2023年工程硕士考试(GCT)数学考试题库

2023年工程硕士考试(GCT)数学考试题库卷I一.历年考点试题黑钻版(共50题)1.设则f(x)=

．A.ex-1B.ex+2C.ex+1D.e-x2.非齐次线性方程AX=β有两个不相同的解ζ1，和ζ2，它的导出组有基础解系η1和η2则AX=β的通解是

．

(A)c1η1+c2η2，c1，c2任取

(B)

(C)c1η1+c2(ζ1-ζ2)+ζ1，c1，c2任取

(D)c1η1+c2η2+(ζ1+ζ2)，c1，c2任取3.有两个半径为6cm、8cm，深度相等的圆柱形容器甲和乙，把装满容器甲里的水倒入容器乙里，水深比容器深度的低1cm，那么容器的深度为______cm。A.9B.9.6C.10D.124.抛物线y2=-8x中，以点(-1，1)为中点的弦所在的直线的方程为

．A.x-4y-3=0B.x+4y+3=0C.4x+y-3=0D.4x+y+3=05.函数(x≥1)的反函数是______．A.y=x2-2x+2(x＜1)B.y=x2-2x+2(x≥1)C.y=x2-2x(x＜1)D.y=x2-2x(x≥1)6.向量组a1=(1，-1，2，4)T，a2=(0，3，1，2)T，a3=(3，0，7，14)T，a4=(1，-2，2，0)T，a5=(2，1，5，10)T的极大线性无关组不能是

。A.a1，a2，a4B.a2，a3，a4C.a1，a4，a5D.a1，a3，a57.以下命题正确的是

．A.若α1，…，αm(m＞2)线性无关，则其中每一个向量都是其余向量的线性组合B.α1，…，αm(m＞2)线性无关的充要条件是任意两个向量都线性无关C.若α1，α2线性相关，β1，βα2，线性相关，则α1+β1，α2+β2也线性相关D.若α1，α2线性无关，则α1+α2，α1-α2也线性无关8.9.直线ax+b+c=0(abc≠0)与圆x2+y2=1相切，则三条边长分别为|a|、|b|、|c|的三角形是

．A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等边三角形10.从正方体的6个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有

种。A.8B.12C.16D.2011.12.在圆心为O，半径为15的圆内有一点P，若OP=12，则在过P点的弦中，长度为整数的有

．A.28条B.26条C.24条D.22条13.14.如图所示，矩形ABCD的对角线BD过坐标原点O，矩形的边分别平行于坐标轴，点C在反比例函数的图像上。若A点的坐标为(-2，-2)，则k=______。

A.2B.1C.0D.-115.16.的展开式中x3项的系数为______。A.-84B.-68C.84D.7217.18.设双曲线的左，右焦点分别是F1，F2。若P是该双曲线右支上异于顶点的一点，则以线段PF2，为直径的圆与以该双曲线的实轴为直径的圆的位置关系是

。A.外离B.相交C.外切D.内切19.若a＞b＞1，，则

。A.R＜P＜QB.P＜Q＜RC.Q＜P＜RD.P＜R＜Q20.21.若复数，则|z1-z2|=______．

A．2

B．

C．

D．122.如图2—11，长方形ABCD中，三角形AOB是直角三角形且面积为54，OD=16，那么长方形ABCD的面积是

．

A.360B.300C.280D.无法计算23.如下图所示，曲线y=f(x)上任一点P的切线为PT，以PT为斜边的直角三角形PTQ的面积为则y与y'满足的方程是______．

A.y'=yB.y'=-yC.y’2=yD.y'=y224.三阶矩阵A满足|3A+2E|=0，|-5A+E|=0，|2A+5E|=0，则A的3个特征值是

。

25.在同一坐标系内，画出两条直线l1：y=ax+b，y=bx+a，那么正确的图形只可能县

．

26.如果函数f(x)在x0处可导，△f(x0)=f(x0+△x)-f(x0)，则极限(

)．A.等于f'(x0)B.等于1C.等于0D.不存在27.设Am×n=(α1，α2，…，αn)=(m＞n)下述判断正确的是

．A.因m＞n，所以秩r(β1，…，βm)>r(α1，α2，…，αn)B.若r(A)=n，则方程组AX=0没有非零解C.若α1，α2，…，αn线性无关，则β1…，βm也无关D.若r(A)=r＜n，则α1，α2，…，αn中任意r个向量线性无关28.求=______。A.4e2-6B.8e2+6C.2e2+6D.-2e2-629.菱形ABCD的周长为20cm，对角线AC的长为8cm，则此菱形内切圆的周长与面积分别是______．

A．

B．

C．

D．30.函数的定义域为

．A.(-1，0)B.(-1，0)∪(0，2]C.(0，2)D.(-1，2)31.32.33.34.f(x)在(-∞，+∞)上连续，且f(x)＞0，则的单调性为______．A.在(-∞，+∞)上单调增加B.在(-∞，+∞)上单调减少C.在(-∞，0)上单调增加，在(0，+∞)上单调减少D.在(-∞，0)上单调减少，在(0，+∞)上单调增加35.36.37.设f'(x0)=f''(x0)=0，f'''(x0)，则

。A.f'(x0)是f'(x)的极大值B.f(x0)是f(x)的极小值C.f(x0)是f(x)的极大值D.(x0，f(x0))是曲线的拐点38.修整一条水渠，原计划由16人修，每天工作7.5h，6天可以完成任务．由于特殊原因，现要求4天完成，为此又增加了2人，现在每天要工作的时间为______h．A.7B.8C.9D.1039.40.函数f(x)=xcosx-5sinx+2，若f(2)=a，则f(-2)=

．A.-aB.2+aC.2-aD.4-a41.如图所示，用一个平面去截一个正方体，得到一个三棱锥，在这个三棱锥中，除截面外的三个面的面积分别为A1、A2、A3，则该三棱锥的体积为______。

A．

B．

C．

D．42.甲乙两位长跑爱好者沿着社区花园环路慢跑，如两人同时、同向，从同一点A出发，且甲跑9m的时间乙只能跑7m，则当甲恰好在A点第二次追及乙时，乙共沿花园环路跑了

圈．A.14B.15C.16D.1743.44.某商店以每件21元的价格从厂家购入一批商品，若每件商品售价为a元，则每天卖出(350-10a)件商品，但物价局限定商品出售时，商品加价不能超过进价的20%，商店计划每天从该商品出售中至少赚400元。则每件商品的售价最低应定为______元。A.21B.23C.25D.2645.46.47.48.若奇函数f(x)在(0,+∞)上是增函数，又f(-3)=0，则{x|x·f(x)＜0}可表述为

。A.(-3,0)∪(3,+∞)B.(-3,0)∪(0,3)C.(-∞,-3)∪(3,+∞)D.(-∞，-3)∪(0,3)49.50.设f(0)=0，则f(x)在点x=0可导的充要条件是______存在。

A．

B．

C．

D．卷I参考答案一.历年考点试题黑钻版1.参考答案：C，故f(x)=ex+1，选(C)．2.参考答案：B

因为是Ax=β的一个解，η，η1+η2是Ax=0的两个线性无关的解，是基础解系．

(A)中少了Ax=β的特解；(B)中ζ1+ζ2不是Ax=β的解；

(C)中η与ζ1-ζ2也能线性相关；所以选(B)．3.参考答案：B[解析]V甲=V水，设容器深度为h，则有水在容器乙的深度为，则有，选B。4.参考答案：D

设该直线为y=kx+1+k，代入抛物线方程有k2x2+(2k2+2k+8)x+(k+1)2=0，则有，直线方程为4x+y+3=0，选(D)．5.参考答案：B[解析]函数的定义域是[1，+∞)，值域也是[1，+∞)．由两边平方，解得x=(y-1)2+1，即x=y2-2y+2．得原来函数的反函数是y=x2-2x+2，其定义域即原来函数的值域为[1，+∞)．

故选B．6.参考答案：D[解析]对(a1a2a3a4a5)作初等行变换，有

由于极大线性无关组中必有a4，故正确答案为D。7.参考答案：D

根据定理可知，答案(D)．8.参考答案：B9.参考答案：B[解析]根据直线与圆相切，有，所以a2+b2=c2，选(B)．10.参考答案：B[解析]记正方体的6个面为上、下、左、右、前、后，那么，从中取3个面有两个不相邻者，可分为3类：

第一类：选取的3个面不含前、后面，有4种不同取法；

第二类：选取的3个面不含左、右面，也有4种不同取法；

第三类：选取的3个面不含上、下面，同样有4种不同取法。

故应用加法原理，得不同取法数为N=4+4+4=12。

故正确答案为B。11.参考答案：C12.参考答案：C

显然过P点的弦中，最短为垂直于过P点的半径，最长的为圆的直径．而最短的弦为18，最长的为30，介于二者之间有的2×11=22，共24条，选(C)．13.参考答案：C14.参考答案：B[解析]设矩形ABCD的边长分别为AD=a，AB=b，且A点的坐标为(-2，-2)，则其他点的坐标为B(-2，-2+b)、C(-2+a，-2+b)和D(-2+a，-2)。

因为矩形ABCD的对角线BD过坐标原点O，所以有，即，(-2+a)(-2+b)=4。

又点C在反比例函数的图像上，故有，

即3k+1=(-2+a)(-2+b)=4，解得k=1，正确答案为B。15.参考答案：C16.参考答案：A[解析]设所求项是第r+1项，则

令9-2r=3，得r=3，x3项的系数是，

故正确答案为A。17.参考答案：B18.参考答案：C[解析]圆锥曲线问题。设点P的坐标为P(x,y)，PF2的中点为M。根据双曲线的焦半径公式可得，|PF2|=ex-a，故两个圆的半径和为。又两个圆的圆心距离，利用容易计算可得d2-s2=0，由此可以推出d=s，所以两个圆外切。故正确的答案是C选项。19.参考答案：B[解析]解法一：由a＞b＞1，知lga＞lgb＞0。

又因为P＜Q，且

故，从而得P＜Q＜R

解法二：取a=10000，b=100，则lga=4，lgb=2从而

R=lg5050＞lg1000＞3，故可排除A、C、D。

故正确答案为B。20.参考答案：D21.参考答案：B[解析]本题主要考查了复数的除法运算与复数模的计算．

因为

所以

故正确选项为B．22.参考答案：B由OD=16及BO·AO=54结合AO2=BO·OD，求出OB=9，AO=12

S四边形ABCD=AO·BD=300，选(B)．23.参考答案：D[解析]见下图，曲线y=f(x)在点P(x，y)的切线方程为Y-y=y'(X-x)，令Y=0，得所以T点的横坐标为因此

于是有y'=y2．

故选D．

24.参考答案：B[解析]根据A满足的3个等式知，至少有一个满足下列三式

3λ+2=0．-5λ+1=0．2λ+5=0

即有，A的3个特征值为。

故B为正确答案。25.参考答案：B

用排除法，只有a＞0，b＜0时与选项(B)的图像对应，选(B)．26.参考答案：C[解析]df(x0)=f(x0+△x)-f(x0)，=0，选(C)．27.参考答案：B

(A)矩阵只不过是改变了形式，行秩=列秩，即错误．

(B)若r(A)=n，方程组有唯一解，对于AX=0齐次线性方程组，唯一解必为零解，因此(B)对的．

(C)β1，β2，…βm，个数为m，βi的维数为n，m＞n，即个数大于维数，β1，β2，…βn必相关，α1，α2…α3无关也没用，(C)错误．

(D)若α1α2…αn中含有αi=0的向量，则任意r个向量中有相关的，因此(D)错误的，选(B)．28.参考答案：C[解析]

得正确答案为C。29.参考答案：D[解析]如下图所示，设菱形中心为O．菱形周长为20cm，因此边长为5cm．又AC为8cm，所以

菱形内切圆半径等于直角三角形AOD中AD边上的高，

故选D．30.参考答案：B

由定义可知：所以为(-1，0)∪(0，2]，选(B)．31.参考答案：A32.参考答案：A33.参考答案：A34.参考答案：A[解析]

因f(x)＞0，当x＜0时，所以

当x＞0时，所以，因此在(-∞，+∞)上F'(x)≥0．从而F(x)在(-∞，+∞)上是单调增加的．

故选A．35.参考答案：C36.参考答案：C37.参考答案：D[解析]由而f''(x)＜0，从而D为正确答案。38.参考答案：D[解析]设每天要工作x(h)，则x满足

16×7.5×6=(16+2)×x×4，

解得x=10h．

故选D．39.参考答案：B40.参考答案：Cf(2)=2cos2-5sin2+2