【微专题】2023学年八年级数学上册常考点微专题提分精练（人教版）三角形的高线和角分线结合（解析版）

三角形的高线和角分线结合类型一从一个顶点出发的高线和角分线1．如图，在中，、分别是的高和角平分线，．(1)若，求的度数；(2)试用、的代数式表示的度数_________．【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）根据三角形的内角和定理求出∠ACB的值，再由角平分线的性质以及直角三角形的性质求出∠DCE．（2）由（1）的解题思路即可得正确结果．(1)解：，，是的平分线，．是高线，，，．(2)解：，，是的平分线，．是高线，，，．【点睛】本题主要考查角平分线，高线以及角的转换，掌握角平分线，高线的性质是解题的关键．2．如图，在三角形ABC中，，AE平分∠BAC，，．(1)∠BAE的度数是______．(2)∠DAE的度数是______．(3)探究：如果把条件，改成，你认为能得出∠DAE的度数吗？若能，请你写出求解过程；若不能，请说明理由．【答案】(1)50°(2)20°(3)能，过程见解析【解析】【分析】(1)根据三角形内角和定理得∠BAC，然后根据角平分线定义得∠BAE=∠BAC，即可；(2)由于AD⊥BC，则∠ADE=90°，根据三角形外角性质得∠ADE=∠B+∠BAD，所以∠BAD=90°-∠B，然后利用∠DAE=∠BAE-∠BAD进行计算；(3)根据三角形内角和定理得∠BAC，再根据角平分线定义得∠BAE，加上∠ADE=∠B+∠BAD=90°，则∠BAD=90°-∠B，然后利用角的和差得∠DAE=∠BAE-∠BAD，即可求得∠DAE的度数等于∠B与∠C差的一半，即可求解；（本题方法不唯一）；(1)∵∠B+∠C+∠BAC=180°∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-60°-20°=100°，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE=∠BAC=50°(2)∵AD⊥BC∴∠ADE=90°，而∠ADE=∠B+∠BAD，∠BAD=90°-∠B=90°-60°=30°∴∠DAE=∠BAE-∠BAD=50°-30°=20°(3)能得出∠DAE的度数．（解法1）设，则，∴．∵AE平分∠BAC，

∴．∵，，∴，∴．（解法2）∵，∴．∵AE平分∠BAC，∴．∵，∴，∴．∵，∴．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的角平分线的定义，角的和差，三角形的外角的性质，解题的关键是理解并熟悉三角形的内角和定义，以及掌握角三角形的角平分线的定义．3．如图，在中，，平分，若，，求的度数？【答案】30°【解析】【分析】根据AE平分∠BAC，可得∠BAE=∠EAC，由∠1=40°，∠2=20°，可求得∠EAD的度数，在直角三角形ABD在利用两锐角互余，即可求解．【详解】解：∵AE平分∠BAC，∴∠1=∠EAC=∠EAD+∠2，∴∠EAD=∠1-∠2=40°-20°=20°，在Rt△ABD中，∠B=90°-∠BAD=90°-40°-20°=30°．【点睛】本题考查了三角形的角平分线、中线和高的相关知识；求得∠EAD的度数是正确解答本题的关键．4．如图，AD、AE分别是△ABC的角平分线和高线.(1)若∠B＝50°，∠C＝60°，求∠DAE的度数；（2）若∠C＞∠B，猜想∠DAE与∠C-∠B之间的数量关系，并加以证明.【答案】（1）5°；（2）∠DAE=(∠C-∠B).证明见解析．【解析】【分析】（1）先根据三角形内角和得到∠CAB=180°-∠B-∠C=70°，再根据角平分线与高线的定义得到∠CAD=∠CAB=35°，∠AEC=90°，则∠CAE=90°-∠C=30°，然后利用∠DAE=∠CAD-∠CAE计算即可．（2）根据题意可以用∠B和∠C表示出∠CAD和∠CAE，从而可以得到∠DAE与∠C-∠B的关系．【详解】(1)在△ABC中,∵∠B=50°,∠C=60°,∴∠BAC=180°-50°-60°=70°.∵AD是∠BAC的角平分线,∴∠BAD=∠DAC=∠BAC=35°.又∵AE是BC上的高,∴∠AEC=90°.在△CAE中,∠CAE=90°-∠C=90°-60°=30°,∴∠DAE=∠CAD-∠CAE=35°-30°=5°.（2）∠DAE=(∠C-∠B).证明如下：∵AE是△ABC的高，∴∠AEC=90°，∴∠EAC=90°-∠C，∵AD是△ABC的角平分线，∴∠DAC=∠BAC.∵∠BAC=180°-∠B-∠C，∴∠DAC=(180°-∠B-∠C)，∴∠DAE=∠DAC-∠EAC=(180°-∠B-∠C)-(90°-∠C)=(∠C-∠B)【点睛】本题考查三角形内角和定理、角的平分线的性质、直角三角形的性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．5．如图，在中，为边上的高，点为边上的一点，连接．（1）当为边上的中线时，若，的面积为30，求的长；（2）当为的角平分线时，若，，求的度数．【答案】（1）5；（2）15°【解析】【分析】（1）利用三角形的面积公式求出BC即可解决问题；（2）先根据三角形内角和求得∠BAC的度数，再根据AD平分∠BAC，AE⊥BC，求得∠BAE，∠BAD的度数，最后根据∠DAE=∠BAE-∠BAD计算即可．【详解】解：（1）∵AE⊥BC，AE=6，△ABC的面积为30，∴×BC×AE=30，∴×BC×6=30，∴BC=10，∵AD是△ABC的中线，∴CD=BC=5；（2）∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-36°-66°=78°∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠BAC=39°，∵AE⊥BC，∴∠AEB=90°，∴∠BAE=90°-∠B=54°，∴∠DAE=∠BAE-∠BAD=54°-39°=15°．【点睛】本题考查三角形的面积，三角形的中线与高等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中基础题．6．如图，在△ABC中，AE为边BC上的高，点D为边BC上的一点，连接AD．（1）当AD为边BC上的中线时．若AE=4，△ABC的面积为24，求CD的长；（2）当AD为∠BAC的角平分线时．①若∠C=65°，∠B=35°，求∠DAE的度数；②若∠C-∠B=20°，则∠DAE=°．【答案】（1）6；（2）①15°；②10．【解析】【分析】（1）利用三角形的面积公式求出BC即可解决问题；（2）①根据三角形内角和求出∠BAC和∠CAE的度数，然后根据角平分线的定义求得∠CAD的度数，从而求解；②设∠C=x°，则∠B=（x+20）°，然后根据三角形内角和用含x的式子表示出∠BAC和∠CAE的度数，然后根据角平分线的定义求得∠CAD的度数，从而求解．【详解】解：（1）由题意可知：AE⊥BC，AE=4，△ABC的面积为24，∴×BC×AE=24，∴×BC×4=24，∴BC=12，∵AD是△ABC的中线，∴CD=BC=6，（2）①在△ABC中，∠BAC=180°-∠C-∠B=80°，在△AEC中，∵AE⊥BC∴∠CAE=180°-90°-∠C=25°∵AD为∠BAC的角平分线∴∠CAD=∴∠DAE的度数为∠CAD-∠CAE=15°②设∠C=x°，则∠B=（x+20）°在△ABC中，∠BAC=180°-∠C-∠B=（160-2x）°，在△AEC中，∵AE⊥BC∴∠CAE=180°-90°-∠C=（90-x）°∵AD为∠BAC的角平分线∴∠CAD=∴∠DAE的度数为∠CAE-∠CAD=10°故答案为：10．【点睛】本题考查三角形的面积，三角形的中线与高等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中基础题．7．△ABC中，AD为∠BAC的平分线，AF为BC边上的高．（1）若∠B=38°，∠C=76°，求∠DAF的度数．（2）若∠B=m°，∠C=n°，（m<n）．求∠DAF的度数（用含m、n的式子表示）．（3）若∠C-∠B=30°，则∠DAF=_________度．（填空）【答案】(1)19°；(2)；(3)15°【解析】【分析】（1）由三角形的内角和是180°，可求∠BAC=66°，因为AD为∠BAC的平分线，得∠BAD=33°；又由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得∠ADC=∠BAD+∠B=71°；又已知AF为BC边上的高，所以∠DAF=90°-∠ADC=19°；（2）求出∠BAC度数，求出∠DAC，根据角平分线求出∠BAD，根据三角形外角的性质求出∠ADC的度数，即可求出∠DAF度数；（3）利用（2）的结论即可求出答案．【详解】解：(1)∵∠BAC+∠B+∠C=180°,又∵∠B=38°，∠C=76°,∴∠BAC=66°．∵AD为∠BAC的平分线,∴∠BAD=33°,∴∠ADC=∠BAD+∠B=71°．又∵AF为BC边上的高,∴∠DAF=90°-∠ADC=19°．(2)∵∠BAC+∠B+∠C=180°,又∵∠B=m°，∠C=n°,∴∠BAC=180°-m°-n°．∵AD为∠BAC的平分线,∴∠BAD=,∴∠ADC=∠BAD+∠B=又∵AF为BC边上的高,∴∠DAF=90°-∠ADC=．(3)由（2）可知∠DAF=90°-∠ADC=∵∠C-∠B=30°∴∠DAF=15°故答案为：15°【点睛】本题考查三角形外角的性质及三角形的内角和定理，求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180°这一隐含的条件；解答的关键是沟通外角和内角的关系．8．如图，在中，是高，是角平分线，，．（）求、和的度数．（）若图形发生了变化，已知的两个角度数改为：当，，则__________．当，时，则__________．当，时，则__________．当，时，则__________．（）若和的度数改为用字母和来表示，你能找到与和之间的关系吗？请直接写出你发现的结论．【答案】（1）30°，70°，20°；（2）15°，5°，0°，5°；（3）当时，；当时，．【解析】【分析】（1）先利用三角形内角和定理求出的度数，再根据角平分线和高的性质分别得出和的度数，进而可求和的度数；（2）先利用三角形内角和定理求出的度数，再根据角平分线和高的性质分别得出和的度数，则前三问利用即可得出答案，第4问利用即可得出答案；（3）按照（2）的方法，将相应的数换成字母即可得出答案．【详解】（1）∵，，∴．∵平分，∴．∵是高，，，，．（2）当，时，∵，，∴．∵平分，∴．∵是高，，，；当，时，∵，，∴．∵平分，∴．∵是高，，，；当，时，∵，，∴．∵平分，∴．∵是高，，，；当，时，∵，，∴．∵平分，∴．∵是高，，，．（3）当时，即时，∵，，∴．∵平分，∴．∵是高，，，；当时，即时，∵，，∴．∵平分，∴．∵是高，，，；综上所述，当时，；当时，．【点睛】本题主要考查三角形内角和定理和三角形的角平分线，高，掌握三角形内角和定理和直角三角形两锐角互余是解题的关键．9．已知中，是边上的高，平分．若，，，则的度数等于（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】题目由于在三角形中未确定大小，所以需要进行分类讨论：（1），作出符合题意的相应图形，由图可得：，根据角平分线的性质得：，在中，，故可得；（2）时，由图可得：，，在中，，故可得；综上可得：．【详解】解：（1）如图1所示：时，图1∵CD是AB边上的高，∴，，∵，，∴，∵CE平分，∴，在中，，∴；（2）如图2所示：时，图2∵CD是AB边上的高，∴，，∵，，∴，∵CE平分，∴，在中，，∴；综合（1）（2）两种情况可得：．故选：D．【点睛】题目主要考查对三角形分类讨论、数形结合思想，主要知识点是三角形的角平分线、高线的基本性质及图形内角的运算，题目难点是在依据题意进行分类讨论的情况下，作出相应的三角形图形．类型二高线和角分线结合进阶10．在中，是的角平分线，，（1）如图1，是边上的高，，求的度数；（2）如图2，点E在上，于F，猜想与、的数量关系，并证明你的结论．【答案】（1）17°（2）∠DEF＝（∠C−∠B），证明见解析【解析】【分析】（1）依据角平分线的定义以及垂线的定义，即可得到∠CAD＝∠BAC，∠CAE＝90°−∠C，进而得出∠DAE＝（∠C−∠B），由此即可解决问题．（2）过A作AG⊥BC于G，依据平行线的性质可得∠DAG＝∠DEF，依据（1）中结论即可得到∠DEF＝（∠C−∠B）．【详解】解答：解：（1）如图1，∵AD平分∠BAC，∴∠CAD＝∠BAC，∵AE⊥BC，∴∠CAE＝90°−∠C，∴∠DAE＝∠CAD−∠CAE＝∠BAC−（90°−∠C）＝（180°−∠B−∠C）−（90°−∠C）＝∠C−∠B＝（∠C−∠B），∵，∴∠DAE＝（70°−36°）＝17°．（2）结论：∠DEF＝（∠C−∠B）．理由：如图2，过A作AG⊥BC于G，∵EF⊥BC，∴AGEF，∴∠DAG＝∠DEF，由（1）可得，∠DAG＝（∠C−∠B），∴∠DEF＝（∠C−∠B）．【点睛】此题主要考查了角平分线的性质、三角形内角和定理和直角三角形的性质，解题时注意：三角形内角和是180°．11．如图一，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，AE是BC边上的高，∠ABC＝30°，∠ACB＝70°．（1）求∠DAE的度数．（2）如图二，若点F为AD延长线上一点，过点F作FG⊥BC于点G，求∠AFG的度数．【答案】（1）20°；（2）20°．【解析】【分析】（1）先利用三角形内角和定理求出，再利用角平分线求出，进而求出，最后用三角形的内角和定理即可得出结论；（2）先判断出，即可得出结论．【详解】解：（1）在中，，，平分，在中，为三角形的高，．在中，．（2）由（1）可知．【点睛】此题主要考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，高线的定义，平行线的判定和性质，求出是解本题的关键．12．在△ABC中，AD是角平分线．．(1)如图（1），AE是高，，，求∠DAE的度数；(2)如图（2），点E在AD上，于F，试探究∠DEF与∠B、∠C的大小关系，并证明你的结论；(3)如图（3），点E在AD的延长线上．于F，试探究∠DEF与∠B、∠C的大小关系是___（直接写出结论，不需证明）．【答案】(1)15°(2)，证明见解析(3)【解析】【分析】（1）根据AE是高确定∠CEA的度数，再结合三角形内角和定理确定∠BAC和∠CAE的度数，根据AD是角平分线确定∠DAC的度数，进而即可求出∠DAE的度数．（2）过点A作AG⊥BC于G．根据两直线平行的判定定理和性质得到∠DEF=∠DAG，根据AG⊥BC确定∠CGA的度数，再结合三角形内角和定理用∠B和∠C表示∠BAC和∠CAG，根据AD是角平分线得到∠DAC，进而求出∠DAG，即可得到∠DEF与∠B、∠C的大小关系．（3）过点A作AG⊥BC于G．根据两直线平行的判定定理和性质得到∠DEF=∠DAG，根据AG⊥BC确定∠CGA的度数，再结合三角形内角和定理用∠B和∠C表示∠BAC和∠CAG，根据AD是角平分线得到∠DAC，进而求出∠DAG，即可得到∠DEF与∠B、∠C的大小关系．(1)解：∵∠B=35°，∠C=65°，∴∠BAC=180°-∠B-∠C=80°．∵AD是角平分线，AE是高，∴，∠CEA=90°．∴∠CAE=180°-∠C-∠CEA=25°．∴∠DAE=∠DAC-∠CAE=15°．(2)解：如下图所示，过点A作AG⊥BC于G．∵EF⊥BC于F，∴．∴∠DEF=∠DAG．∵∠B+∠C+∠BAC=180°，∴∠BAC=180°-∠B-∠C．∵AD是角平分线，AG⊥BC，∴，∠CGA=90°．∴∠CAG=180°-∠C-∠CGA=90°-∠C．∴∠DAG=∠DAC-∠CAG=．∴．∴．(3)解：如下图所示，过点A作AG⊥BC于G．∵EF⊥BC于F，∴．∴∠DEF=∠DAG．∵∠B+∠C+∠BAC=180°，∴∠BAC=180°-∠B-∠C．∵AD是角平分线，AG⊥BC，∴，∠CGA=90°．∴∠CAG=180°-∠C-∠CGA=90°-∠C．∴∠DAG=∠DAC-∠CAG=．∴．∴．【点睛】本题考查了三角形内角和定理，两直线平行的判定定理和性质，角平分线的性质，综合应用这些知识点是解题关键．类型三从不同顶点出发的高线和角分线13．如图，在△ABC中，CE平分∠ACB交AB于点E，AD是△ABC边BC上的高，AD与CE相交于点F，且∠ACB＝80°，求∠AFE的度数．【答案】∠AFE=50°．【解析】【分析】根据CE平分∠ACB，∠ACB＝80°，得出∠ECB=，根据高线性质得出∠ADC=90°，根据三角形内角和得出∠DFC=180°-∠ADC-∠ECB=180°-90°-40°=50°，利用对顶角性质得出∠AFE=∠DFC=50°即可．【详解】解：∵CE平分∠ACB，∠ACB＝80°，∴∠ECB=，∵AD是△ABC边BC上的高，AD⊥BC，∴∠ADC=90°，∴∠DFC=180°-∠ADC-∠ECB=180°-90°-40°=50°，∴∠AFE=∠DFC=50°．【点睛】本题考查角平分线定义，垂线性质，三角形内角和