应力分析和强度理论课件

应力分析和强度理论应力分析和强度理论ChapterTwelveAnalysisofStressandTheoryofStrengthChapterTwelveAnalysisofSt12.1双向应力状态分析12.2广义Hooke定律本章基本要求本章内容小结12.3强度理论12.4组合变形背景材料综合训练12.1双向应力状态分析12.2广义Hoo背景材料为什么圆轴扭转时铸铁沿45o螺旋面断裂，而低碳钢沿横截面断裂？铸铁和低碳钢扭转实验试件断口背景材料为什么圆轴

木材制成的圆轴的轴线方向沿顺纹方向，它在扭转时的破坏情况是怎样的？为什么会这样破坏？为什么具有光滑表面的低碳钢试件在拉伸时有滑移线产生？滑移线产生的方位有什么规律？木材制成的圆轴的轴线方向沿顺纹方向，它在扭转FaaABdCaDK已知K点的应变，如何校核该杆的强度？FaaABdCaDK已知K点的应变，如何塔体具有哪些变形效应？它的危险截面、危险点在何处？如何计算其应力？塔体具有哪些变形效应？它的危险截面、危险点在xyzF2F1LaABd对发生组合变形的杆件如何进行强度计算？xyzF2F1LaABd对发生组合变形的杆掌握主应力、主方向的概念，能熟练进行主应力计算，能正确分析组合变形中危险点的主应力。全面准确地掌握应力概念，掌握斜截面上正应力和切应力的计算公式。本章基本要求能正确理解并熟练应用广义Hooke定律。了解强度理论的意义，掌握几种主要的强度理论的定义，熟悉相应的相当应力。熟炼掌握弯扭组合变形的相当应力和组合变形强度计算。掌握主应力、主方向的概念，能熟练进行主应力计实验目的通过微圆的变形推测应变的特征，并由此推测应力的特征。

微圆的变化的共同趋势是什么？理想实验实验目的通过微圆的变形推测应变的特征，并由此推测应力

微圆的变化包含了哪些因素？微圆的变化包含了哪些因素？最大正应变与最小正应变的方位有什么关系？

微圆的变化包含了哪些因素？什么方位上切应变最大？存在着最大正应变和最小正应变的方向，这两个方向相互垂直。称这两个方向为应变主方向。主方向上的切应变为零。结论存在着最大的切应变，其方位与主方向相差45°。存在着最大正应力和最小正应力的方向，这两个方向相互垂直。称这两个方向为应力主方向。主方向上的切应力为零。存在着最大的切应力，其方位与主方向相差45°。最大正应变与最小正应变的方位有什么关系？微圆dAndAndFdAn

dAdFn

dAdF

12.1双向应力状态分析12.1.1应力状态(stressstate)应力矢量(stressvector)切应力

正应力

1.单元体(element)dAndAndFdAndAdFndAdF12.1pn

pn只考虑相互垂直的微元面。将该点“扩大”为一个单元体。12.1双向应力状态分析过某点所有微元面上应力矢量的集合称为该点处的应力状态。应力矢量不仅与所考虑的点的位置有关，而且与过该点微元面的方位有关。如何掌握某个指定点的应力状态？1.单元体(element)12.1.1应力状态(stressstate)pnpn只考虑相互垂直的微元面。将该点“扩大”为一个单元12.1双向应力状态分析只考虑相互垂直的微元面。将该点“扩大”为一个单元体。应力矢量不仅与所考虑的点的位置有关，而且与过该点微元面的方位有关。过某点所有微元面上应力矢量的集合称为该点处的应力状态。如何掌握某个指定点的应力状态？1.单元体(element)12.1.1应力状态(stressstate)12.1双向应力状态分析只考虑相互垂直的微元面。将该12.1双向应力状态分析把相互垂直的三个面的正面上和反面上的应力分别表示在单元体的六个面上。1.单元体(element)12.1.1应力状态(stressstate)12.1双向应力状态分析把相互垂直的12.1双向应力状态分析注意单元体表达的是某指定点处的应力状态，因此单元体是没有长度和高度的。1.单元体(element)12.1.1应力状态(stressstate)12.1双向应力状态分析注意单元体表达的是某12.1双向应力状态分析注意单元体一对表面上的应力分量总是大小相等而方向相反的。1.单元体(element)12.1.1应力状态(stressstate)12.1双向应力状态分析注意单元体一对表面上2.双向应力状态PF2.双向应力状态PF双向应力状态单向应力状态(two-dimensionalstressstate)(one-dimensionalstressstate)注意单元体的一对侧面一般应取在沿着横截面的方位上。双向应力状态单向应力状态(two-dimensional

x

xy

x

xy

x

xy

x

xy

y

yx

x

xy

x

xy

y

yx

x

y

xy

yx3.应力分量的表示及符号规定应力分量的表示xy切应力互等定理应力分量的脚标记号是根据坐标系确定的。应力状态矩阵应力状态矩阵是对称矩阵。(stressstatematrix)xxyxxyxxyxxy3.应力分量的表示及符号规定单元体的正向面单元体的负向面法线方向与坐标轴正向相同的面法线方向与坐标轴正向相反的面xy符号规定3.应力分量的表示及符号规定单元体的正向面单元体的负向面在正向面上，与坐标正向相同的应力分量为正；与坐标正向相反的应力分量为负。在负向面上，与坐标正向相反的应力分量为正；与坐标正向相同的应力分量为负。xy拉应力为正，压应力为负。3.应力分量的表示及符号规定符号规定在正向面上，与坐标正向相同的应力分量为正；与坐标正向n

x12.1.2斜截面上的应力当一个双向应力状态已知时，如何求一个斜截面上的应力矢量及其法向分量和切向分量？双向应力状态中，斜截面的倾斜程度，以其法线方向与x轴的夹角

为表征。

从x轴正向算起，逆时针转向为正。斜截面上正应力和切应力的正向规定如图。n

x

nx12.1.2斜截面上的应力当一xyn

xyn

/

2xynt

/

2xynt

/

2nananaanxnyx

ny单位矢量

n矢量

a在

n方向上的投影与

n垂直方向上的单位矢量

t数学工具箱xynxyn/2xynt/2xynt/2

Ax

y

An

An

A

sin

A

cos

xy

x

An

A

sin

A

cos

y

yx

xy

x

An

A

sin

A

cos

y

yx

xy

x

Anp

A

sin

A

cos

y

yx

xy

x

AnpP

x

A

sin

A

cos

P

y

y

yx

xy

x

AnpP

x

A

sin

A

cos

P

y

y

yx

xy

x

AnpP

x

A

sin

A

cos

P

y

y

yx

xy

x

Anp

A

sin

A

cos

斜截面上的应力公式考虑斜面面积为

A

的微元楔形体

x方向上力的平衡

y方向上力的平衡矩阵表达式AxyAnAnAsinAco

y

yx

xy

x

Anp

A

sin

A

cos

y

yx

xy

x

Anp

A

sin

A

cos

y

yx

xy

x

Anp

A

sin

A

cos

y

yx

xy

x

Anp

A

sin

A

cos

斜截面上的应力公式正应力分量切应力分量数学工具箱yyxxyxAnpAsin

y

yx

xy

x

Anp

A

sin

A

cos

斜截面上的应力公式正应力分量切应力分量atasssssasin2cos2)(21)(21xyyxyx+-++=atasstacos2sin2)(21xyyx+--=yyxxyxAnpAnn

n

n

例

求承受轴向拉伸杆斜截面上的正应力和切应力。应力状态矩阵斜截面上的正应力斜截面上的切应力PP

nPatasssssasin2cos22121xyyxyx+-++=)()(atasstacos2sin221xyyx+--=)(切应力实际方向nnnn例求承受轴向拉伸杆斜截面上的正应md例

求圆轴扭转时微元斜截面上的正应力和切应力。应力状态矩阵横截面上的切应力微元斜截面上的切应力微元斜截面上的正应力md例求圆轴扭转时微元斜截面上的正应力和切应力。应力md例

求圆轴扭转时微元斜截面上的正应力和切应力。微元斜截面上的切应力微元斜截面上的正应力分析和讨论

为多少度时拉应力为最大？

为多少度时压应力为最大？当拉应力为最大时切应力为多少？当压应力为最大时切应力为多少？md例求圆轴扭转时微元斜截面上的正应力和切应力。微元hhhhh

动脑又动笔

某个双向应力状态，求任意斜截面上的正应力和切应力。静水压力atasstacos2sin221xyyx+--=)(

atasssssasin2cos22121xyyxyx+-++=)()(hhhhh动脑又动笔某个双向应力状态1555

455

/615

455

/6xy5515

455

/6xy

/

355n例

求图中标明方向的切应力

。1555

/

3455

/6注意在本章中未标出单位的应力数值，其单位均为MPa。斜截面法线方向应力状态矩阵建立如图的坐标系1555455/615455/6xy5515455在指定的某个点上，考察哪一个方位微元面上的应力？12.1.3主应力与主方向杆件应力考察的三个层次在杆件的各个横截面中，考察哪一个横截面？在指定的某个横截面中，考察哪一个点？在指定的某个点上，考察哪一个方位微元面上的应力？12.1.3

x

xy

yn

p

np

np

在什么方位上（

是多大时），正应力取得极值？该极值为多大？在正应力取极值时，相应微元面上切应力为多大？在某个指定点处，斜截面上的正应力由

所确定。xxyynpnpnpnp

为什么要研究最大正应力？以前所计算的在杆件横截面上的最大弯曲正应力不一定是危险点处真正的最大正应力。脆性材料某些材料（例如脆性材料）抗拉能力比较弱。np为什么要研究最大正应力？1.法向应力的极值使法向应力取极值的角度应满足yxxyssta-=¢2tan21.法向应力的极值使法向应力取极值的角度应满足yxxyss2

y0

22

y0

22

y0

22

y0

22

y0

2法向应力的极值称为主应力

(principalstress)。使法向应力取极值的微元面称为主平面

(principalplane)。主平面的法线方向称为主方向

(principaldirection)。2y022y022y022y02

y0

2xyxy重要结论

一定存在着相互正交的主方向。以主方向为坐标轴方向的坐标系称为主轴坐标系。xy

1xy主方向

1xy主方向主方向

1

2xy

1

2x

y

2y02xyxy重要结论一定存在着相互正交的主方向和主应力的计算方法1)只求主应力时，可直接利用公式求出两个主方向

1

和

2；即可求出相应的两个主应力。2)若主应力和主方向都需计算，则可先利用再将

1和

2

分别代入主方向和主应力的计算方法1)只求主应力时，可直接利用公主方向主方向主应力重要结论

主平面上切应力为零。2.主平面上的切应力主方向主应力主平面主方向主方向主应力重要结论主平面上切应力为零。2.2.主平面上的切应力若重要结论切应力为零的微元面就是主平面。重要结论

主平面上切应力为零。主方向主应力主平面2.主平面上的切应力若重要结论切应力为零的微元面3.主应力排序将双向应力状态放在三维环境中无应力作用的单元面也构成主平面，相应的主应力为零。3.主应力排序将双向应力状态放在三维环境中无应力作用的单10151510只有一个主应力不为零的应力状态称为单向应力状态。有两个主应力不为零的应力状态称为双向应力状态。10动脑又动笔写出下列应力状态的三个主应力：10151510只有一个主应力不为零的应力状态称为单向应力666下面的应力状态是双向应力状态吗？1044556双向单向单向双向26动脑又动笔666下面的应力状态是双向应力状态吗？1044556双向单向1645°1616动脑又动笔纯剪状态单元体在某个方位上只有切应力而无正应力，则称该单元体的应力状态属于纯剪状态。求如图的纯剪状态的主应力和主方向。应力状态矩阵主方向主应力1645°1616动脑又动笔纯剪状态单元体在某个方位1645°1616动脑又动笔纯剪状态单元体在某个方位上只有切应力而无正应力，则称该单元体的应力状态属于纯剪状态。求如图的纯剪状态的主应力和主方向。纯剪状态的主方向沿什么方位？纯剪状态的主应力数值为多少？如何区分第一主应力和第三主应力的方向？在常见的变形中，何处会出现纯剪状态？1645°1616动脑又动笔纯剪状态单元体在某个方位150150200PABCKAC杆可简化为如图的简支梁。150150200PABCKK截面上的剪力：150150200PACKB150150200PACKFSBK截面上的弯矩：150150200PACKFSMB252530IJ例已知P

3kN，求K截面上I和J点处的主应力。150150200PABCKAC杆可简化为如图的简支梁。1AC杆可简化为如图的简支梁。K截面上的剪力：K截面上的弯矩：150150200PACKFSMB252530IJ例已知P

3kN，求K截面上I和J点处的主应力。AC杆可简化为如图的简支梁。K截面上的剪力：K截面上的150150200PACKFSMB252530IJ例已知P

3kN，求K截面上I和J点处的主应力。I点处只有正应力而无切应力。150150200PACKFSMBII点处应力状态J点处只有切应力而无正应力150150200PACKFSMBJ点处应力状态J150150200PACKFSMB252530IJ例FLLdFLLdAB例求结构中危险点处的主应力。危险点在固定端面A和B两点。弯曲正应力扭转切应力应力状态如图。A

B

主应力公式FLLdFLLdAB例求结构中危险点处的主应力。危险FLLdABA

B

例求结构中危险点处的主应力。危险点在固定端面A和B两点。弯曲正应力扭转切应力应力状态如图。主应力公式FLLdABAB例求结构中危险点处的主应力。FLLdABA

B

A点主应力B点主应力FLLdABABA点主应力B点主应力例

某点应力状态是如图两种应力状态的合成。求该点的主应力。15xy151275°分析

目前两个单元体应力不在同一个坐标系中，因此必须将其转化为同一坐标系。把第二个单元体的方位视为第一个单元体的斜方向。例某点应力状态是如图两种应力状态的合成。求该点的主应15xy15xy15xy7.515xy7.513例

某点应力状态是如图两种应力状态的合成。求该点的主应力。第二个应力状态左侧面法向与x轴成

15。切向应力分量在这一方位上，第一个应力状态的法向应力分量第一个应力状态151275°15xy15xy15xy7.515xy7.513例某第二个应力状态左侧面法向与x轴成

15。切向应力分量在这一方位上，第一个应力状态的法向应力分量第一个应力状态15xy7.513例

某点应力状态是如图两种应力状态的合成。求该点的主应力。151275°第二个应力状态左侧面法向与x轴成15。切向应力分量15xy7.51315xy7.51315xy7.5137.515xy7.5137.5xy137.57.5y’x’在这一方位上，第一个应力状态的法向应力第二个应力状态上侧面法向与x轴成75。151275°例

某点应力状态是如图两种应力状态的合成。求该点的主应力。建立新坐标系，两个应力状态在此坐标系中分别为15xy7.51315xy7.51315xy7.5137.5在这一方位上，第一个应力状态的法向应力第二个应力状态上侧面法向与x轴成75。建立新坐标系，两个应力状态在此坐标系中分别为xy137.57.5y’x’151275°例

某点应力状态是如图两种应力状态的合成。求该点的主应力。在这一方位上，第一个应力状态的法向应力第二个应力状态上侧面法xy137.57.5y’x’两种应力状态的合成主应力151275°例

某点应力状态是如图两种应力状态的合成。求该点的主应力。xy137.57.5y’x’两种应力状态的合成主应力1512

x

y

xynp

12.1.4最大切应力在切应力取极值时，相应微元面上正应力为多大？在某个指定点处，斜截面上的切应力由

所确定。在什么方位上（

是多大时），切应力取得极值？该极值为多大？xyxynp12.1.4最大切12.1.4最大切应力为什么要研究最大切应力？塑性材料以前所计算的在杆件横截面上的最大扭转切应力或弯曲切应力不一定是危险点处真正的最大切应力。某些材料（例如塑性材料）抗剪切能力比较弱。np

12.1.4最大切应力为什么要研究最大重要结论

具有最大切应力的微元面的法线方向与主方向相差45

。xyxyxy45oxy使切向应力取极值的角度应满足使切应力取极值的角度使正应力取极值的角度重要结论具有最大切应力的微元面的法线方向与主方向相差yx

i

jyxx

y

i

jyxx

y

i

j

maxx

y

i

j

max在主轴坐标系下计算最大切应力具有最大切应力表面上的正应力主轴坐标系下应力状态矩阵yxijyxxyijyxxyijma

3

1

2

3

1

2

3

1

2

MAX

3

1

3

1

3

1

max

3

2

3

2

3

2

max

1

2

1

2

1

2

max在三维情况下考虑最大切应力312312312M355

355282382828248

3

1

2

3

1

2最大切应力具有最大切应力表面上的正应力应力平面中的最大切应力该点处的最大切应力例

求图示双向应力状态中的最大切应力。主应力3553F

250Nb

75h

300a

250F250Nb75h300a250F

250Nb

75h

300a

250例

在如图结构中确定空心轴上危险点的最大切应力。危险点处弯曲正应力危险点处扭转切应力D=20d=16圆轴产生弯扭组合变形，危险截面在固定端面，危险点在该截面右端点。该点应力状态如图。圆轴产生弯扭组合变形，危险截面在固定端面，危险点在该截面右端点。该点应力状态如图。圆轴产生弯扭组合变形，危险截面在固定端面，危险点在该截面右端点。该点应力状态如图。圆轴产生弯扭组合变形，危险截面在固定端面，危险点在该截面右端点。该点应力状态如图。危险点

F250Nb75h300a250例圆轴产生弯扭组合变形，危险截面在固定端面，危险点在该截面右端点。该点应力状态如图。危险点处弯曲正应力危险点处扭转切应力例

在如图结构中确定空心轴上危险点的最大切应力。

D=20d=16F

250Nb

75h

300a

250圆轴产生弯扭组合变形，危险截面在固定端面，危例

在如图结构中确定空心轴上危险点的最大切应力。危险点处主应力危险点处最大切应力D=20d=16

F

250Nb

75h

300a

250例在如图结构中确定空心轴上危险点的最大切应力。例

求承受轴向拉伸杆的最大正应力和切应力。

x

=P/A应力状态主应力最大切应力xyzP12.1.5最大应力在杆件破坏中的作用拉伸压缩

t

45°0°

c45°0°最大的正应力与切应力在加载过程中的比例关系例求承受轴向拉伸杆的最大正应力和切应力。x=P脆性材料轴向拉伸45°0°塑性材料45°0°抗拉强度不足引起的破坏脆性材料轴向拉伸45°0°塑性材料45°0°抗拉强度不足引起低碳钢拉伸实验试件断口铸铁拉伸实验试件断口低碳钢拉伸实验试件断口铸铁拉伸实验试件断口脆性材料轴向压缩抗剪强度不足引起的破坏45°0°塑性材料45°0°抗压强度不足引起的破坏脆性材料轴向压缩抗剪强度不足引起的破坏45°0°塑性材料45压缩前低碳钢试件压缩后低碳钢试件压缩前铸铁试件压缩后铸铁试件压缩实验试件压缩前低碳钢试件压缩后低碳钢试件压缩前铸铁试件压缩后铸铁试件例

求圆轴扭转时最大正应力和切应力。最大切应力横截面上的切应力主应力md–

45°0°45°最大的正应力与切应力在加载过程中的比例关系应力状态矩阵例求圆轴扭转时最大正应力和切应力。最大切应力横截面上圆轴扭转脆性材料–

45°0°45°塑性材料–

45°0°45°抗拉强度不足引起的破坏抗剪强度不足引起的破坏圆轴扭转脆性材料–45°0°45°塑性材料–45°0°4低碳钢扭转实验试件断口铸铁扭转实验试件断口低碳钢扭转实验试件断口铸铁扭转实验试件断口分析和讨论为什么具有光滑表面的低碳钢试件在拉伸时有滑移线产生？滑移线产生的方位有什么规律？冬天由于天气寒冷，自来水管会由于水结冰而破裂。为什么总是水管破裂而不是冰被压碎？分析和讨论为什么具有光滑表面的低碳钢试件在拉分析和讨论木材制成的圆轴的轴线方向沿顺纹方向，它在扭转时的破坏情况是怎样的？为什么会这样破坏？分析和讨论木材制成的圆轴的轴线方向沿顺纹方向12.2广义Hooke定律考虑Poisson效应定律及其应用(generalizedHooke’slaw)12.2广义Hooke定律考虑Poisson效广义Hooke定律正应力与正应变之间的关系切应力与切应变之间的关系在小变形情况下，同一坐标系中的切应力分量不影响正应变分量，同样，正应力分量不影响切应变分量。广义Hooke定律正应力与正应变之间的关系切应力与切应变双向应力状态单向应力状态广义Hooke定律双向应力状态单向应力状态广义Hooke定律P30

P30

例

横截面积为

A

的杆

E和

己知，承受轴向拉伸，求与轴线成30

角方向上单位长线段的伸长量，以及该方位上直角的变化量。

x

=P/AP30P30例横截面积为A的杆E和a2aFK

a2aK2F/

3F/

3FKF2F/

3KF/

3F2F/

3KF/

3F2F/

3例图示简支梁横截面为高度是

h、宽度是

b的矩形，已知材料的弹性模量E，泊松比

。欲在轴线

K点处测出该点的最大拉应变，应变片应沿什么方向粘贴？应变片的理论读数是多少？由于K点处于中性层上，因此该点处横截面上有切应力而无正应力，故该点处于纯剪状态。K点所在横截面剪力：切应力数值：a2aFKa2aK2F/3F/3FKF2F/3KF/例图示简支梁横截面为高度是

h、宽度是

b的矩形，已知材料的弹性模量E，泊松比

。欲在轴线

K点处测出该点的最大拉应变，应变片应沿什么方向粘贴？应变片的理论读数是多少？由于K点处于中性层上，因此该点处横截面上有切应力而无正应力，故该点处于纯剪状态。K点所在横截面剪力：切应力数值：

KF/

3F2F/

3例图示简支梁横截面为高度是h、宽度是b的矩形，已知

1

345°该点第一主应力沿45

方向，应变片应沿这一方向粘贴。主应力：主方向应变：x

y

KF/

3F2F/

3注意由于剪力和切应力符号规定不同，因此计算中只需考虑数值即可。两者的实际方向是相同的。1345°该点第一主应力沿45CABD

xy

例

利用如图微元正方形的纯剪切变形，证明在图示坐标系下，考虑AC的线应变CABDxy

另取主轴坐标系应用广义Hooke定律=)(n+12EGCABDxy

x

y

xy

x

y

CABDxy

x

y

CABDxy例利用如图微元正方形的纯剪切变形，证=)(n+12EG分析和讨论CABDxy

x

y

原坐标系中的广义

Hooke定律：主轴坐标系下的广义

Hooke定律：为什么两种坐标系中的广义

Hooke定律具有相同的形式？=)(n+12EG分析和讨论CABDxyxy原坐标系45°x

(1)

(2)

例

结构上

A点的两个应变值己测出，求荷载

P和尺寸

a。A点处应力状态如图：LaPdA45°x(1)(2)例结构上A点的两个应45°x

(1)

(2)

例

结构上

A点的两个应变值己测出，求荷载

P和尺寸

a。A点处应力状态如图：LaPdA45°x(1)(2)例结构上A点的两个应

45°x

(1)

(2)LaPdA45°x(1)(2)LaPdA12.3强度理论1.强度理论(theoryofstrength)的概念1015201010510123考虑应力状态的可比性如何比较这两个应力状态？主应力又如何比较这两个应力状态？主应力的数性函数12.3强度理论1.强度理论(theoryof12.3强度理论1.强度理论(theoryofstrength)的概念实际工况321sss,,实验室的单向拉伸试验00321===ssss,,sb),,(321eqssssf=考虑实验的可行性受同一规律支配强度理论

eq：相当应力12.3强度理论1.强度理论(theoryof第一强度理论破坏的原因是第一主应力超过许用应力。2.四个常用的强度理论第一强度理论相当应力第一强度理论破坏的原因是第一主应力超过许用应力。2.四个第二强度理论破坏的原因是第一主应变超过许用应变。第一、第二强度理论属于脆性断裂强度理论。两者第一主应力相等，第一主应变不等第二强度理论相当应力第二强度理论破坏的原因是第一主应变超过许用应变。第一、第二强第三强度理论破坏的原因是最大切应力超过许用切应力。第三强度理论相当应力第三强度理论相当应力又称Tresca应力。第三强度理论破坏的原因是最大切应力超过许用切应力。第三强度理第四强度理论相当应力第四强度理论相当应力又称vonMises应力。破坏的原因是形状改变比能超过许用值。第四强度理论第三、第四强度理论属于塑性屈服强度理论。只改变体积不改变形状既改变体积又改变形状第四强度理论相当应力第四强度理论相当应力又称vonMis强度理论的适用性选择强度理论首先考虑材料性质，同时也需考虑应力状态。在三向等拉的应力状态下，塑性材料也会出现脆性断裂现象。在三向等压的应力状态下，脆性材料也会出现塑性屈服现象。强度理论的适用性选择强度理论首先考虑材料性质外力分析内力分析确定危险截面应力分析确定危险点应力状态单向复杂σσ≤maxσeqσ≤主应力σ1，σ2，σ31.组合变形解题思路12.4组合变形外力分析内力分析确定危险截面应力分析确定危险点应力状态单向复2.拉（压）弯组合与截面核心2.拉（压）弯组合与截面核心FN拉弯组合中的正应力的计算拉压正应力弯曲正应力拉弯组合正应力M在拉弯组合变形中，横截面的中性轴不再过形心，但与相应只有弯曲情况的中性轴平行。FN拉弯组合中的正应力的计算拉压正应力弯曲正应力拉弯组合正应弯曲最大正应力拉弯组合最大正应力FN拉弯组合中的最大正应力的计算M拉压正应力弯曲最大正应力拉弯组合最大正应力FN拉弯组合中的最大正应力的例

求如图的构件中的最大正应力。最大拉应力在AB区段下沿最大压应力在AB区段上沿d=20e=40F=1kNABe=40m=FeF=1kNe=40F=1kNM=Fe例求如图的构件中的最大正应力。最大拉应力在AB区拉（压）弯组合变形强度计算一般流程外力分析内力分析确定危险截面应力分析确定危险点σσ≤max拉（压）弯组合变形强度计算一般流程外力分析内力分析确定危险截例图示压力机，试校核床身的强度。F=1600kN偏心矩e=535mm［σ－

］=80MPa［σ+］=28MPaeFFmnA=1810cm2Iz

=13.7×109mm4a=550mmb=250mmzbayFM=FeFN=1600kNM=Fe=856kNmσMσN+=组合σmσNσM－=－=FNA－MaIz=－25.6MPaσm＜［σ－

］故不会压坏。拉弯组合例图示压力机，试校核床身的强度。F=1600kN偏心例图示压力机，试校核床身的强度。F=1600kN偏心矩e=535mm［σ－

］=80MPa［σ+］=28MPaeFFmnA=1810cm2Iz

=13.7×109mm4a=550mmb=250mmzbayFM=FeFN=1600kNM=Fe=856kNmσMσN+=组合σnσNσM+=+=FNA+MbIz=24.4MPaσn＜［σ+

］故不会拉坏。zbay拉弯组合例图示压力机，试校核床身的强度。F=1600kN偏心例

如图的空心塔体由密度为

ρ

的材料制成。塔体侧面承受均布压力

q。为使塔体中横截面上不产生拉应力，塔上的重物F至少应为多大？最有可能产生拉应力的点在底部左侧点。该点压缩正应力最大弯曲正应力HFqρgAHDd例如图的空心塔体由密度为ρ的材料制成。塔体侧面承要不产生拉应力，应有HFqρgAHDd例

如图的空心塔体由密度为

ρ

的材料制成。塔体侧面承受均布压力

q。为使塔体中横截面上不产生拉应力，塔上的重物F至少应为多大？要不产生拉应力，应有HFqρgAHDd例如图的空心塔如图的集中载荷

F可在立柱端面中线上移动，要使立柱横截面上不产生拉应力，偏心量

e允许的最大值为多少？Fehb动脑又动笔如图的集中载荷F可在立柱端面中线上移动，要使立柱应力分析和强度理论ppt课件例

比萨斜塔的高度

H

55m，可把塔体简化为外径

D

20m，内径

d

14m的均质圆筒。要使塔体横截面上不产生拉应力，塔体容许的最大倾斜角为多少？目前塔体已倾斜了5.5

º，塔体横截面上是否已产生了拉应力？

塔体承受压弯组合变形。底面为危险截面。设倾角为

，塔体材料的平均重度为

g。底面轴力设单位高度的重量为

gA。底面压缩正应力危险截面危险点例比萨斜塔的高度H55m，可把塔体简化为外例

比萨斜塔的高度

H

55m，可把塔体简化为外径

D

20m，内径

d

14m的均质圆筒。要使塔体横截面上不产生拉应力，塔体容许的最大倾斜角为多少？目前塔体已倾斜了5.5

º，塔体横截面上是否已产生了拉应力？

塔体承受压弯组合变形。底面为危险截面。设倾角为

，塔体材料的平均重度为

g。底面轴力设单位高度的重量为

gA。底面压缩正应力例比萨斜塔的高度H55m，可把塔体简化为外不产生拉应力底面弯矩底面最大弯曲拉应力横截面上没有拉应力。不产生拉应力底面弯矩底面最大弯曲拉应力横截面上没有拉应力。IIPIIPIIPIIP4015例

图示结构作用有

P力，校核结构I-I截面的强度。截面弯矩最大弯曲正应力截面惯性矩截面安全拉压正应力最大正应力错在何处？IIPIIP4015例图示结构作用有P力，校核结IIPIIP4015yc例

图示结构作用有

P力，校核结构I-I截面的强度。截面形心位置截面弯矩截面惯性矩最大弯曲压应力出现在截面上顶点?IIPIIP4015yc例图示结构作用有P力，校例

图示结构作用有

P力，校核结构I-I截面的强度。截面形心位置截面弯矩截面惯性矩最大弯曲压应力出现在截面上顶点IIP4015ycIIP例图示结构作用有P力，校核结构I-I截面的强度。IIP最大弯曲拉应力出现在截面下边缘拉伸正应力最大压应力截面不安全最大拉应力4015ycIIP最大弯曲拉应力出现在截面下边缘拉伸正应力最大压应力截面斜弯曲xABCzyxABCPyzyxPzABCzyxPABCyzPyPzMzMy斜弯曲xABCzyxABCPyzyxPzABCzyxPABCxPABCyzPyPz最大正应力斜弯曲最大应力公式一般用在矩形、工字形等具有外沿凸点的截面梁中。斜弯曲xPABCyzPyPz最大正应力斜弯曲最大应结构中的弯矩如图，危险点在A点。A点应力故取h=90mm例

图示结构中，若材料[

t]为80MPa，试确定横截面高度

h。Pz

=

2kNxyz600800Py

=

4kNAxyz2.8kN

mxyz2.8kN

m2.4kN

mxyzb=60h结构中的弯矩如图，危险点在A点。A点应力分析和强度理论ppt课件载荷分量分别为最大弯矩分别为最大正应力分别为计算模型

qhbzy例

如图的单位长度重量为

q的梁长度为

L，两端简支并倾斜放置。

求梁中横截面上的最大正应力，并求当倾角

为多大时这种正应力达到最大。Lq载荷分量分别为最大弯矩分别为最大正应力分别为计算模型qhb载荷分量分别为最大弯矩分别为最大正应力分别为计算模型Lq

qhbzy例

如图的单位长度重量为

q的梁长度为

L，两端简支并倾斜放置。

求梁中横截面上的最大正应力，并求当倾角

为多大时这种正应力达到最大。载荷分量分别为最大弯矩分别为最大正应力分别为计算模型Lqq角点最大正应力使这种正应力最大的

应满足故有最大正应力分别为

qhbzy

qhbzy例

如图的单位长度重量为

q的梁长度为

L，两端简支并倾斜放置。

求梁中横截面上的最大正应力，并求当倾角

为多大时这种正应力达到最大。角点最大正应力使这种正应力最大的应满足故有最大正应力分析和讨论

圆形截面梁斜弯曲问题如何处理？结论

圆形截面梁不能按斜弯曲最大应力公式计算。xzPyyPzxzPyPzA最大拉应力点xzPyPyB最大拉应力点xzP

xzP

最大拉应力点xzP

y分析和讨论圆形截面梁斜弯曲问题如何处理？结论xzPyyPzL1L2AByzMyMzMxzPyyPzL1L2AByzMyMzM例

如图的集中载荷

F可在立柱端面上平行移动，要使立柱横截面上不产生拉应力，

F应该限制在什么样的区域内？Fhb压缩正应力如果F力作用点坐标为第一象限中的(x,y),最大弯曲拉应力产生于第三象限的角点上，bhxyxy例如图的集中载荷F可在立柱端面上平行移动，要使立bhxyxy不产生拉应力的条件截面核心(kernofcross-section)bhxybhxybhxyFhb同理可得其它象限的区域。bhxyxy不产生拉应力的条件截面核心(kernof截面核心的特点截面核心是截面的几何特征，与载荷大小无关。截面核心是形心附近的凸区域。bhh/3b/3截面核心

截面核心的特点截面核心是截面的几何特征，与载3.圆轴的弯扭（拉/压、弯、扭）组合3.圆轴的弯扭（拉/压、弯、扭）组合FLadFLadFT外力分析F弯曲T扭转弯扭组合变形内力分析FSmax

=FFSFM

FLTFaMmax

=FLTmax

=Fa固定端为危险截面FLadFLadFT外力分析F弯曲T扭转弯扭组合变形内力分析最大正应力FLadFTFLadFTFLadFTFLaABdFT最大正应力出现在A和B两点。弯曲正应力应力分析FSmax

=FMmax

=FLTmax

=FaAB最大正应力FLadFTFLadFTFLadFTFLaABdF扭转切应力最大切应力合成FLadFTFLadFTFLadFT弯曲切应力最大切应力最大切应力出现在圆柱面与中性层的内侧交线上。FLaF应力分析扭转切应力最大切应力合成FLadFTFLadFTFLadFT弯扭组合的应力在实体形截面杆件中，最大弯曲切应力比最大弯曲正应力小很多。最大弯曲切应力与最大弯曲正应力出现的位置不同。因此在弯扭组合问题中，可以不考虑弯曲切应力。FLad弯扭组合的应力在实体形截面杆件中，最大弯曲切最大正应力弯曲正应力应力分析AB最大切应力扭转切应力ABA、B为危险点最大正应力弯曲正应力应力分析AB最大切应力扭转切应力ABA、应力状态ABABA、B为危险点主应力σ1，σ2，σ3应力状态ABABA、B为危险点主应力σ1，σ2，σ3强度计算ABM=FLT

=Fa仅适用于弯扭组合的（实、空心）圆轴适用于拉/压弯扭组合的（实、空心）圆轴强度计算ABM=FLT=Fa仅适用于弯扭组合的（实、空xyzqLLABd例已知材料许用应力为[

]，根据第四强度理论设计AB段的轴径。

AB段承受弯扭组合变形最大弯矩扭矩故轴径d应满足xyzqLLABd例已知材料许用应力为[]，根据例

如图的直角曲拐中竖直载荷可在

BC区段内平移并尽可能地靠近C。为了使曲拐的强度得到充分地利用，尺寸

a应为多少？求出许用荷载。[

]=120MPad=60L=400[τ]=45MPa合理的尺寸a应满足PLaABCd例如图的直角曲拐中竖直载荷可在BC区段内平移并尽可例在图示的结构中，确定圆轴横截面上最大正应力和切应力数值。轴端的横向力最大弯矩扭矩最大正应力最大切应力FGDdaaaaF+G计算模型如图例在图示的结构中，确定圆轴横截面上最大正应力和切应力G=5kNa=400mmD=300mmd=60mm[σ]=120MPa

在图示的结构中，用第三强度理论求允许起吊的最重的物体为多少kN。圆轴承受弯扭组合载荷。危险截面在轮盘处。最大弯矩扭矩FGDdaaaaF+G动脑又动笔G=5kNa=400mmD=300mmdFαLaABCF使AB区段产生扭弯组合，最大弯矩在A

截面。L=400a=300F=2kNd=50α=30°最大扭转切应力在AB区段的外圆柱面上。xyzFFyFzαLaABCFαLaBFαTAFLaBFαTA例

如图的曲拐中

AB区段是直径为

d的圆轴，C处作用力位于垂直于

AB轴线的铅垂平面内，但与水平平面有夹角

α

。求

AB区段内横截面上的最大正应力与最大切应力。FαLaABCF使AB区段产生扭弯组合，例

求图示结构

A截面危险点的第三强度理论相当应力。平移P1

到B，A截面承受弯扭组合载荷：平移P2

到B，A截面承受拉弯组合载荷：扭转切应力xyzP2P1LaABdP2xyzLABdP2

aP1危险点位置如图xyzLABdP1aP1P2

aP2xyzLaABdP2P1危险点应力状态

N

M

危险点例求图示结构A截面危险点的第三强度理论相当应力。例

求图示结构

A截面危险点的第三强度理论相当应力。平移P1

到B，A截面承受弯扭组合载荷：平移P2

到B，A截面承受拉弯组合载荷：扭转切应力危险点位置如图xyzLaABdP2P1危险点应力状态

N

M

例求图示结构A截面危险点的第三强度理论相当应力。拉伸正应力xyzLaABdP2P1弯曲正应力危险点应力状态

N

M

拉伸正应力xyzLaABdP2P1弯曲正应力危险点应力状态30°a=300L=200F=2kNKd=75D=80例

外力

F作用在水平平面内，求

K截面下沿处的第三强度理论的相当应力。将外力F分解为Fx

和Fy

Fx使圆轴产生拉伸和弯曲的变形拉伸应力弯曲应力FKFx

Fy

L=200aFKFx

Fy

Fx

FxaaK

N

MK

N30°a=300L=200F=2kNKd=d=75D=80例

外力

F作用在水平平面内，求

K截面下沿处的第三强度理论的相当应力。将外力F分解为Fx

和Fy

Fx使圆轴产生拉伸和弯曲的变形拉伸应力弯曲应力30°a=300L=200F=2kNKFKFx

Fy

L=200aFKFx

Fy

Fx

FxaaK

N

MK

Nd=75D=80例外力F作用在水平平面内

Fy使圆轴产生扭转和弯曲的变形，但对于此项弯曲，下沿处于中性层上，故没有相应的弯曲应力。该处的应力状态如图该处的第三强度理论的相当应力扭转应力d=75D=80FKFx

Fy

Fx

FxaaFKFx

Fy

FyaaFy

MK

N

MK

N

Fy使圆轴产生扭转和弯曲的变形，但对于此应力分析和强度理论ppt课件例

图中曲柄上的作用力保持10kN不变，但角度

可变。试求

为何值时对

A-A截面最为不利，并求相应的第三强度相当应力。将P分解Py

引起圆轴扭转和弯曲Px

引起圆轴弯曲A-A截面弯矩

PL=200xyPL=200xPxPyyd=60AAa=100xz例图中曲柄上的作用力保持10kN不变，但角度PL=200xPxPyyd=60AAa=100xz例

图中曲柄上的作用力保持10kN不变，但角度

可变。试求

为何值时对

A-A截面最为不利，并求相应的第三强度相当应力。将P分解Py

引起圆轴扭转和弯曲Px

引起圆轴弯曲A-A截面弯矩PL=200xPxPyyd=60AAa=100xz例PL=200xPxPyy

例

图中曲柄上的作用力保持10kN不变，但角度

可变。试求

为何值时对

A-A截面最为不利，并求相应的第三强度相当应力。

PL=200xyd=60AAa=100xzPL=200xPxPyy例图中曲柄上的作用力保持A-A截面危险点的第三强度等效应力：故

取零或

时最为不利。

PL=200xyd=60AAa=100xz例

图中曲柄上的作用力保持10kN不变，但角度

可变。试求

为何值时对

A-A截面最为不利，并求相应的第三强度相当应力。A-A截面危险点的第三强度等效应力：例

图示信号板自重

P

60N，

承受最大风压

q

200Pa，空心竖管

0.8，竖管的密度

7800kg/m3。不计横管部分自重，用第三强度理论校核竖管的强度。结构承受了哪些荷载？这些荷载在竖管中引起什么样的变形效应？分析危险点在何处？该处的应力状态是怎样的？D

500b

350h

800d

30[

c]

40

MPabdhDbdhDbdhDxyz例图示信号板自重P60N，承受最大风压风

压信号板自重压缩压缩弯曲Mx弯曲My扭转弯曲切应力

N

P

N

M

正应力

分析荷载与变形危险截面危险点位置危险点应力状态