2022-2023学年上海市杨浦区重点学校高三（上）期末数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2022-2023学年上海市杨浦区重点学校高三（上）期末数学试卷一、单选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.若1−2i是关于x的实系数方程xA.b=2，c=3 B.b=2，c=−1

2.a，b，c表示直线，α表示平面，下列命题正确的是(

)A.若a//b，a//α，则b//α B.若a⊥b，b⊥α，则a⊥α

3.已知函数f(x)是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f(x)=−x2A.2 B.−2 C.4 D.4.设函数f(x)=x，点O(0,0A.3 B.4 C.5 D.6二、填空题（本大题共12小题，共54.0分）5.函数f(x)=6.已知复数z=1+3ii(i是虚数单位7.已知实数k∈{−2,−1,−128.已知圆锥的母线长为4，母线与旋转轴的夹角为30°，则该圆锥的侧面积为______．9.在等比数列{an}中，Sn为其前n项和，已知a5=2S410.已知a=(1,2),b=11.已知F是抛物线y2=x的焦点，A、B是该抛物线上的两点，|AF|+|12.在(3x−2x)13.给出如下命题：

①已知随机变量服从二项分布B(n,p)，若E(X)=30，D(X)=20，则p=23；

②将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差恒不变；

③设随机变量ξ服从正态分布N(0,1)，若14.设a>0，函数f(x)=x+2(1−15.在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与16.已知函数f(x)=ex+mlnx，(m∈R,e为自然对数的底数三、解答题（本大题共5小题，共76.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.(本小题12.0分)

已知四棱锥P−ABCD的底面ABCD为菱形，且∠ABC=60°，PB=PD=AB=2，P18.(本小题14.0分)已知向量a→=(12(Ⅰ)求函数f((Ⅱ)已知△ABC的三个内角分别为A，B，C，若有f(219.(本小题14.0分)

某地区森林原有木材存量为a，且每年增长率为20%，因生产建设的需要每年年底要砍伐的木材量为b，设an为n年后该地区森林木材的存量．

(1)求an的表达式；

(20.(本小题18.0分)

已知椭圆Ω：9x2+y2=m2(m>0)，直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与Ω有两个交点A，B，线段AB的中点为M．

(1)若m=3，点K在椭圆Ω上，F1，F2分别为椭圆的两个焦点，求KF1⋅KF2的范围；21.(本小题18.0分)

已知函数f(x)=aln(x−a)−12x2+x．

(1)当a=0时，求函数f(x)过点(2,f(2))的切线方程；答案和解析1.【答案】D

【解析】解：∵1−2i是关于x的实系数方程x2+bx+c=0的一个复数根，

∴1+2i是关于x的实系数方程2.【答案】D

【解析】解：对于A，∵a//b，∴a与b可以确定平面β．

若β//α，则b//β；

若α∩β=l，∵a//平面α，∴a//l．

取l为b，则b⊂α，故A不正确；

对于B，因为直线a⊥b，直线b⊥α，所以若a⊄α，则a//α，或者a⊂α，故B不正确；

对于C，若a⊥c，b⊥c，则a与3.【答案】C

【解析】解：作出函数f(x)的图象如下图所示，

由图象可知，要使方程m(f(x))2+nf(x)+1=0恰有7个不同的实数根，则f(x)=12或f(4.【答案】B

【解析】解：由题意知：sinαn=n|OAn|，|OAn|2=n2+n2=n2+n

∴sinα5.【答案】{x【解析】解：要使函数有意义，则：1−2x≥0，解得：x≤12．

函数的定义域为：{x|6.【答案】−1【解析】解：z=1+3ii=3−i，

则复数z的虚部为−1．7.【答案】−2【解析】解：∵幂函数f(x)=xk为偶函数，且在(0,+∞)上严格递减，

∴k为负偶数．

结合实数k8.【答案】8π【解析】解：由题意，底面的半径r=2，

∴该圆椎的侧面积S=π×2×4=8π，9.【答案】3

【解析】解：∵a5=2S4+3，a6=2S5+3，

若q=1，则a1=8a1+3a1=10a1+3，不符合题意

若q≠1

∴a1q4=210.【答案】13【解析】解：∵a=(1,2),b=(−3,2)，11.【答案】54【解析】解：由于F是抛物线y2=x的焦点，

得F(14,0)，准线方程x=−14，

设A(x1,y1)，B(x2,y2)，

∴|AF|+|BF|=x112.【答案】112

【解析】解：由题意可得：2n=256，解得n=8．

(3x−2x)8的通项公式为：Tr+1=C8r(3x)8−13.【答案】②③【解析】解：根据二项分布的数学期望和方差的公式，可得E(X)=np=30，D(X)=np(1−p)=20，

解得p=13，所以①错误；

根据数据方差的计算公式可知，将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差恒不变，所以②正确；

由正态分布的图象的对称性可得P(−1<ξ≤0)14.【答案】(11【解析】解：函数y=2x−1与y=f(x)的图象有且仅有两个不同的公共点，

即方程2x−1=x+2(1−x)sin(ax)有两不同根，

也就是(x−1)(2sinax+1)=0有两不同根，

∵x∈(0,1)，15.【答案】3

【解析】解：如图：以A为原点，以AB，AD所在的直线为x，y轴建立如图所示的坐标系，

则A(0,0)，B(1,0)，D(0,2)，C(1,2)，

∵动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上，

设圆的半径为r，

∵BC=2，CD=1，

∴BD=22+12=5

∴12BC⋅CD=12BD⋅r，

∴r=255，

∴圆的方程为(x−1)16.【答案】[0【解析】解：对任意正数x1，x2，当x1>x2时都有f(x1)−f(x2)>x1−x2成立，

即为f(x1)−x1>f(x2)−x2成立，

可得g(x)=f(x)−x在(0,+∞)为增函数，

于是当x>0时，g17.【答案】解：(1)证明：∵PB=PD，△PBD是等腰三角形，O是BD的中点，

∴PO⊥BD，

同理PO⊥AC，

又BD∩AC=O，BD⊂平面ABCD，AC⊂平面ABCD，

∴PO⊥平面ABCD；

(2)∵四边形ABCD是菱形，

∴BD⊥AC，

建立以O为原点的空间直角坐标系，如图所示：

则A(0,−1,【解析】(1)由题意得PO⊥BD，PO⊥A18.【答案】解：(1)由题意a//b：

可得：12f(x)=12sinx+32cosx

⇔f(x)=2sin(x+π3)

f(x)的最小正周期T=2πω=2π1=2π

sinx的图象和性质可知：sin(x+π3)的最大值是1，

∴f(x)=2s【解析】(1)根据向量平行的坐标关系求出f(x)的解析式，化简成为y=Asin(19.【答案】解：(1)设第一年的森林的木材存量为a1，第n年后的森林的木材存量为an，

则a1=a(1+0.2)−b=1.2a−b，a2=1.2a1−b=1.2a2−(1.2+【解析】(1)要求出an的表达式，列出前几项观察规律，从而推出an的表达式；

(2)20.【答案】解：(1)当m=3时，椭圆方程为x2+y29=1，F1(0,22)，F2(0,−22)，

设K(cosα,3sinα)，

则KF1=(−cosα,22−3sinα)，KF2=(−cosα,−22−3sinα)，

∴KF1⋅KF2=cos2α+9sin2α−8=8sin2α−7，

∵0≤sin2α≤1，

∴−7≤【解析】(1)设P(cosα,3sinα)，用α表示出KF1⋅KF2，得出结论；

(2)设直线l方程为21.【答案】解：(1)∵f(x)=aln(x−a)−12x2+x，

∴f′(x)=