2022年吉林省长春市市汽车区第一中学高二数学理月考试卷含解析

2022年吉林省长春市市汽车区第一中学高二数学理月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.下列说法正确的个数有（）（1）三角形、梯形一定是平面图形；（2）若四边形的两条对角线相交于一点，则该四边形是平面图形；（3）三条平行线最多可确定三个平面；（4）平面α和β相交，它们只有有限个公共点；（5）若A，B，C，D四个点既在平面α内，又在平面β内，则这两平面重合．A．2 B．3 C．4 D．5参考答案：B【考点】命题的真假判断与应用．【分析】由平面图形的概念判断（1）正确；由公理1判断（2）正确；画出说明（3）正确，（5）错误；由公理3说明（4）错误．【解答】解：（1）三角形、梯形一定是平面图形，正确；（2）若四边形的两条对角线相交于一点，则两对角线可以确定一个平面，由公理1可知四边形四条边在平面内，该四边形是平面图形，正确；（3）如图，三条平行线最多可确定三个平面，正确；（4）由公理3可知，平面α和β相交，它们有无数个公共点，故（3）错误；（5）若A，B，C，D四个点既在平面α内，又在平面β内，则这两平面重合，错误，如图：∴正确的结论是3个，故选：B．2.圆的半径为(

)A. B. C. D.参考答案：B3.不等式的解集是

（

）AB

CD参考答案：D略4.是抛物线的焦点，是该抛物线上的两点，且，则线段的中点到轴的距离为（

）（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：A略5.从甲袋内摸出1个红球的概率是，从乙袋内摸出1个红球的概率是，从两袋内各摸出1个球，则等于(

)A.2个球不都是红球的概率 B.2个球都是红球的概率C.至少有1个红球的概率 D.2个球中恰好有1个红球的概率参考答案：C分析：根据题意，易得从甲袋中摸出的球不是红球与从乙袋中摸出的球不是红球的概率，进而以此分析选项：对于A，2个球都不是红球，即从甲袋中摸出的球不是红球与从乙袋中摸出的球不是红球同时发生，由相互独立事件的概率公式可得其概率，对于B，2个球都是红球，即从甲袋中摸出的球是红球与从乙袋中摸出的球是红球同时发生，由相互独立事件的概率公式可得其概率，对于C、至少有1个红球与两球都不是红球为对立事件，由对立事件的概率性质可得其概率，对于D，从甲、乙两袋中摸球有三种情况，即2个球都不是红球，2个球都是红球，2个球中恰有1个红球，由互斥事件的概率性质，可得2个球中恰有1个红球的概率，将求得的概率与比较，即可得答案．解答：解：根据题意，从甲袋中摸出1个红球的概率为，则摸出的球不是红球的概率为1-=，从乙袋中摸出1个红球的概率为，则摸出的球不是红球的概率为1-=，依次分析选项，对于A、2个球都不是红球，即从甲袋中摸出的球不是红球与从乙袋中摸出的球不是红球同时发生，则其概率为×=，不合题意；对于B、2个球都是红球，即从甲袋中摸出的球是红球与从乙袋中摸出的球是红球同时发生，则其概率为×=，不合题意；对于C、至少有1个红球与两球都不是红球为对立事件，则其概率为1-=，符合题意；对于D、由A可得，2个球都不是红球的概率为，由B可得2个球都是红球的概率为，则2个球中恰有1个红球的概率为1--=，不合题意；故选C．6.已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左顶点与抛物线y2=2px的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（﹣2，﹣1），则双曲线的焦距为（）A．2 B．2 C．4 D．4参考答案：B【考点】双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的关系．【分析】根据题意，点（﹣2，﹣1）在抛物线的准线上，结合抛物线的性质，可得p=4，进而可得抛物线的焦点坐标，依据题意，可得双曲线的左顶点的坐标，即可得a的值，由点（﹣2，﹣1）在双曲线的渐近线上，可得渐近线方程，进而可得b的值，由双曲线的性质，可得c的值，进而可得答案．【解答】解：根据题意，双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（﹣2，﹣1），即点（﹣2，﹣1）在抛物线的准线上，又由抛物线y2=2px的准线方程为x=﹣，则p=4，则抛物线的焦点为（2，0）；则双曲线的左顶点为（﹣2，0），即a=2；点（﹣2，﹣1）在双曲线的渐近线上，则其渐近线方程为y=±x，由双曲线的性质，可得b=1；则c=，则焦距为2c=2；故选B．7.设随机变量服从二项分布，且期望，，则方差等于(

)A．

B．

C.

D．2参考答案：C8.设集合A={x丨﹣2≤x＜4}，B={x丨x2﹣ax﹣4≤0}，若B?A，则实数a的取值范围为（）A．[﹣1，2] B．[﹣1，2） C．[0，3） D．[0，3]参考答案：C【考点】集合的包含关系判断及应用．

【专题】计算题；集合．【分析】因为B?A，所以不等式x2﹣ax﹣4≤0的解集是集合A的子集，即函数f（x）=x2﹣ax﹣4的两个零点在[﹣2，4）之间，结合二次函数的图象性质只需f（﹣2）≥0，f（4）＞0，列不等式组即可得a的取值范围．【解答】解：∵△=a2+16＞0∴设方程x2﹣ax﹣4=0的两个根为x1，x2，（x1＜x2）即函数f（x）=x2﹣ax﹣4的两个零点为x1，x2，（x1＜x2）则B=[x1，x2]若B?A，则函数f（x）=x2﹣ax﹣4的两个零点在[﹣2，4）之间注意到函数f（x）的图象过点（0，﹣4）∴只需，解得：0≤a＜3，故选：C．【点评】本题考查了集合之间的关系，一元二次不等式的解法，二次函数的图象和性质，函数方程不等式的思想．9.若不论为何值，直线与曲线总有公共点，则的取值范围是（

）A.

B.

C.

D.参考答案：B10.设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)，若x＝－1为函数f(x)ex的一个极值点，则下列图象不可能为y＝f(x)的图象是()．

参考答案：D略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.的展开式中的常数项为____________．参考答案：-512.设是两条不同的直线，是三个不同的平面，给出下列四个命题：

①若，，则

②若，，，则

③若，，则

④若，，则其中正确命题的序号是

参考答案：①和②略13.已知△ABC中，角A、B、C的对边分别为、、c且，，，则

．参考答案：514.已知不等式对一切恒成立，则实数的取值范围是

.参考答案：15.如图，在矩形中，为边的中点，，分别以为圆心，1为半径作圆弧，若由两圆弧及边所围成的平面图形绕直线旋转一周，则所形成的几何体的表面积为

.参考答案：16.从集合的所有非空子集中，等可能地取出一个;记所取出的非空子集的元素个数为，则的数学期望E=

*

.参考答案：略17.若平面向量和互相平行，其中.则

.参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知曲线C：xy=1，过C上一点An（xn，yn）作一斜率为的直线交曲线C于另一点An+1（xn+1，yn+1），点列An（n=1，2，3，…）的横坐标构成数列{xn}，其中．（1）求xn与xn+1的关系式；（2）求证：{}是等比数列；（3）求证：（﹣1）x1+（﹣1）2x2+（﹣1）3x3+…+（﹣1）nxn＜1（n∈N，n≥1）．参考答案：【考点】数列递推式；等比关系的确定；不等式的证明．【专题】综合题；压轴题．【分析】（1）根据点An的坐标表示出斜率kn，代入求得xnxn+1=xn+2整理后即可求得xn与xn+1的关系式；（2））记，把（1）中求得xn与xn+1的关系式代入可求得an+1=﹣2an推断数列{an}即：{}是等比数列；（3）由（2）可求得的表达式，进而求得xn，进而看n为偶数时，求得（﹣1）n﹣1xn﹣1+（﹣1）nxn=＜，进而可证（﹣1）x1+（﹣1）2x2+（﹣1）3x3+…+（﹣1）nxn＜1；再看n为奇数时，前n﹣1项为偶数项，则可证出：（﹣1）x1+（﹣1）2x2++（﹣1）n﹣1xn﹣1+（﹣1）nxn＜＜1，最后综合原式可证．【解答】解：（1）过C：上一点An（xn，yn）作斜率为kn的直线交C于另一点An+1，则，于是有：xnxn+1=xn+2即：．（2）记，则，因为，因此数列{}是等比数列．（3）由（2）知：，．①当n为偶数时有：（﹣1）n﹣1xn﹣1+（﹣1）nxn==，于是在n为偶数时有：．1在n为奇数时，前n﹣1项为偶数项，于是有：（﹣1）x1+（﹣1）2x2++（﹣1）n﹣1xn﹣1+（﹣1）nxn．综合①②可知原不等式得证．【点评】本题主要考查了数列的递推式．考查了学生推理能力和基本的运算能力．19.已知函数f（x）=，若数列{an}（n∈N*）满足：a1=1，an+1=f（an）（1）证明数列为等差数列，并求数列{an}的通项公式；（2）设数列{cn}满足：cn=，求数列{cn}的前n项的和Sn．参考答案：【考点】数列的求和．【专题】转化思想；数学模型法；等差数列与等比数列．【分析】（1）an+1=f（an）=，两边取倒数可得；﹣=2，即可证明．（2）cn==（2n﹣1）?3n，利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出．【解答】（1）证明：∵an+1=f（an）=，两边取倒数可得；=+2，即﹣=2，∴数列为等差数列，首项为1，公差为2．∴=1+2（n﹣1）=2n﹣1，∴an=．（2）解：cn==（2n﹣1）?3n，∴数列{cn}的前n项的和Sn=3+3×32+5×33+…+（2n﹣1）?3n，3Sn=32+3×33+5×34+…+（2n﹣3）?3n+（2n﹣1）?3n+1，∴﹣2Sn=3+2（32+33+…+3n）﹣（2n﹣1）?3n+1=﹣3﹣（2n﹣1）?3n+1=2（1﹣n）?3n+1﹣6，∴Sn=（n﹣1）?3n+1+3．【点评】本题考查了“错位相减法”、等差数列与等比数列的前n项和公式、递推关系的应用、“裂项求和”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20.写出命题：“若x+y=5则x=3且y=2”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．参考答案：【考点】四种命题．【分析】首先根据逆命题、否命题、逆否命题的基本概念，分别写出原命题的逆命题、否命题、逆否命题；然后根据等价命题的原理和规律，判断命题的真假即可．【解答】解：原命题是：若x+y=5则x=3且y=2，逆命题是：若x=3且y=2则x+y=5

（真），否命题是：若x+y≠5则x≠3或y≠2（真）逆否命题是：若x≠3或y≠2则x+y≠5（假）21.如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，AB=2，AD=，∠DAB=，PD⊥AD，PD⊥DC．（Ⅰ）证明：BC⊥平面PBD；（Ⅱ）若二面角P﹣BC﹣D为，求AP与平面PBC所成角的正弦值．参考答案：【考点】MI：直线与平面所成的角；LW：直线与平面垂直的判定．【分析】（1）证明BC⊥BD，PD⊥BC，即可证明BC⊥平面PBD；（2）确定∠PBD即为二面角P﹣BC﹣D的平面角，分别以DA、DB、DP为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，用坐标表示向量及平面PBC的法向量，利用向量的数量积公式，即可求得AP与平面PBC所成角的正弦值．【解答】（1）证明：∵AB=2，AD=，∠DAB=，∴BD==1∴AB2=AD2+BD2，∴AD⊥BD，∴BC⊥BD∵PD⊥AD，PD⊥DC，∴PD⊥底面ABCD，∴PD⊥BC又∵PD∩BD=D，∴BC⊥平面PBD；（2）解：由（1）所证，BC⊥平面PBD，所以∠PBD即为二面角P﹣BC﹣D的平面角，即∠PBD=而BD=1，所以PD=，分别以DA、DB、DP为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则A（，0，0），B（0，1，0），C（﹣，1，0），P（0，0，）所以=（﹣，0，），=（﹣，0，0），=（0，﹣1，），设平面PBC的法向量为=（a，b，c），∴可解得=（0，，1），∴AP与平面PBC所成角的正弦值为sinθ=||=．22.已知函数，.（1）