一元二次方程-2023年中考数学考点微

考向2.3一元二次方程

例1.（2019•内蒙古呼和浩特•中考真题）用配方法求一元二次方程（2x+34x-6）=16的实数

根.

解：原方程化为•般形式为2X2-9X-34=0,

X2--X=17,

2

x2.2x+坦=17+巴

21616

/9353

(x——v)———

416

9_.>/353

x-------±---------，

44

所以'尸中x9+V353

24

例2.（2021•内蒙古通辽•中考真题）先化简，再求值:

元+

餐2x4-1+1H2其中X满足X-。.

解：•*x2-x-2=0

，x=2或x=・l

2x4-1x+2

(■+D+

X4-1%2+2x4-1

2

z2x4-1x-1.x+2

=(--------+--------)+---------7

x+1x+1(X+1)2

2x+x2.工+2

=X+l"(X+1)2

=伞+2)>。+1)2

x+lx+2

=x(x+1)

<x=-l分式无意义，，x=2

当x=2时，x(x+l)=2x(2+1)=6.

1、解•元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵

活选用合适的方法；

2、中考题中一元二次方程常常和分式的运算、分式方程结合在一起进行综合考察，提升学生综合解方

组能力是解题的关键。

例3.（2021•湖北荆门•中考真题）已知关于x的一元二次方程/一64+2加-1=0有用，工两

实数根.

（1）若为=1,求士及机的值；

（2）是否存在实数满足（3_1）（工2-1）=二？若存在，求出求实数〃?的值；若不存

在，请说明理由.

解：（1）由题意：J=（-6）2-4X1X（2/M-1）>0,

m<5,

将M=1代入原方程得：3,

又丁xi9X2=2m-1=5,

AX2=5,/n=3；

（2）设存在实数”满足（司_。（々-1）=白，那么

有3・X2-（X|+X,）+1=—,

rn-5

BP（2/n-l）-6+l=—,

m-5

整理得：8m+12=0,

解得力=2或机=6.

由（1）可知帆<5,

，m=6舍去，从而机=2,

综上所述：存在m=2符合题意.

知识点一、（1）△>0=方程有两个不相等的实数根；（2）△=00方程有两个相等的实数根；（3）△<0Q

方程没有实数根.

hC

知识点二、根与系数的关系：Xl,X2是一元:次方程af+bx+CM。（4声0）的两根时，X+工2=----，X\X2=—.

aa

例4.（2021•山东滨州•中考真题）某商品原来每件的售价为60元，经过两次降价后每件的

售价为48.6元，并且每次降价的百分率相同.

(1)求该商品每次降价的百分率；

(2)若该商品每件的进价为40元，计划通过以上两次降价的方式，将库存的该商品20件

全部售出，并且确保两次降价销售的总利润不少于200元，那么第一次降价至少售出多少

件后，方可进行第二次降价？

解：(1)设该商品每次降价的百分率为X,

60(1-x)2=48.6,

解得xl=0.1,x2=1.9(舍去)，

答：该商品每次降价的百分率是10%；

(2)设第一次降价售出a件，则第二次降价售出(20-a)件，

由题意可得，[60(1-10%)-40]a+(48.6-40)x(20-a)>200,

解得aN5盘，

•••a为整数，

•,-a的最小值是6,

答：第一次降价至少售出6件后，方可进行第二次降价.

解答应用题的关键是：找出等量关系和不等关系，列出相应的方程和不等式，第一问是典型的的下降率

问题，是中考常考题型.建议学生加强此类题型的巩固练习。

经典变式练

一、单选题

1.(2021•山东临沂•中考真题)方程/-x=56的根是()

A.%=7,9=8B.x,=7,Xj=-8C.%=-7,x2=8D.内=-7,x2=-8

2.(2021.内蒙古赤峰.中考真题)一元二次方程*2一8》-2=0,配方后可形为()

A.(X-4)2=18B.(x-4)2=14

C.(x-8f=64D.(X-4)2=1

3.(2021・广西河池・中考真题)关于x的一元二次方程V+皿一加一2=0的根的情况是()

A.有两个不相等的实数根

B.有两个相等的实数根

C.没有实数根

D.实数根的个数由，〃的值确定

4.（2021•贵州遵义•中考真题）在解一元二次方程N+px+q=O时，小红看错了常数项q,得

到方程的两个根是-3,1.小明看错了一次项系数P,得到方程的两个根是5,-4,则原

来的方程是（）

A.x2+2x-3=0B.x2+2x-20=0C.x2-2x-20=0D.x2-2x-3=0

5.（2021.山东潍坊•中考真题）若菱形两条对角线的长度是方程％2-6x+8=0的两根，则该

菱形的边长为（）

A.后B.4C.25D.5

6.（2021・广西贵港・中考真题）已知关于x的一元二次方程*2—依+&一3=0的两个实数根

分别为不当，且x：+x；=5,则k的值是（）

A.-2B.2C.-1D.1

7.（2021.四川雅安・中考真题）若直角三角形的两边长分别是方程*2—7x+12=O的两根，则

该直角三角形的面积是（）

A.6B.12C.12或域D.6或应-

22

8.（2021•山东荷泽中考真题）关于x的方程（2-l），2+（2Z+l）x+l=0有实数根，则上的取

值范围是（）

A.k>—且B.—且人父1C.k>—D.kN—

4444

二、填空题

9.（2021・四川巴中・中考真题）关于x的方程2x2+〃a-4=0的一根为x=l,则另一根为

10.（2021•江苏南通•中考真题）若相，〃是一元二次方程/+3》_1=0的两个实数根，则

32

皿+""的值为.

一1

11.（2021•四川雅安•中考真题）已知一元二次方程/+》-2021=0的两根分别为机，n,则

—+—的值为.

mn

12.（2021•湖北十堰•中考真题）对于任意实数〃、h,定义一种运算：a®b=a2+b2-ab,

若1）=3,则x的值为.

13.（2021・湖南岳阳•中考真题）已知关于x的一元二次方程x2+6x+%=0有两个相等的实数

根，则实数％的值为.

三、解答题

14.（2021・湖北黄石・中考真题）已知关于x的一元二次方程f+2皿+*+机=0有实数根.

（1）求机的取值范围；

（2）若该方程的两个实数根分别为为、与，且才+考=12,求m的值.

15.（2021•黑龙江齐齐哈尔•中考真题）解方程：x（x-7）=8（7-x）.

16.（2021•浙江嘉兴•中考真题）小敏与小霞两位同学解方程3（x-3）=（x-3）2的过程如下框:

小霞：

小敏：

移项，得3（X-3）-（X-3）2=0,

两边同除以（x-3）,得

提取公因式，得（x—3）（3—X—3）=0.

3=x—3,

则x-3=0或3-x-3=0,

则x=6.

解得占=3,w=0.

你认为他们的解法是否正确？若正确请在框内打若错误请在框内打“x”，并写出你的解

答过程.

17.（2021•山东荷泽・中考真题）列方程（组）解应用题

端午节期间，某水果超市调查某种水果的销售情况，下面是调查员的对话：

小王：该水果的进价是每千克22元；

小李：当销售价为每千克38元时，每天可售出160千克；若每千克降低3元，每天的销售

量将增加120千克.

根据他们的对话，解决下面所给问题：超市每天要获得销售利润3640元，又要尽可能让顾

客得到实惠，求这种水果的销售价为每千克多少元？

一、单选题

1.（2021・山东・日照港中学二模）已知关于x的一元二次方程"2-2尢-1=0有两个不相等

的实数根，则二次项系数〃的取值范围是（）

A.B.a>-2C.a>1且#0D.a>-1且〃邦

2.（2021•河南洛阳•二模）对于一元二次方程x2—5x+c=0来说，当6=工时，方程有两个

4

相等的实数根，若将。的值在弓25的基础上减小，则此时方程根的情况是（）

A.没有实数根B.有两个相等的实数根

C.有两个不相等的实数根D.只有一个实数根

2021

3.（2021.江苏建邺.一模）己知双曲线y=丁与直线，=h+。交于矶々,％）,

若％+刍>0,%+%>0,则（）

A.k>0,b>0B.k>。,b<0

C.k<0,b>0D.k<0,b<0

4.（2021・四川巴中•中考真题）已知二次函数y=«%2+6x+c的自变量x与函数y的部分对应

值见表格，则下列结论：①c=2；②〃-4“c>0；③方程a%2+/»=。的两根为制=-2,X2

=0；®7a+c<0.其中正确的有（）

X-3-2-112

y1.8753m1.8750

A.①④B.②③C.③④D.②④

5.（2021•四川绵阳•中考真题）关于％的方程速+反+CMO有两个不相等的实根占、%，若

七=2须，则46-9ac的最大值是（）

A.1B.72C.6D.2

6.（2021•福建•厦门一中三模）对于一元二次方程⑪2+bx+c=0（4/0）,下列说法：

①若a+b+c=0,则从-4ocN0；

②若方程or?+c=0有两个不相等的实根，则方程ox?+bx+c=0（4w。）必有两个不相等的实

根；

③若c是方程ar?+fec+c=0的一个根，则一定有ac+b+1=0成立；

2

④若飞是一元二次方程ax?+/?x+c=0的根，则b-4ac=（2av0+b\.

其中正确的有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

x-l0>2.

7.（2021•云南・昆明市第三中学模拟预测）若关于x的不等式组方一―”的解集为烂

2无一1<2。+1

-2,关于x的一元二次方程以2-3》+1=0有两个不相等的实数根，则符合条件的整数

有（）个.

A.3B.4C.5D.6

二、填空题

8.（2021•内蒙古・呼和浩特市回民区教育局教科研室二模）方程N=x的解为—.

9.（2021•江苏・苏州高新区实验初级中学三模）关于x的一元二次方程（〃+1）x2+bx+\=0

有两个相等的实数根，则代数式8〃-2分+6的值是

[x—m>0

10.（2021・云南・一模）已知关于X的不等式组'c，无解，且关于y的一元二次方程

[7-2x>1

阳，+分+1=0有两个实数根，则整数机的值可以是

11.（2021♦江苏•苏州市立达中学校二模）若关于x的一元二次方程，+（〃?+2»+2=0的根

都是整数，则整数〃，的最大值是.

12.（2021•浙江萧山•一模）如图，在边长为2的菱形A8CD中，NA=60。，点E在AO上

（不与A、。重合），连接BE,CE,CE交BD于点、F.当AE=QF时，则AE=.

13.（2021•福建•厦门市第九中学二模）若关于x的一元二次方程62+法+。=。有两个实数

根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的

说法，正确的是

①方程*一3工+2=0是倍根方程；

②若（1-2）（的-〃）=0是倍根方程,则〃=4机或"=团；

③若点（P，4）在双曲线y=4的图像上，则关于X的方程+3x+q=0是倍根方程

x

14.（2021.浙江.绍兴市柯桥区杨汛桥镇中学二模）小丽在解一个三次方程炉一2x+l=0时,

发现有如下提示：观察方程可以发现有一个根为1,所以原方程可以转化为。-1）（/+版+

c）=0.根据这个提示，请你写出这个方程的所有的解.

三、解答题

15.（2021•重庆八中二模）某文具店去年8月底购进了一批文具1160件，预计在9月份进

行试销.购进价格为每件10元.若售价为12元/件，则可全部售出.若每涨价1元.销售

量就减少20件.

（1）求该文具店在9月份销售量不低于1100件，则售价应不高于多少元？

（2）由于销量好，10月份该文具进价比8月底的进价每件增加20%,该店主增加了进货量,

并加强了宣传力度，结果10月份的销售量比9月份在（1）的条件下的最低销售量增加了

2

加％,但售价比9月份在（1）的条件下的最高售价减少百机％.结果10月份利润达到3168

元，求，"的值.

16.（2021•辽宁•建昌县教师进修学校二模）某儿童玩具店销售一种玩具，每个进价为60元,

现以每个100元销售，每天可售出20个，为了迎接六一儿童节，店长决定采取适当的降价

措施，经市场调查发现：若每个玩具每降价1元，则每天多售出2个.设该玩具的销售单价

为x（元），日销售量为V（个）.

（1）求y与x之间的函数关系式.

（2）为了增加盈利，减少库存，且日销售利润要达到1200元，销售单价应定为多少元？

（3）若销售单价不低于成本价，每个获利不高于成本价的30%,将该玩具的销售单价定为

多少元时，玩具店每天销售该玩具获得的利润最大？最大利润是多少元？

一、单选题

1.（2021,四川巴中・中考真题）两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，即：

RPAp

如图，点尸是线段AB上一点（”>8P）,若满足M=三，则称点尸是A8的黄金分割点.黄

APAB

金分割在日常生活中处处可见，例如：主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观

众看上去感觉最好.若舞台长20米，主持人从舞台一侧进入，设他至少走x米时恰好站在

舞台的黄金分割点上，则x满足的方程是（）

APB

A.（20-x）2=20XB.N=20（20-X）

C.x（20-x）=202D.以上都不对

2.（2021.西藏•中考真题）已知一元二次方程10x+24=0的两个根是菱形的两条对角线

长，则这个菱形的面积为（）

A.6B.10C.12D.24

3.（2021・辽宁阜新•中考真题）在育红学校开展的课外阅读活动中，学生人均阅读量从七年

级的每年100万字增加到九年级的每年121万字.设该校七至九年级人均阅读量年均增长率

为x,根据题意，所列方程正确的是（）

A.100（1+x）2=121B.100x2（1+x）=121

C.100（1+2x）=121D.100（l+x）+100（l+x）2=121

4.（2021•山东泰安•中考真题）已知关于x的一元二次方程标版（2k-l）x+k-2=0有两个

不相等的实数根，则实数人的取值范围是（）

A.k>—B.k<一

44

C.k>—且％w0D.k<—

44

5.（2021•山东枣庄•中考真题）在平面直角坐标系xOy中，直线A3垂直于*轴于点C（点C

2

在原点的右侧），并分别与直线y=x和双曲线），=一相交于点A,B,且AC+BC=4,则

x

,043的面积为（）

A.2+夜或2-夜B.2夜+2或2万-2

C.2->/2D.272+2

6.（2021•河南•中考真题）如图1,矩形ABCD中，点E为BC的中点，点P沿BC从点B运

动到点C,设8,尸两点间的距离为x,PA-PE=y,图2是点尸运动时V随x变化的关系

图象，则8c的长为（）

D.7

2

7.（2021•四川宜宾•中考真题）若m.n是一元二次方程N+3x-9=0的两个根，则m+4m+n

的值是（）

A.4B.5C.6D.12

二、填空题

8.（2021.广东广州.中考真题）一元二次方程/-4x+m=0有两个相等的实数根，点

A&,凶）、3（孙必）是反比例函数y=三上的两个点，若占<当<0,则必%（填”

或,〉，或

9.（2021•内蒙古鄂尔多斯•中考真题）下列说法不正确的是（只填序号•）

①7-如的整数部分为2,小数部分为J万-4.

②外角为60。且边长为2的正多边形的内切圆的半径为百.

③把直线y=2x-3向左平移I个单位后得到的直线解析式为y=2x-2.

④新定义运算：m*n=m）v-2n-1＞则方程—1*x=0有两个不相等的实数根.

10.（2021•山东枣庄•中考真题）若等腰三角形的一边长是4,另两边的长是关于x的方程

/-6*+〃=0的两个根，则〃的值为.

11.（2021.湖南娄底•中考真题）己知产-3f+l=0,则f+l=.

t

12.（2021•湖北鄂州•中考真题）已知实数。、人满足＞/^二1+怜+3|=0,若关于x的一元二次

方程/-依+。=0的两个实数根分别为演、x2,则:+（=.

13.（2021•江苏南京・中考真题）设西,三是关于x的方程f一3x+Z=0的两个根，且占=2w，

贝".

14.（2021•浙江丽水・中考真题）数学活动课上，小云和小王在讨论张老师出示的一道代数式

求值问题：

已知实数4为同时满足/+2a=H2,b2+2h=a+2,求代数式2+f的值.

ab

结合他们的对话，请解答下列问题:

（1）当。=/?时，。的值是.

（2）当标时，代数式2+晟的值是__________.

ab

15.（2021・四川阿坝・中考真题）三角形的两边长分别为4和7,第三边的长是方程

/_8%+12=0的解，则这个三角形的周长是.

16.（2021•江苏连云港•中考真题）已知方程d-3x+Z=（）有两个相等的实数根，则左=

三、解答题

17.（2021•甘肃兰州•中考真题）解方程：x2+4x-1=0.

18.（2021.北京•中考真题）已知关于x的一元二次方程V-4,nx+3加2=0.

(1)求证：该方程总有两个实数根；

(2)若加>0,且该方程的两个实数根的差为2,求，"的值.

19.(2021・湖北十堰・中考真题)已知关于x的一元二次方程/-4》-2机+5=0有两个不相

等的实数根.

(1)求实数机的取值范围；

(2)若该方程的两个根都是符号相同的整数，求整数，"的值.

20.(2021.辽宁盘锦•中考真题)某工厂生产并销售A,B两种型号车床共14台，生产并销

售1台A型车床可以获利10万元；如果生产并销售不超过4台8型车床，则每台B型车床

可以获利17万元，如果超出4台B型车床，则每超出1台，每台B型车床获利将均减少1

万元.设生产并销售8型车床x台.

(1)当x>4时，完成以下两个问题：

①请补全下面的表格：

A型B型

车床数量/台—X

每台车床获利/万元10—

②若生产并销售8型车床比生产并销售A型车床获得的利润多70万元，问：生产并销售B

型车床多少台？

(2)当0<xW4时;设生产并销售4,8两种型号车床获得的总利润为W万元，如何分配

生产并销售A,B两种车床的数量，使获得的总利润W最大？并求出最大利润.

参考答案

1.C

【分析】

利用因式分解法解方程即可得到正确选项.

【详解】

解：x2—x=56,

x2—X-56=0，

：.(x+7)(x-8)=0,

.'.x+7=0,x-8=0,

,X2=8.

故选：C.

【点拨】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是先把方程的右边化为0,

再把左边通过因式分解化为两个一次因式的枳的形式，那么这两个因式的值就都有可能为

0,这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程

转化为解一元一次方程的问题r.

2.A

【分析】

把常数项移到方程右边，再把方程两边加上16,然后把方程作边写成完全平方形式即可

【详解】

解：X2-8X-2=0

/-8k2,

/-81+16=18,

(x-4)2=18.

故选：A.

【点拨】本题考查了解一元二次方程-配方法：将一元二次方程配成(X+胆)2=〃的形式，再

利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法.

3.A

【分析】

先确定。、尻c的值，计算尸-4双的值进行判断即可求解.

【详解】

解：由题意可知：a=\,b=m,c=-m-2,

A=b2-4ac=m2-4x1x(-，"-2)=nr+4m+8=(/M+2)'+4>4,

•••方程有两个不相等实数根.

故选A.

【点拨】本题考查一元二次方程根的判别式，是常见考点，当△>()时，方程有两个不相等

的实数根；当△=()时，方程有两个相等的实数根：当△<()时，方程没有实数根，熟记判别

式并灵活应用是解题关键.

4.B

【分析】

分别按照看错的情况构建出一元二次方程，再舍去错误信息，从而可得正确答案.

【详解】

解：,•小红看错了常数项4,得到方程的两个根是-3,1,

所以此时方程为：(x+3)(x—l)=0,即：X2+2X-3=0,

,小明看错了一次项系数P，得到方程的两个根是5,-4,

所以此时方程为：(x—5)(x+4)=0,即：X2-X-20=0,

从而正确的方程是：x2+2x-20=0,

故选：B.

【点拨】本题考查的是根据一元二次方程的根构建一元二次方程，掌握利用一元二次方程的

根构建方程的方法是解题的关键.

5.A

【分析】

先求出方程的解，即可得到AC=4,BD=2,根据菱形的性质求出AO和DO,根据勾股

定理求出即可.

【详解】

解：解方程X?—6x+8=0,得XI=2,x2=4,

即AC=4,BD=2,

•••四边形ABC。是菱形，

AZAOD=9Q°,AO=CO=2,BO=DO=l,

由勾股定理得A£)=JAO+DO)=」22+F=石-

即菱形的边长为石，

故选：A.

【点拨】本题考查了解一元二次方程和菱形的性质，正确求出方程的根是解题的关键.

6.D

【分析】

利用根与系数的关系得出±+Z=k,占莅=欠-3,进而得出关于女的一元二次方程求出即可.

【详解】

解：:关于x的一元二次方程丫2-6+左-3=0的两个实数根分别为斗，马，

x{+X-,=k,%三=&-3,

.X：+x；=5,

2

（X[+x2）-2xtx2=5,

.•.炉-2（Z-3）=5,

整理得出：k2-2k+l=0,

解得：k、=%=1,

故选：D.

【点拨】本题考查了一元二次方程如、桁+c=O（a?0,«,b,。为常数）根与系数的关系:

bc

X+X=——，.

t2aa

7.D

【分析】

根据题意，先将方程x2-7x+12=0的两根求出，然后对两根分别作为直角三角形的直角边

和斜边进行分情况讨论，最终求得该直角三角形的面积即可.

【详解】

解方程，7》+12=0得玉=3,々=4

当3和4分别为直角三角形的直角边时，面枳为：x3x4=6；

2

当4为斜边，3为直角边时根据勾股定理得另一直角边为庐手=近，面积为

1x77x3=^；

22

则该直角三角形的面积是6或士且，

2

故选：D.

【点拨】本题主要考查了解一元二次方程及直角三角形直角边斜边的确定、直角三角形的面

积求解，熟练掌握解一元二次方程及勾股定理是解决本题的关键.

8.D

【分析】

根据方程有实数根，利用根的判别式来求上的取值范围即可.

【详解】

解：当方程为一元二次方程时，

•.•关于X的方程伏-1)2/+国+以+1=0有实数根，

A=(2*+l)2-4x(*-l)2xl>0,且k*l,

解得，左二且七1,

4

当方程为一元一次方程时，上1,方程有实根

综上，

4

故选：D.

【点拨】本题考查了一元二次方程方程的根的判别式，注意一元二次方程方程中a工0,熟

悉一元二次方程方程的根的判别式的相关性质是解题的关键.

9.xi=-2

【分析】

设方程的另一根为X2,根据根与系数的关系可得及=-2,解答出即可.

【详解】

解：设方程的另一根为X2,

关于X的方程2_F+，nr-4=0的一根为,

-4

则1XX2=3=-2,

解得X2=-2.

故答案为：X2=-2.

【点拨】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系：处，X2是一元二次方程以2+瓜+片0

bc

(存0)的两根时，X\+X2=--,X\*X2=—.

aa

10.3

【分析】

先根据一元二次方程的解的定义得到^+3/?7-1=0,则3,”-1=-"落根据根与系数的关系得出

m+n=-3,再将其代入整理后的代数式计算即可.

【详解】

解：是一元二次方程x2+3x-l=O的根，

.".m2+3m-\=O,

3m-]--m2,

•••，"、”是一元二次方程N+3x-1=0的两个根，

m+n--3,

.m3+m2nm2(m+n),..

..-------=-----r——=~(m+〃)=3,

3/n-l-m2

故答案为：3.

【点拨】本题考查了根与系数的关系：若曾，X2是一元二次方程以2+瓜+c=o(awo)的两

hc

根时，％+x,=-2,x,x2=-.也考查了一元二次方程的解.

aa

ii.-1-

2021

【分析】

根据一元二次方程根与系数关系的性质计算，即可得到答案.

【详解】

••,一元二次方程f+x—2021=0的两根分别为m,n

m+n=—\,mn=—2021

.11_m+n_-1_1

mnmn-20212021

【点拨】本题考查了一元二次方程的知识；解题的关键是熟练掌握一元二次方程根与系数的

性质，从而完成求解.

12.-1或2

【分析】

根据新定义的运算得到x®(x-l)=x2+(x-l)2-x(x-l)=3,整理并求解一元二次方程即

可.

【详解】

解：根据新定义内容可得：x®(x-l)=x2+(x-l)?-x(x-l)=3,

整理可得d*2=0,

解得％=-1,X2=2,

故答案为：-1或2.

【点拨】本题考查新定义运算、解一元二次方程，根据题意理解新定义运算是解题的关键.

13.9

【分析】

直接利用根的判别式进行判断即可.

【详解】

解：由题可知："△=0”,BP62-4*=0;

%=9；

故答案为：9.

【点拨】本题考查了用根的判别式判断一元二次方程根的情况，解决本题的关键是牢记：

△>0时，该方程有两个不相等的实数根；△=()时，该方程有两个相等的实数根；△<()时,

该方程无实数根.

14.(1);n<0；(2)m=-2

【分析】

(1)根据方程有实数根的条件，即A20求解即可；

(2)由韦达定理把为+々和分别用含，”的式子表示出来，然后根据完全平方公式将

X：=12变形为(3-2X,X2=12,再代入计算即可解出答案.

【详解】

(1)由题意可得：A=(2/n)2-4(/n2+m)>0

解得：m<0

即实数川的取值范围是机工0.

2

(2)由工：+考=12可得:(%1+^)-2XJX2=12

*.*%+工2=-2m；x[x2=M+m

(-2/n)2-2^m2+〃?)=12

解得：m=3或帆=-2

V/n<0

m=—2

即加的值为-2.

【点拨】本题主要考查的是根的判别式、根与系数的关系，要牢记：(1)当△》()时，方程

有实数根；(2)掌握根与系数的关系，即韦达定理；(3)熟记完全平方公式等是解题的关键.

15.玉=7,x2=-8

【分析】

先移项再利用因式分解法解方程即可.

【详解】

解：7)=8(7-幻，

x(x—7)+8(x—7)—0,

A(x-7)(x+8)=0,

・・%=7,w=—8.

【点拨】本题考查了解一元二次方程一因式分解法，解题的关键是找准公因式.

16.两位同学的解法都错误，正确过程见解析

【分析】

根据因式分解法解一元二次方程

【详解】

解：

小敏：小霞：

移项，得

两边同除以(X-3),得3(x—3)—(x—3)2=0,

3=x—3,提取公因式，得(x-3)(3—x—3)=0.

则x=6.则工一3二0或3-工一3=0,

解得=3,毛=。.

(x)(X)

正确解答:3(x-3)=(x-3)2

移项，得3(x-3)—(x—3>=0,

提取公因式，得(x—3)[3—(x—3)]=0,

去括号，得(—+3)=0,

贝iJx-3=0或6-x=0,

解得玉=3,X2=6.

【点拨】本题考查因式分解法解一元二次方程，掌握因式分解的技巧准确计算是解题关键.

17.29元.

【分析】

设这种水果每千克降价x(x>0)元，根据超市每天要获得销售利润3640元列一元二次方程,

解一元二次方程，再由题意要尽可能让顾客得到实惠，筛选符合条件的工的值，即可解题售

价.

【详解】

解：设这种水果每千克降价x(x>0)元，

则每千克的利润为：(38-22-x)元，销售量为：(160+40X)千克，

(16-x)(160+40x)=3640

整理得，

f-12x-27=0

(x-3)(x-9)=0

，x=3或x=9,

,要尽可能让顾客得到实惠，

:.x-9

即售价为38—9=29(元)

答：这种水果的销售价为每千克29元.

【点拨】本题考查一元二次方程的实际应用，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题

关犍.

I.D

【分析】

由关于X的一元二次方程狈2-2%-1=0有两个不相等的实数根，即可得判别式△>0且二

次项系数a翔，继而可求得“的范围.

【详解】

解：•.•一元二次方程ar2-2x-1=0有两个不相等的实数根，

.*.△=(-2)2-4xax(-1)>0,且在0,

解得：a>-1且a#0,

故选：D.

【点拨】此题考查了一元二次方程根的判别式的知识.此题比较简单，注意掌握一元二次方

程有两个不相等的实数根，即可得△>().

2.C

【分析】

根据根的判别式即可求出答案.

【详解】

解：由题意可知：4=25-4c,

25

当时，

4

,25-4c>0,

.♦•该方程有两个不相等的实数根，

故选：C.

【点拨】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用根的判别式，本题属于基础题型.

3.C

【分析】

根据交点坐标的意义，把问题转化方程，不等式问题判定即可.

【详解】

由题意得方程区2+公-2021=0的两根分别为占，%,

b-2021

xi+%2=_X,x^——

KK

X1+工2>0

-”0,

k

r0)

k、b异号,

20212021

x=—，必二—

202120212021(%+占)

y+y之=——十——=——^

x}x2中2

VyI+y2>0,

2021(x,+x2)

>0,

中2

*.*Xj+x2>0,

/.X]X2>0,

--2021八

..----->0,

k

k<0b>0.

故选C

【点拨】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，•元二次方程根与系数关系定理，

不等式思想，熟练运用交点坐标的意义，把问题转化为方程问题，不等式问题求解是解题的

关键.

4.B

【分析】

由表格可以得到二次函数图象经过点点(-3,1.875)和点(1,1.875),这两点关于对称轴

对称，由此得到对称轴直线，设出二次函数顶点式，代入两点，求解出二次函数解析式，得

到4,b,C的值，依次代入到①②③④中进行判断即可解决.

【详解】

解：由表格可以得到，二次函数图象经过点(-3,1.875)和点(1,1.875),

•.•点(-3,1.875)与点(1J875)是关于二次函数对称轴对称的,

・•・二次函数的对称轴为宜线X=-一3y+21=-1

设二次函数解析式为y=a(x+l)2+/?,

代入点(-2,3),(2,0)得,

a+h='i

9a+h=0

3

a=—

8

解得

,27

8

二二次函数的解析式为：丫=-白a*+1)2?+7=

oo

y-3,

84

..c=3,

・•.①是错误的,

o3

b2-4ac=—+4x—x3>0,

168

.・•②是正确的,

33

方程小+灰=0为-/-产0,

即为f+2x=0,

X]=-2,%,=0,

二③是正确的,

33

7〃+c=7x(-二)+3=->0,

88

・•・④是错误的,

，②③是正确的,

故选：B.

【点拨】本题考查了二次函数系数特征和二次函数解析式求法，利用待定系数法求解函数解

析式是通法，由表格提炼出对称轴的信息，是解题的突破口，此题，也可以通过二次函数系

数特征来解决.

5.D

【分析】

根据一元二次方程根与系数的关系，求得两根之和和两根之积，再根据两根关系，求得系数

的关系，代入代数式，配方法化简求值即可.

【详解】

解：由方程如2+灰+。=0有两个不相等的实根为、4

bc

可得，qw0,%+/=—,X\X2=一

aa

'：X2=2x,,可得网=,2x：=£,即2(-2)2=£

cia3aa

化简得94c=2〃

则4b-9ac=-2b2+4b=-2(b2-2b)=-2(b-I)2+2

故劭-9ac最大值为2

故选D

【点拨】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，涉及了配方法求解代数式的最大值，根

据一元二次方程根与系数的关系得到系数的关系是解题的关键.

6.C

【分析】

按照方程的解的含义、一元二次方程的实数根与判别式的关系、等式的性质、一元二次方程

的求根公式等对各选项分别讨论，可得答案.

【详解】

解：①若a+6+c=0,则x=l是方程，+笈+片0的解，

由一元二次方程的实数根与判别式的关系可知：/=〃一4“*0,故①正确；

②方程*2+c=()有两个不相等的实根，

zf=0-4«c>0,

・・・-4ac>0

则方程ax2+hx+c=O的判别式J=Z?2-4(7C>0,

，方程ax2+bx+c=O必有两个不相等的实根，故②正确；

③是方程ax2+hx+c=O的一个根，

贝(jac^+bc+c-O,

.*.(?(ac+b+1)=0,

若。=0,等式仍然成立，

但〃c+b+l=0不一定成立，故③不正确；

④若xo是一元二次方程ax2-^-hx+c=0的根，

则由求根公式可得：回="土扬一4竺,

2a

；.2aro+6=±“2一而。，

b2-4ac=(2axo+b)2,故④正确.

故正确的有①②④，

故选：C.

【点拨】本题考查一元二次方程根的判断，根据方程形式，判断根的情况是求解本题的关键.

7.B

【分析】

求得不等式组的解集可确定-3,再根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到存0

9

且A=9-4〃>0,所以且存0,然后找出此范围内的整数即可.

4

【详解】

^^->2x[x<-2

解不等式组3得,,

'一1<2〃+11X31

而此不等式组的解集是烂-2,

tz+1>-2,

-3,

•.•关于X的一元二次方程-3X+1=0有两个不相等的实数根，

.•.A=9-4a>0且a和,

9

・二々V—且存0,

4

9

-3VaV—且#0,

4

，符合条件的整数a为-2、-1、1、2共4个.

故选：B.

【点拨】本题考查了解一元一次不等式组、一元二次方程的定义及其根的判别式，易忽略一

元二次方程的二次项系数不为零这个隐含条件.

8.x=0或

【分析】

利用因式分解法解方程即可；

【详解】

X2=Xf

x2-x=0,

x(x-l)=0,

x=0或x=l；

故答案是：X=0BJCX=1.

【点拨】本题主要考查了利用因式分解法解一元二次方程，准确计算是解题的关犍.

9.-2

【分析】

先根据一元二次方程的定义以及根的判别式得到。+原0且乙=fe2-4x(«+l)=0,贝

=4,再将代数式8a-2b2+6变形后把4“=4代入计算即可.

【详解】

解：根据题意得。+1并且A=〃-4x(a+1)=0,即「2-40-4=0,

b-4a=4,