高二理科数学必修2和选修2-1复习巩固测试卷

高二理科数学必修2和选修2-1复习巩固测试卷必修二和选修2-1综合测试(2)一.选择题(4×10=40分)1.已知“a＝－1”是“直线ax＋3y＋3＝和直线x＋(a－2)y＋1＝平行”的充要条件。2.有下列命题，其中真命题的个数是3。3.直线y＝x＋3与双曲线2x^2/a^2-2y^2/b^2=1(a＞0，b＞0)的交点个数是2。4.直线2xcosα－y－3＝0,α∈(π/3，π/2)，的倾斜角的取值范围是(π/3，π/2)。5.过抛物线y^2＝2x的焦点作一条直线与抛物线交于A，B两点，它们的横坐标之和等于2，则这样的直线有且只有两条。6.已知△ABC的顶点A(－5，0)，B(5，0)，△ABC的内切圆圆心在直线x＝3上，则顶点C的轨迹方程是x^2/169+y^2/256=1(x>3)。7.已知A，B，P是双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1(a＞0，b＞0)上不同的三点，且A，B连线经过坐标原点，若直线PA，PB的斜率乘积k_PA·k_PB=3，则该双曲线的离心率为2。8.等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y^2＝16x的准线交于A，B两点，|AB|=4/3，则C的实轴长为2。9.已知F_1,F_2分别是双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1(a＞0，b＞0)的左右焦点，P为双曲线右支上一点，满足∠PF_1F_2=π/2，连接PF_1交y轴于点Q，若|QF_2|=2c，则双曲线的离心率是√(1+4c^2/a^2)。注：修改了部分公式的排版。10.在三棱锥P-ABC中，已知∠PAC=∠PAB=45°，∠BAC=60°，求PA与底面ABC所成角的余弦值。解：由三棱锥的特殊性质可知，PA垂直于底面ABC，所以PA与底面ABC所成角的余弦值等于底面ABC的法向量与PA的向量积的模除以两个向量的模的积。设底面ABC的法向量为n，则n=[AB,AC]=[1,0,0]×[cos60°,sin60°,0]=[0,0,1]，PA的向量为a=[cos45°,sin45°,h]，其中h为PA在底面ABC所在平面上的投影长度。则n·a=0+0+h=√2h，|n|=1，|a|=√(2+h^2)，所以cos∠PA-ABC=n·a/|n||a|=h/√(2+h^2)，代入h=tan45°·PA得cos∠PA-ABC=1/√2，选项A。12.如图是一个几何体的三视图，若该几何体的体积是33，则a=（），该几何体的表面积为（）。解：由三视图可知该几何体是一个正方形棱柱，底面边长为a，高为a/2，侧面积为2a×a/2=𝑎^2，底面积为a^2，故总表面积为2𝑎^2+𝑎^2=3𝑎^2。又已知体积为33，即a^2×a/2=33，解得a=3，故表面积为27，选项为33和27。13.已知抛物线C：y^2=2px（p>0）的方程，且表示圆，求圆心坐标和半径。解：由题意可知，抛物线的焦点在原点，且2p等于圆的直径。设圆的方程为(x-a)^2+(y-b)^2=r^2，则焦点F的坐标为(0,p)，代入圆的方程得a^2+b^2-r^2=0。又因为抛物线的准线与y轴平行，所以圆的中心在y轴上，即a=0。代入上式得b^2=r^2，又因为2p=r，所以b=p，故圆心坐标为(0,p)、半径为p，选项为(0,p)和p。14.已知抛物线C：y^2=2px（p>0）的焦点为F(1,p)，M为抛物线上的动点，A(7,4)，求|MA|+|MF|的最小值。解：设M的坐标为(x,y)，则|MA|^2=(x-7)^2+(y-4)^2，|MF|^2=(x-1)^2+(y-p)^2，由于|MA|+|MF|是定值2p，所以要求|MA|^2+|MF|^2的最小值。根据均值不等式，有|MA|^2+|MF|^2≥2|MA||MF|=4p，当且仅当M在MF的延长线上时取等，所以最小值为2√2p，选项为2√2p。15.某几何体的三视图如图所示，求该几何体的体积和表面积。解：由三视图可知该几何体是一个正方体，底面边长为3，高为3，故体积为27。由于正方体的6个面都是相等的正方形，故表面积为6×3^2=54，选项为27和54。16.点M(5,3)到抛物线y=ax^2(a≠0)的准线的距离为6，求抛物线的方程。解：设抛物线的准线方程为y=k，则抛物线的方程为y=ax^2+k。由于准线与抛物线的焦点在同一直线上，所以抛物线的焦点也在直线y=k上，设焦点坐标为(0,f)，则f=k/4a。由于点M到准线的距离为6，所以|3-ak|/√(1+a^2)=6，即|3/f-ak/f|=12/√(1+a^2)，代入f=k/4a得|3k-4a^2|/√(16a^2+k^2)=12/√(1+a^2)，解得k=±2√2，代入|3/f-ak/f|=12/√(1+a^2)得a=±1/2，故抛物线的方程为y=±1/2x^2±2√2。17.设双曲线C：x^2/a^2-y^2/b^2=1(a>b>0)的一条渐近线与抛物线y^2=x的一个交点的横坐标为x，若x>1，则双曲线C的离心率e的取值范围是多少？解：双曲线的渐近线方程为y=±b/a·x，与抛物线y^2=x交点的横坐标为x，代入双曲线的方程得y=±b/a·√(x^2-a^2)，由于x>1，所以y>0。又因为双曲线的离心率e=√(a^2+b^2)/a，所以要使离心率最小，应取b=a，此时e=√2。当b>a时，离心率大于√2，故答案为e∈(√2,∞)。18.长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AA1=2，AD=1，E为C1D的中点，则异面直线B1C1与AE所成角的余弦值为多少？解：由于AE=1/2C1E，所以AE与C1E的夹角为60°，又因为B1C1与C1E垂直，所以B1C1与AE的夹角为30°，故所求余弦值为cos30°=√3/2。19.已知四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD//BC，AB⊥BC，AB=AD=3，BC=6，又PB⊥平面ABCD，且PB=6，点E在棱PD上，且DE=3PE。(1)求证：BE⊥平面PCD；(2)求二面角A-PD-B的正切值。解：(1)连PE交平面ABCD于点F，则PF=PE/3，又因为PB⊥平面ABCD，所以PF⊥PB，故PF是平面PCD的一条高，又因为BE∥PF，所以BE⊥平面PCD。(2)设∠A-PD-B的平面为α，PD∩α=M，PC∩α=N，则二面角A-PD-B的正切值为tan∠M-PC-N。连接PE，交α于点G，则PE∥BC，所以PE与PC的距离相等，即|PG|=|PC|，又因为DE=3PE，所以|DG|=4|PG|=4|PC|。又由于PC⊥AB，所以∠CPB=90°，所以|CB|=√(BC^2+PC^2)=6√(1+|PB|^2/36)=6√(1+1/36)=2√37/3。又因为ABCD