第4讲 立体几何-距离问题与动点问题(答案版)

第4讲立体几何---距离问题与动点问题(答案版)本篇文章主要介绍了立体几何中的距离问题和动点问题，以及相关考点和例题。其中，表面距离问题是一种常见的问题，需要将立体图形展开转化为平面图形，然后运用“两点之间，线段最短”来解决。本文提供了多个例题和解析，帮助读者更好地理解这些问题。4.1表面距离考点1：几何体表面两点最短距离空间几何体表面上两点之间的距离最短问题，通过把立体图形展开转化为平面图形，然后再运用“两点之间，线段最短”来解决。经典精讲在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=a，BC=b，B1B=c，并且a>b>c。求沿着长方体的表面自A到C1的最短线路的长。解析：最短线路的长为a+b+c+2bc。例1：有一个圆柱形杯子，底面周长为12cm，高为8cm，A点在内壁距杯口2cm处，A对面外壁距杯底2cmB处有一只小虫，问小虫至少走多少厘米的路才能到A处饱餐一顿。解析：至少需要走10cm的路。拓2：已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为1，高为8，一质点自A点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达A1点的最短路线的长为32/2。目标班学案1拓3：如图正方体ABCD-A1B1C1D1，其棱长为1，P，Q分别为线段AA1，C1D1上的两点，且AP=CQ=λ。求在正方体侧面上从P到Q的最短距离。解析：最短距离为2。备选：已知以A为顶点的正四面体ABCD，其棱长为1，P，Q分别为AB，CD上的两点，且AP=CQ=λ（λ<1）。求在正四面体表面上从P到Q的最短距离。解析：略。知识点讲解：1.点在直线上的射影：自点A向直线l引垂线，垂足A1叫做点A在直线l上的射影。点A到垂足的距离叫点到直线的距离。2.点在平面内的射影：自点A向平面α引垂线，垂足A1叫做点A在平面α内的射影，这点和垂足间的线段叫做这点到平面的垂线段。垂线段的长度叫做这点到这个平面的距离。3.斜线在平面内的射影：一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点叫做斜足，斜线上一点和斜足间的线段，叫做这点到平面的斜线段。过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面内的射影，垂足与斜足间的线段叫做这点到平面的斜线段在这个平面内的射影。4.求点面距离的方法：①直接法：直接作面的垂线，确定垂足的位置；②等体积法：对同一个三棱锥，从不同的角度选择底和高计算体积并加以比较即可。③转化法：转化成求另一点到该平面的距离，常见的是转化为求与面平行的直线上的点到面的距离。例3是直接法，例4是等积法（也可以用直接法），例5是转化法。经典精讲：【例3】如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=π/2，AB=a，PA⊥面ABCD，PA=a。求点A到平面PBC的距离。解析：首先确定梯形ABCD的高h，h=PA+PC=2a。由于AD∥BC，所以四边形ABCP是平行四边形，PC=AB=a。设点D到平面PBC的距离为x，则点A到平面PBC的距离为h-x。根据勾股定理，有BD^2=AB^2+AD^2=a^2+(2a)^2=5a^2，所以BD=sqrt(5)a。由于∠ABC=π/2，所以BC=AB=sqrt(2)a。根据勾股定理，有CD^2=BC^2+BD^2=2a^2+5a^2=7a^2，所以CD=sqrt(7)a。根据平行四边形的性质，有PD=BC=sqrt(2)a。由于PDC是直角三角形，所以x=PD*sin∠PDC=PD*CD/PC=sqrt(7)a/2，h-x=a/2*sqrt(7)-a=（sqrt(7)-2）a/2。【例4】如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的边长为a，则B1到平面BCD的距离为多少？解析：设B1到平面BCD的距离为x。由于B1在平面ABCD内，所以B1到平面BCD的距离等于B1到直线BC的距离。由于B1C1=CB=CD=a，所以B1C1CD是平行四边形，所以B1C1∥CD。设B1到直线CD的距离为y，则x=y*cos∠BCD=y*BD/BC=y*sqrt(3)。由于B1C1CD是平行四边形，所以y=B1C1=AD1=a。所以x=sqrt(3)a。【例5】如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的边长为a，点P在面ABCD上，AP=a/2，BP=a。求点P到平面A1B1C1D1的距离。解析：设点P到平面A1B1C1D1的距离为x。由于AP=a/2，BP=a，所以∠APB=π/3。由于A1B1C1D1是正方形，所以A1D1∥PB，且A1D1=PB=a。设点Q是PD1上的点，且AQ∥PB，则AQ=PD1=a/2。由于∠APQ=π/3，所以∠A1PQ=π/6，所以∠A1PD1=π/3。由于A1D1=PB=a，所以PD1=2a/3。由于x是点P到平面A1D1D1的距离，所以x=PD1*sin∠A1PD1=2a/3*sin(π/3)=a/3。4.3动点问题探索本节内容主要介绍了立体几何中的动点问题。当一个点在一定的约束条件下位置可以变动时，称这类问题为“动点问题”。动点问题是综合性很强的问题，需要将问题特殊化、空间问题平面化，多需要进行分类讨论。动点问题不是研究固定的点、线、面之间的位置关系，而是在运动中找出其中的变化规律。对知识的灵活应用及迁移能力要求较高。这类问题只能在重视基础知识的前提下，进行适当的练习、体会和总结，才能找到解决这类问题的思路。解决方法的关键在于“转化”。动点体积问题主要要考虑的就是底面积和高在动点变化中的变化情况，选择合适的底面就显得比较重要。动点体积问题在高考中属于难题，有时候可以通过特殊位置或特殊点来解决问题。例6：正方体ABCD-A1B1C1D1中，Q是正方形B1BCC1内的动点，AQ⊥BC1，则Q点的轨迹是什么？解：Q点的轨迹是线段B1C。例7：正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF=1/2，则下列结论中错误的是（A.AC⊥BEB.EF∥平面ABCDC.三棱锥ABEF的体积为定值D.△AEF的面积与△BEF的面积相等）。解：下列结论中错误的是C，因为三棱锥ABEF的体积不是定值。在正四面体ABCD中，棱长为4，M是BC的中点，P在线段AM上运动，过点P作直线l⊥平面ABC，l与平面BCD交于点Q。给出下列命题：①BC⊥面AMD；②Q点一定在直线DM上；③VC-AMD。1.若正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面边长为1，∠B1AB=60°，则点C1到底面ABCD的距离为多少？解析：题目中可能是用了特殊符号，需要改写为正常的文字。已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面边长为1，∠B1AB=60°，求点C1到底面ABCD的距离。答案为3。2.在三棱锥S-ABC中，已知SA⊥BC，SA=BC=4，SA⊥DE，BC⊥DE，且DE=3，则三棱锥S-ABC的体积为多少？解析：已知SA⊥BC，SA=BC=4，SA⊥DE，BC⊥DE，DE=3，求三棱锥S-ABC的体积。答案为8。3.如图，已知P为△ABC外一点，PO⊥平面ABC，垂足为O，若PA、PB、PC两两垂直，且PA=PB=PC=a，求P点到平面ABC的距离。解析：已知P为△ABC外一点，PO⊥平面ABC，垂足为O，PA、PB、PC两两垂直，且PA=PB=PC=a，求P点到平面ABC的距离。答案为3a。4.如图，A、B、C、D是空间四点，在△ABC中，AB=2，AC=BC=2，等边△ADB所在的平面以AB为轴可转动。当△ADB转动过程中，是否总有AB⊥CD？请证明你的结论。解析：已知A、B、C、D是空间四点，在△ABC中，AB=2，AC=BC=2，等边△ADB所在的平面以AB为轴可转动。需要证明当△ADB转动过程中，总有AB⊥CD。证明：当△ADB在转动过程中，总有OC⊥AB，OD⊥AB，∴AB⊥平面COD，∴AB⊥CD。当△ADB转动到与△ABC共面时，仍然有AB⊥CD。故△ADB转动过程中，总有AB⊥CD。5.如图，已知长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=6，AD=4，AA1=3，分别过BC，A1D1的两个平行截面将长方体分成三部分，其体积分别记为V1=VAEA1-DFD1，V2=VEBE1A1-FCF1D1，V3=VB1E1B-C1F1C，若V1:V2:V3=1:4:1，则截面A1EFD1的面积为多少？解析：已知长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=6，AD=4，AA1=3，分别过BC，A1D1的两个平行截面将长方体分成三部分，其体积分别记为V1=VAEA1-DFD1，V2=VEBE1A1-FCF1D1，V3=VB1E1B-C1F1C，且V1:V2:V3=1:4:1，求截面A1EFD1的面积。答案为413。6.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F、P分别为DD1、CD、B1C的中点。求四面体B-PEF的体积。解析：已知棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F、P分别为DD1、CD、B1C的中点，求四面体B-PEF的体积。解法一：连结PC1，则P点是线段BC1的中点，于是V(B-PEF)=V(P-BEF)=V(C1-BEF)=V(B-EFC1)=S/6=16/6=8/3。解法二：四面体B-PEF和三棱锥B-ABC1的体积之和等于长方体ABCD-A1B1C1D1的体积，即V(B-P