弦定理得sin8cos4=sinA（1+cos8）,贝!|sin5coJ—sin4cos8=siM,即sin（5-y4）=sia4,

所以-/或…+公（舍）,则53又Cg所以—4号,即3/号,故，哼.

若选择②,

由条件及正弦定理得"-标=ac,

由余弦定理得人=〃2+/_2accQsB9所以ac=/-2accosB,则a=c-2acosB,

由正弦定理得siM=sinC-2siiL4cos5,所以sinJ=sin（4+8）-2siMcos8,

整理得siM=sin8cos4一sinZcosB=sin0—4）,所以8-4=4或8—4+4=兀（舍），贝（18=24.

又eg所以…=冶=等即3八条故"年

lb（广东省江门市2023届高三一模数学试题）在锐角“8C中'角4民°的对边分别为且+'

工，」；依次组成等差数列.

S1114tanC

2

⑴求一的值;

be

【答案】⑴2

【分析】⑴根据熹‘焉,熹成等差数列结合三角恒等变换可得城/“同心由正弦定理即

可求得《的值;

211cosfi、cosC_sinCcosfi+cosCsinfisin（C+B）_sin4

【详解】（1）由条件得:--------------1--------

sin4tanBtanCsinBsinCsiaBsinCsin^sinCsirtBsinC

所以sin%=2sinBsinC，

由正弦定理得：a2=2bc,所以［=2.

12.（福建省泉州市2023届高三数学质量监测试题（三））在ANBC中，角4,B,C所对的边分别为a,b,

c,（a+c）sinN=sin/+sinC,c2+c=ft2-1.

⑴求治

【答案】（1）120。

【分析】（1）利用正弦定理，边角互化，结合余弦定理即可得解.

【详解】（1）v（a+c）sin=sin+sinC,

.•・（a+c）a=a+c,a=1,

且/+ac=a+c，

vc2+c=Z）2-1>

两式相加得a?+。2+ac=a+〃,

，Q?+02+QC=/，即COS5=-J,

/.S=120°.

13.（2023年全国新高考仿真模拟卷（二）数学试题）已知的内角的对边分别为c,8为

钝角.若“8C的面积为S,且4bs=.伍2+02一/）.

TT

（1）证明：B=—+A；

【答案】（1）证明见解析

【分析】（1）利用余弦定理及面积公式将条件变形得cosZ=sin8,再利用诱导公式及三角函数的性质可证

明结论；

L22_2

【详解】（1）由余弦定理85/=以上二二幺得2&＜：＜«4=/+'2-£72,

2bc

7r

4bSCL.4bI.,.c//力l

，---=2bccosA=—x-acsinfin,cos4=sm8,cosJ=coslI,

•••B为钝角，则48-1均为锐角，.•.8—g=Z,即8=1+/；

222

14.（江苏省南京师范大学附属中学江宁分校等2校2022-2023学年高三上学期期末联考数学试题）已知a,h,c

分别是“8C三个内角的对边,“8C面积为S,且465=/+°2+2岳-°2.

⑴求4

【答案M呜

【分析】（1）先将三角形面积公式代入4vls=/+02+2bc-a2，再将余弦定理代入，化简后利用辅助角公式即

可得出结果；

【详解】（1）解:由题知4Gs=/+c2+2bc-42,

则有:4Vixg6csin/=b'+c2+2bc-a2（1）,

在A/8C中，由余弦定理可得：

2hccosA=h2+c2-a2,

代人①式可得：26bcsin4=2bccos4+2bc,

即sin4-cos4=19

由辅助角公式可得:sinj/_9]=:，所以=B+或/_g=¥+2标火eZ,

ko/Z66o6

即4=区+2%兀或/=兀+2^火€2,因为/€（0,兀）,所以4=色；

33

六、高考真题衔接

I/

一、解答题

1.（2022年高考天津卷（回忆版）数学真题）在“8C中，角4、B、C的对边分别为a,b,c.已知

a=>/6,h=2c,cosA=一•-.

4

⑴求c的值；

（2）求sin8的值；

【答案】⑴c=l

（2）sinB=-

4

【分析】（1）根据余弦定理/="+c2-2feccosN以及b=2c解方程组即可求出；

【详解】（1）因为/=/+C?-2bccosA>即6=〃+/+；bc,而b=2c,代入得6=4<?+c2+c2>解得：c=l.

（2）由（1）可求出6=2,而0</<兀，所以sin4=Q^=妪，又，=工,所以

4sinAsmB

.妪L

.bsinZX4-^0.

ay/6

2乃

2.（2021年北京市高考数学试题）在ABC中，c=2bcos8,C=——.

3

（1）求N8；

【答案】（1）f;（2）答案不唯一，具体见解析.

【分析】（1）由正弦定理化边为角即可求解；

【详解】（1）c=2bcosB,则由正弦定理可得sinC=2sin8cos8,

sin2S=siny=^,vC=y,28e（0,引，

：.2B=j解得B=?；

36

3.（2022年浙江省高考数学试题）在』8c中，角4B,C所对的边分别为a,6,c.已知4a=底,cosC=1.

（1）求sinN的值；

【答案】（1）手；

【分析】（1）先由平方关系求出sinC