材料力学杆件变形分析

材料力学杆件变形分析第1页，课件共52页，创作于2023年2月第一节杆件轴向拉压变形第二节圆轴扭转变形第三节积分法求梁弯曲变形叠加法求梁弯曲变形第四节提高梁弯曲刚度的措施总结与讨论第2页，课件共52页，创作于2023年2月杆件在载荷作用下都将发生变形（deformation）。在有些结构或实际工程中，杆件发生过大的变形将影响杆件或结构的正常使用，必须对杆件的变形加以限制，如工程中使用的传动轴、车床主轴等变形过大会造成机器不能正常工作；而有些结构又需要杆件有较大的变形，如汽车上所使用的叠板弹簧，只有当弹簧有较大变形时，才能起缓冲作用。在结构的设计中，无论是限制杆件的变形，还是利用杆件的变形，都必须掌握计算杆件变形的方法。本章将具体讨论杆件轴向拉伸（或压缩）、圆轴扭转和弯曲三种情况下的杆件变形。研究杆件变形的目的，一方面是为了分析杆件的刚度问题，另一方面则是为了求解超静定问题。第3页，课件共52页，创作于2023年2月第一节杆件轴向拉压变形当杆件承受轴向载荷时，其轴向尺寸和横向尺寸均发生变化，杆件沿轴线方向的变形，称为轴向变形（axialdeformation）；垂直于轴线方向的变形，称为横向变形（lateraldeformation）。1．拉压杆的轴向变形与胡克定律实验表明，杆件受拉时，轴向尺寸增大，横向尺寸缩小，杆件受压时，轴向尺寸缩小，横向尺寸增大。设拉压杆的横截面的面积为A，原长为l，在轴向拉力F作用下产生变形，如图4-1所示，变形后杆长为l1，则杆在轴线方向的伸长量为第4页，课件共52页，创作于2023年2月

Δl是杆件长度尺寸的绝对改变量，称为绝对变形，表示整个杆件沿轴线方向总的变形量，绝对变形不能说明杆件的变形程度。要度量杆件变形程度的大小，必须消除杆件原有尺寸的影响，杆件均匀变形时杆件沿轴线方向的相对变形，即轴向线应变（axialstrain）为其中ε为杆件轴线方向的线应变，是无量纲量，拉伸时为正，压缩时为负。实验表明，对于工程中的大部分材料，当杆内应力在一定范围（比例极限）内时，杆的变形量与外力和杆的原长成正比，与杆的横截面面积成反比，并引入比例常数弹性模量，则可以得到杆件变形的计算公式为第5页，课件共52页，创作于2023年2月上述为描述弹性范围内杆件承受轴向载荷时力与变形的胡克定律（Hooke’slaw），适用于等截面常轴力拉压杆。在比例极限内，拉压杆的轴向变形与材料的弹性模量及杆的横截面面积成反比，乘积EA称为拉压杆的抗拉压刚度（tensileorcompressionrigidity）。显然，对于给定长度的等截面拉压杆，在一定的轴向载荷作用下，抗拉压刚度EA越大，杆的轴向变形就越小。对于轴向力、横截面面积或弹性模量沿杆轴逐段变化的拉压杆，如下图所示，其轴向变形为第6页，课件共52页，创作于2023年2月对于轴力和横截面面积沿轴向连续变化的情况，其轴向变形量为将式等号两边同除以杆长，即得到或上式为胡克定律的另一种表达式。第7页，课件共52页，创作于2023年2月2．拉压杆的横向变形与泊松比如图所示，设杆件的原宽度为b，在轴向拉力作用下，宽度变为b1，横向变形量为Δb=b1-b，则横向应变为显然，如果杆件是如图所示的拉伸变形，则ε′为负值，即轴向拉伸时，杆沿轴向伸长，其横向尺寸减小；轴向压缩时，杆沿轴向缩短，横向尺寸增大。也就是说，轴向的正应变与横向的正应变的符号是相反的。第8页，课件共52页，创作于2023年2月通过实验发现，当材料在弹性范围内时，拉压杆的轴向正应变ε与横向正应变ε′成正比。用μ来表示横向正应变ε′与轴向正应变ε之比的绝对值，有或式中，比例常数μ称为泊松比（Poissonradio）。在比例极限内，泊松比是一个材料的弹性常数，不同材料具有不同的泊松比，大多数各向同性材料的泊松比第9页，课件共52页，创作于2023年2月例4-1圆截面杆如图4-3所示，已知F=4kN，l1=l2=100mm，弹性模量E=200GPa。为保证杆件正常工作，要求其总伸长不超过0.10mm，即许用轴向变形[Δl]=0.10mm。试确定杆的直径d。【解】（1）变形分析。AB段和BC段的轴力分别为FN1=2FFN2=F

杆AC的总伸长为第10页，课件共52页，创作于2023年2月（2）直径设计。按照设计要求，总伸长Δl不得超过许用变形[Δl]，即要求例4-1圆截面杆如图4-3所示，已知F=4kN，l1=l2=100mm，弹性模量E=200GPa。为保证杆件正常工作，要求其总伸长不超过0.10mm，即许用轴向变形[Δl]=0.10mm。试确定杆的直径d。由此得可以取直径为第11页，课件共52页，创作于2023年2月3．桁架的节点位移桁架的变形通常用节点的位移（displacement）表示，现以下图所示桁架为例，说明桁架节点位移的分析方法。例4-2桁架是由1、2杆组成，通过铰链连接，在节点A承受铅垂载荷F=40kN作用。已知杆1为钢杆，横截面面积A1=960mm2，弹性模量E1=200GPa，杆2为木杆，横截面面积A2=2.5×104mm2，弹性模量E2=10GPa，杆2的杆长为1m。求节点A的位移。第12页，课件共52页，创作于2023年2月【解】（1）利用截面法，可以求得1、2两杆的轴力分别为（拉力）（压力）由胡克定律可以求得两杆的变形分别为第13页，课件共52页，创作于2023年2月（2）求节点A的位移。节点A的水平位移与铅垂位移分别为（↓）（←）A点的位移为在小变形条件下，通常可按结构原有几何形状与尺寸计算约束力与内力，并可采用以垂线代替圆弧法确定节点位移。第14页，课件共52页，创作于2023年2月第二节圆轴扭转变形1．圆轴扭转变形圆轴的扭转变形，用各横截面间绕轴线作相对转动的相对角位移j表示。相距为dx的两个横截面间有相对转角dj，即微段dx的扭转变形为因此，对于间距为l的两截面的扭转角（angleoftwist）为对于长度为l，扭矩T为常数的等截面圆轴，其两端横截面的相对扭转角为乘积GIP称为圆轴截面的抗扭刚度（torsionrigidity）第15页，课件共52页，创作于2023年2月对于扭矩、横截面或剪切弹性模量沿杆轴逐段变化的圆截面轴，其扭转变形为式中，Ti、li、Gi与IPi分别为轴段i的扭矩、长度、剪切弹性模量与极惯性矩，n为杆件的总段数。第16页，课件共52页，创作于2023年2月2．圆轴扭转的刚度条件在圆轴设计中，除考虑其强度问题外，在许多情况下对刚度的要求更为严格，常常对其变形有一定限制，即应该满足相应的刚度条件。在工程实际问题中，通常是限制扭转角沿轴线的变化率，即单位长度扭转角j′，使其不得超过某一规定的许用值[j′]。由第三章圆轴扭转强度分析时得到的扭转角的变化率为其单位是rad/m

所以，圆轴扭转的刚度条件为第17页，课件共52页，创作于2023年2月对于等截面圆轴，其刚度条件为式中，[j′]为许用单位长度扭转角。另外，对于某些特定的杆件，会限制两个指定截面的相对扭转角，其刚度条件可以表达为式中，[j

]为许用扭转角。第18页，课件共52页，创作于2023年2月例4-3图4-5所示圆截面轴AC，承受外力偶矩MA、MB和MC作用。试计算该轴的总扭转角jAC（截面C相对于截面A的扭转角），并校核轴的刚度。已知MA=180N·m，MB=320N·m，MC=140N·m，IP=3.0×105mm4，l=2m，G=80GPa，[j′]=0.5°/m。【解】（1）扭转变形分析。利用截面法，得AB和BC段的扭矩分别为TAB=180N·mTBC=-140N·m第19页，课件共52页，创作于2023年2月则两段的扭转角分别为则轴的总扭转角为（2）刚度校核。轴为等截面轴，AB段的扭矩最大，所以，应校核该段轴的扭转刚度。AB段的扭转角变化率，即单位长度扭转角为可见，该轴满足刚度条件。第20页，课件共52页，创作于2023年2月第三节积分法求梁弯曲变形当直梁发生平面弯曲时，对于细长梁，剪力对其变形的影响一般均可忽略不计，而认为弯曲时各横截面仍保持平面，与弯曲后的梁轴正交。因此，梁的变形可用横截面形心的线位移与截面的角位移表示。横截面的形心在垂直于梁轴方向的线位移，称为挠度（deflection），用w表示不同截面的挠度不相同，且挠度是连续变化的，所以如果沿变形前的梁轴建立坐标轴x，则挠度可以表示为梁的轴线从原来的直线变成一条连续、光滑的曲线，该曲线称为梁的挠曲轴或挠曲线（deflectioncurve），截面形心的轴向位移远小于其横向位移，因而可忽略不计。上式也代表挠曲线的解析表达式，称为挠曲线方程（deflectionequation）。第21页，课件共52页，创作于2023年2月根据平面假设，横截面在梁弯曲变形后，仍与梁轴垂直，则横截面会发生角位移，即绕中性轴转过一个角度，称为转角（slopeofcrosssection），用q表示。由几何关系可知，横截面的转角q与挠曲线在该截面处的切线与坐标轴x的夹角q′相等，即由于梁的变形一般很小，这时转角q也很小，于是有挠曲线与转角之间的近似关系为它表明，横截面的转角等于挠曲线在该截面处的斜率。可见，在忽略剪力影响的情况下，转角与挠度相互关联。在右手坐标系中，挠度w向上为正，向下为负。转角q规定为截面法线与x轴夹角逆时针为正，顺时针为负。第22页，课件共52页，创作于2023年2月1．挠曲线近似微分方程纯弯曲正应力的推导过程可知，在纯弯曲梁的情况下，梁的中性层曲率与梁的弯矩之间关系为由于纯弯曲梁的弯矩为常数，对于等截面梁，弯曲刚度为常数时，曲率半径为常数，其挠曲线为一段圆弧。而当截面上同时存在剪力与弯矩即横力弯曲时，显然这两项内力对梁的变形均有影响。研究表明：当横力弯曲时，若梁的跨度远大于梁的高度，剪力对梁的变形影响可以忽略不计，上式仍可用来计算横力弯曲梁弯曲后的曲率，但由于弯矩不再是常量，上式变为即挠曲线上任一点处的曲率与该点处横截面上的弯矩成正比，而与该截面的抗弯刚度（flexuralrigidity）EI成反比。第23页，课件共52页，创作于2023年2月由高等数学可知，平面曲线w=w(x)上任一点的曲率为将上述关系用于分析梁的变形，可得上式称为挠曲线微分方程，它是一个二阶非线性微分方程。在工程实际问题中，梁的转角一般均很小，因此有(dw/dx)2远小于1，所以上式可简化为第24页，课件共52页，创作于2023年2月d2w/dx2与弯矩的关系如图所示，坐标轴w以向上为正。由该图可以看出，当梁段承受正弯矩时，挠曲线为凹曲线，如图（a）所示，d2w/dx2为正。反之，当梁段承受负弯矩时，挠曲线为凸曲线，如图（b）所示，d2w/dx2为负。可见，d2w/dx2与弯矩M的符号一致。因此上式的右端应取正号，即上式称为挠曲线近似微分方程（approximatelydifferentialequationofthedeflectioncurve），简称为挠曲线微分方程。第25页，课件共52页，创作于2023年2月2．用积分法求梁的弯曲变形将上述挠曲线近似微分方程相继积分两次，依次得C、D为积分常数上述积分常数可利用梁上某些截面的已知位移条件来确定。梁截面的已知位移条件或位移约束条件，称为梁的边界条件（boundaryconditions）。积分常数确定后，即得到梁的挠曲线方程和转角方程，由此可以求出任一截面的挠度与转角。第26页，课件共52页，创作于2023年2月当弯矩方程需要分段建立，或抗弯刚度沿梁轴变化，以致其表达式需要分段建立时，挠曲线近似微分方程也需要分段建立，而在各段的积分中，将分别包含两个积分常数，为了确定这些积分常数，除应利用位移边界条件外，还应利用分段处挠曲线的连续（挠度相等）、光滑（转角相等）条件。因为在相邻段的交接处，相邻两截面应具有相同的挠度和转角。分段处挠曲线所满足的连续、光滑条件，简称为梁位移的连续条件（continuityconditions）。对于分段数为n的静定梁，求解时将包含2n个积分常数，但由于存在n-1个分界面，所以将提供2(n-1)个连续条件，再加上两个位移边界条件，共2n个约束条件，恰好可用来确定2n个积分常数。由此可见，梁的位移不仅与弯矩及梁的抗弯刚度有关，而且与梁位移的边界条件及连续条件有关。第27页，课件共52页，创作于2023年2月例4-4抗弯刚度为EI的等直悬臂梁受均布载荷q作用，如图所示，试求该梁的转角方程和挠曲线方程，并求自由端的转角qB和挠度wB。【解】（1）列出弯矩方程。（2）列出挠曲线近似微分方程并积分。积分C、D为积分常数。第28页，课件共52页，创作于2023年2月（3）确定积分常数。边界条件为将以上边界条件代入，得所以求得（4）将C、D代入并整理得转角方程和挠曲线方程。（5）求qB和wB。（↓）（）第29页，课件共52页，创作于2023年2月例4-5如图所示为一简支梁，梁的C截面处作用一集中力F，设EI为常数。试求梁的转角方程和挠曲线方程，并求qmax和wmax。【解】（1）求支反力和列弯矩方程。由平衡方程可得支反力为弯矩方程为AC段（0≤x≤a）CB段（a≤x≤l）第30页，课件共52页，创作于2023年2月（2）列出挠曲线近似微分方程并积分。由于弯矩方程在C处分段，故应对AC段及CB段分别计算。AC段（0≤x≤a）

积分CB段（a≤x≤l）

其中，C1、D1、C2、D2为积分常数。第31页，课件共52页，创作于2023年2月（3）确定积分常数。四个积分常数，应找出四个边界条件。在A、B支座处，梁的挠度为零，在C处是连续和光滑的，因此在其左、右两侧挠度和转角应相等，即边界条件为C处的光滑条件为C处的连续条件为代入边界条件及连续光滑条件可求得第32页，课件共52页，创作于2023年2月则转角方程和挠曲线方程分别为第33页，课件共52页，创作于2023年2月（4）确定qmax和wmax

最大转角：A、B两端的截面转角为若a>b，则qB>qA，可以断定qB为最大转角最大挠度：由上面计算可知A截面的转角qA为负，可以求得C截面的转角为如果a>b，则qC>0，可见从截面A到截面C，转角由负到正，而挠曲线为光滑连续曲线，则q=0的截面必然在AC段内。令AC段转角等于零，可得x0即为挠度最大值的截面的位置。第34页，课件共52页，创作于2023年2月将x0代入AC段挠度计算公式，可求得最大挠度为当集中力F作用于跨度中点时，显然最大挠度发生在跨度中点，这也可由挠曲线的对称性直接看出。另一种极端情况是集中力无限靠近于杆端支座，如靠近右端支座，此时，所以有

最大挠度为可见即使在这种情况下，发生最大挠度的截面仍然在跨度中点附近。也就是说，挠度为最大值的截面总是靠近跨度中点，所以可以用跨度中点的挠度近似代替最大挠度。第35页，课件共52页，创作于2023年2月可以通过AC段挠度计算公式，令x=l/2，求得跨中的挠度为在极端情况下，集中力无限靠近B端，则这时用中点挠度代替最大挠度所引起的误差为可见在简支梁中，只要挠曲线上无拐点，可用跨度中点挠度来代替其最大挠度，并且不会引起太大的误差。第36页，课件共52页，创作于2023年2月第四节叠加法求梁弯曲变形用积分法求梁弯曲变形，在弯矩方程分段较多时，由于每段均出现两个积分常数，运算较为烦琐，所以工程中发展出许多简化的计算方法，叠加法便是其中的一种。1、载荷叠加法在线弹性、小变形的前提下，挠曲线近似微分方程为线性微分方程，而弯矩又与载荷成线性齐次关系，因此，当梁上同时作用几个载荷时，挠曲线近似微分方程的解，必等于各载荷单独作用时挠曲线近似微分方程的解的线性组合，而由此求得的挠度与转角也一定与载荷成线性齐次关系。变形与载荷成线性关系，即任一载荷使杆件产生的变形均与其他载荷无关。当梁上同时作用几个载荷时，如果梁的变形很小，而且应力不超过材料的比例极限，即可利用叠加法计算梁的位移。只要分别求出杆件上每个载荷单独作用产生的变形，然后将其相加，便可得到这些载荷共同作用时杆件的变形。这就是求杆件变形的载荷叠加法。第37页，课件共52页，创作于2023年2月如图4-10所示的梁，若载荷q、F及Me单独作用时，B截面的挠度分别为(wB)q、(wB)F和，则所有载荷共同作用时该截面的挠度为2、逐段分析叠加法在计算有些梁的变形时，虽然载荷是比较简单的，但是梁需要分段分析，不能再利用前述载荷叠加法。例如，计算图4-11（a）所示梁截面C的挠度wC，（）（↓）（b）图第38页，课件共52页，创作于2023年2月（）（↓）（b）图（c）图（↓）则截面C的总挠度为（↓）上述两种方法前者为分解载荷，后者为分解梁；前者的理论基础是力作用的独立性原理，而后者的依据则是梁段局部变形与梁总体位移间的几何关系。但是，由于在实际求解时常将两种方法联合应用，所以习惯上将二者统称为叠加法（superpositionmethod）。第39页，课件共52页，创作于2023年2月例4-6求图4-12（a）所示梁挠曲线方程，并求梁中点挠度及最大转角。已知M=0.5ql2,梁的抗弯刚度为EI。

【解】梁承受集中力偶和均布载荷作用，首先将载荷简化，将图（a）所示的梁分解为如图（b）、（c）所示的简支梁，一个受集中力偶作用，一个受均布载荷作用。（1）求挠曲线方程。查表可知，在M与q单独作用下梁挠曲线方程分别为第40页，课件共52页，创作于2023年2月根据叠加原理，梁在两个载荷作用下的挠曲线方程为即（2）求最大转角。图（b）所示梁截面A的转角比截面B的转角大，图（c）所示梁截面A和截面B的转角相同。显然两种情况下A、B截面对应的转角方向一致，所以截面A的转角最大，查表4-2可求得梁的最大转角为（）第41页，课件共52页，创作于2023年2月（3）求中点挠度。查表求得梁中点的挠度为（↓）第42页，课件共52页，创作于2023年2月例4-7图4-13（a）所示悬臂梁，同时承受集中力F和均布载荷q作用，且F=qa，试求横截面C的挠度。设抗弯刚度EI为常数。【解】当均布载荷q单独作用时，如图4-13（b）所示，横截面B的转角与挠度为（）（↓）则由于均布载荷的作用，引起截面C的挠度为（↓）第43页，课件共52页，创作于2023年2月当载荷F单独作用时，如图（c）所示，横截面C的挠度为（↑）根据叠加原理，截面C的挠度为（↑）第44页，课件共52页，创作于2023年2月例4-8变截面梁如图所示，试求跨中点C的挠度。【解】采用叠加法计算。由于AB梁的支承、截面惯性矩和载荷都是对称的，其变形也必然是对称的，因此，跨中点C截面的转角为零，挠曲线在C点的切线是水平的这样，就可以把变截面梁的CB部分看作是悬臂梁，如图（b）所示，自由端B在载荷F/2作用下的挠度wB也就在数值上等于原来AB梁跨中点的挠度wC第45页，课件共52页，创作于2023年2月对惯性矩为I的DB段悬臂梁查表可得B截面相对于D截面的位移为将CB梁从D截面假想截开，得到DB和CD两段悬臂梁，如图（c）和（d）所示。D截面上的弯曲内力为第46页，课件共52页，创作于2023年2月B截面由于qD和wD而引起的挠度是对于惯性矩为I1的悬臂梁CD，查表可以求出D截面由于弯矩和剪力引起的转角和挠度为第47页，课件共52页，创作于2023年2月叠加wB1和wB2即可求得AB梁跨中点C的挠度第48页，课件共52页，创作于2023年2月第五节提高梁弯曲刚度的措施从挠曲线的近似微分方程及其积分可以看出，弯曲变形与弯矩大小，跨度长短，横截面的惯性矩和材料