2019年本溪市初中毕业生学业考试数学试卷

2019年本溪市初中毕业生学业考试数学试卷满分：100分考试用时：90分钟第一部分选择题(共30分)一、选择题(本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.下列各数是正数的是()A.0B.5C.－eq\f(1,2)D.－eq\r(2)2.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是()3.下列计算正确的是()A.x7÷x＝x7B.(－3x2)2＝－9x4C.x3·x3＝2x6D.(x3)2＝x64.2019年6月8日，全国铁路发送旅客约9560000人次，将数据9560000用科学记数法表示为()A.9.56×106B.95.6×105C.0.956×107D.956×1045.下表是我市七个县(区)今年某日最高气温(℃)的统计结果：县(区)平山区明山区溪湖区南芬区高新区本溪县恒仁县气温(℃)26262525252322则该日最高气温(℃)的众数和中位数分别是()A.25，25B.25，26C.25，23D.24，256.不等式组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－3＞0,2x－8≤0))的解集是()A.x＞3B.x≤4C.x＜3D.3＜x≤47.如图所示，该几何体的左视图是()8.下列事件属于必然事件的是()A.打开电视，正在播出系列专题片“航拍中国”B.若原命题成立，则它的逆命题一定成立C.一组数据的方差越小，则这组数据的波动越小D.在数轴上任取一点，则该点表示的数一定是有理数9.为推进垃圾分类，推动绿色发展，某化工厂要购进甲、乙两件型号机器人用来进行垃圾分类，用360万元购买甲型机器人和用480万元购买乙型机器人的台数相同，两种型号机器人的单价和为140万元，若设甲型机器人每台x万元．根据题意，所列方程正确的是()A.eq\f(360,x)＝eq\f(480,140－x)B.eq\f(360,140－x)＝eq\f(480,x)C.eq\f(360,x)＋eq\f(480,x)＝140D.eq\f(360,x)－140＝eq\f(480,x)10.如图，点P是以AB为直径的半圆上的动点，CA⊥AB，PD⊥AC于点D，连接AP，设AP＝x，PA－PD＝y，则下列函数图象能反映y与x之间关系的是()第10题图第二部分非选择题(共120分)二、填空题(本题共8小题，每小题3分，共24分)11.若eq\r(x－2)在实数范围内有意义，则x的取值范围是________．12.函数y＝5x的图象经过的象限是________．13.如果关于x的一元二次方程x2－4x＋k＝0有实数根，那么k的取值范围是________．14.在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是A(4，2)，B(5，0)，以点O为位似中心，相似比为eq\f(1,2)，把△ABO缩小，得到△A1B1O，则点A的对应点A1的坐标为________．15.如图，BD是矩形ABCD的对角线，在BA和BD上分别截取BE，BF，使BE＝BF；分别以E，F为圆心，以大于eq\f(1,2)EF的长为半径作弧，两弧在∠ABD内交于点G，作射线BG交AD于点P，若AP＝3，则点P到BD的距离为________．第15题图16.如图所示的点阵中，相邻的四个点构成正方形，小球只在点阵中的小正方形ABCD内自由滚动时，则小球停留在阴影区域的概率为________．第16题图17.如图，在平面直角坐标系中，等边△OAB和菱形OCDE的边OA，OE都在x轴上，点C在OB边上，S△ABD＝eq\r(3)，反比例函数y＝eq\f(k,x)(x＞0)的图象经过点B，则k的值为________．第17题图18.如图，点B1在直线l：y＝eq\f(1,2)x上，点B1的横坐标为2，过B1作B1A1⊥l，交x轴于点A1，以A1B1为边，向右作正方形A1B1B2C1，延长B2C1交x轴于点A2；以A2B2为边，向右作正方形A2B2B3C2，延长B3C2交x轴于点A3；以A3B3为边，向右作正方形A3B3B4C3，延长B4C3交x轴于点A4；…；按照这个规律进行下去，点Cn的横坐标为________(结果用含正整数n的代数式表示)．第18题图三、解答题(第19题10分，第20题12分，共22分)19.先化简，再求值：(eq\f(a2－4,a2－4a＋4)－eq\f(1,2－a))÷eq\f(2,a2－2a)，其中a满足a2＋3a－2＝0.20.某中学为了提高学生的综合素质，成立了以下社团：A.机器人，B.围棋，C.羽毛球，D.电影配音．每人只能加入一个社团．为了解学生参加社团的情况，从参加社团的学生中随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图：图①图②第20题图根据以上信息，解答下列问题：(1)这次被调查的学生共有________人；(2)请你将条形统计图补充完整；(3)若该校共有1000名学生加入了社团，请你估计这1000名学生中有多少人参加了羽毛球社团；(4)在机器人社团活动中，由于甲、乙、丙、丁四人平时的表现优秀，现决定从这四人中任选两名参加机器人大赛，用树状图或列表法求恰好选中甲、乙两位同学的概率．四、解答题(第21题12分，第22题12分，共24分)21.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD⊥CD，∠B＝45°，延长CD到点E，使DE＝DA，连接AE.(1)求证：AE＝BC；(2)若AB＝3，CD＝1，求四边形ABCE的面积．第21题图22.小李要外出参加“建国70周年”庆祝活动，需网购一个拉杆箱，图①，②分别是她上网时看到的某种型号拉杆箱的实物图与示意图，并获得了如下信息：滑杆DE，箱长BC，拉杆AB的长度都相等，B，F在AC上，C在DE上，支杆DF＝30cm，CE∶CD＝1∶3，∠DCF＝45°，∠CDF＝30°，请根据以上信息，解决下列问题：(1)求AC的长度(结果保留根号)；(2)求拉杆端点A到水平滑杆ED的距离(结果保留根号)．第22题图五、解答题(满分12分)23.某工厂生产一种火爆的网红电子产品，每件产品成本16元，工厂将该产品进行网络批发，批发单价y(元)与一次性批发量x(件)(x为正整数)之间满足如图所示的函数关系．(1)直接写出y与x之间满足的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；(2)若一次性批发量不超过60件，当批发量为多少时，工厂获利最大？最大利润是多少？第23题图六、解答题(满分12分)24.如图，点P为正方形ABCD 的对角线AC上的一点，连接BP并延长交CD于点E，交AD的延长线于点F，⊙O是△DEF的外接圆，连接DP.(1)求证：DP是⊙O的切线；(2)若tan∠PDC＝eq\f(1,2)，正方形ABCD的边长为4，求⊙O的半径和线段OP的长．第24题图七、解答题(满分12分)25.在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，∠A＜∠ABC，D是AC边上一点，且DA＝DB，O是AB的中点，CE是△BCD的中线．(1)如图a，连接OC，请直接写出∠OCE和∠OAC的数量关系：________；(2)点M是射线EC上的一个动点，将射线OM绕点O逆时针旋转得射线ON，使∠MON＝∠ADB，ON与射线CA交于点N.①如图b，猜想并证明线段OM和线段ON之间的数量关系；②若∠BAC＝30°，BC＝m，当∠AON＝15°时，请直接写出线段ME的长度(用含m的代数式表示)．第25题图八、解答题(满分14分)26.抛物线y＝－eq\f(2,9)x2＋bx＋c与x轴交于A(－1，0)，B(5，0)两点，顶点为C，对称轴交x轴于点D，点P为抛物线对称轴CD上的一动点(点P不与C，D重合)，过点C作直线PB的垂线交PB于点E，交x轴于点F.(1)求抛物线的解析式；(2)当△PCF的面积为5时，求点P的坐标；(3)当△PCF为等腰三角形时，请直接写出点P的坐标．第26题图第26题图备用图

2019年本溪中考真题答案及解析·数学1.B【解析】0既不是正数，也不是负数．2.B【解析】选项A是轴对称图形，选项C是中心对称图形，选项D是轴对称图形．3.D【解析】选项逐项分析正误Ax7÷x＝x7－1＝x6B(－3x2)2＝9x4Cx3·x3＝x3＋3＝x6D(x3)2＝x6√4.A5.A【解析】∵这组数据中出现最多的数是25，∴这组数据的众数是25.将一组数据按从小到大(或从大到小)的顺序排列后，若数据是奇数个，则最中间一个数是中位数；若数据是偶数个，则中间两个数的平均数是中位数，∵将这组数据从小到大进行排列，∴这组数据的中位数是25.6.D【解析】∵不等式组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－3>0①，,2x－8≤0②，))解不等式①得x>3，解不等式②得x≤4，∴原不等式组的解集为3<x≤4.7.B8.C【解析】A，B，D都是不确定事件．9.A【解析】设甲型机器人每台x万元，则乙型机器人每台(140－x)万元，根据台数＝总价÷单价，即可得出关于x的分式方程同选项A.10.C【解析】如解图，连接BP，∵AB为直径，∴∠APB＝90°，∵AB⊥AC，∴∠DAP＋∠PAB＝90°，∴∠DAP＝∠PBA，∴△ADP∽△BPA，∴eq\f(PD,PA)＝eq\f(PA,AB)，∴PD＝eq\f(x2,2r)∴y＝－eq\f(x2,2r)＋x，所以图像为开口向下的抛物线．第10题解图11.x≥2【解析】由算术平方根的被开方数为非负数计算即可得解．由题意得，x－2≥0，解得x≥2.12.一、三【解析】k>0的正比例函数经过一、三象限13.k≤4【解析】∵一元二次方程有实数根，∴b2－4ac＝(－4)2－4·1·k≥0，解得k≤4.14.(2，1)或(－2，－1)【解析】位似中心可以在图形的同侧，也可能在异侧，∴第一、三象限都有，∵相似比为eq\f(1,2)，∴将A点的横纵坐标分别除以±2，即为所求．15.3【解析】由题意得，BP为∠ABD的角平分线，根据角平分线的性质，则P到BD的距离等于P到AB的距离AP.16.eq\f(11,12)【解析】如解图，设点阵中点之间的距离为1.∵tan∠AEB＝tan∠AFP＝eq\f(2,3)，BE＝1，∴BN＝eq\f(2,3)，AN＝eq\f(1,3)，AM＝eq\f(1,2)，∴S△AMN＝eq\f(1,12)，S阴影＝eq\f(11,12)，∴在阴影面积的概率为eq\f(11,12).第16题解图17.eq\r(,3)【解析】如解图，连接OD，过点B作BM⊥x轴于点M，BN⊥y轴于点N，∵∠DOE＝∠BAO，∴OD∥AB，平行线间距离相等．∴S△ABD＝S△OBA，易证S△ABO＝S矩形OMBN＝eq\r(,3)，∴k＝eq\r(3).第17题解图18.7×eq\f(3n－1,2n)【解析】如解图，作B1M⊥x轴于点M，再分别作C1N⊥x轴，C2E⊥x轴，由题意得，∵B1坐标为(2，1)，∴M为(2，0)，A1M＝eq\f(1,2)，A1为(eq\f(5,2)，0)．∴A1B1＝A1C1＝eq\f(\r(5),2).∵根据△A1C1N∽△OB1M可知N为(eq\f(7,2)，0)，∴C1为(eq\f(7,2)，eq\f(1,2))，A2为(eq\f(15,4)，0)，∴A2B2＝A2C2＝eq\f(3,4)eq\r(5).又∵eq\f(A2C2,A1C1)＝eq\f(3,2)，易知△A2A3C2∽△A1A2C1且其相似比为eq\f(3,2)，∵点C1的横坐标为eq\f(7,2)，∴点C2横坐标为eq\f(7,2)×eq\f(3,2)，∴同理可得点C3横坐标为eq\f(7,2)×(eq\f(3,2))2，...，∴依次类推点Cn的横坐标为eq\f(7,2)×(eq\f(3,2))n－1，即点Cn的横坐标为7×eq\f(3n－1,2n).第18题解图19.解：原式＝(eq\f(a2－4,a2－4a＋4)－eq\f(1,2－a))÷eq\f(2,a2－2a)＝[eq\f(（a＋2）（a－2）,（a－2）2)＋eq\f(1,a－2)]·eq\f(a（a－2）,2)＝(eq\f(a＋2,a－2)＋eq\f(1,a－2))·eq\f(a（a－2）,2)＝eq\f(a＋3,a－2)·eq\f(a（a－2）,2)＝eq\f(a2＋3a,2)(6分)∵a满足a2＋3a－2＝0∴a2＋3a＝2∴原式＝eq\f(2,2)＝1(10分)20.第20题解图解：(1)200；(2分)(2)补全条形统计图如解图；【解法提示】200－20－80－40＝60(人)(4分)(3)eq\f(60,200)×1000＝300(人)答：估计这1000名学生中约有300人参加了羽毛球社团．(7分)(4)列表如下：甲乙丙丁甲(甲，乙)(甲，丙)(甲，丁)乙(乙，甲)(乙，丙)(乙，丁)丙(丙，甲)(丙，乙)(丙，丁)丁(丁，甲)(丁，乙)(丁，丙)总共有12种结果，每种结果出现的可能性相同，恰好选中甲、乙两位同学的结果有2种：(甲，乙)，(乙，甲)．∴P(甲，乙)＝eq\f(2,12)＝eq\f(1,6)(12分)21.(1)证明：∵AD⊥CD，∴∠ADC＝∠ADE＝90°.又∵AB∥CD，∴∠DAB＝∠ADE＝90°.又∵DE＝DA，∴∠E＝∠DAE＝45°.∴∠DAE＋∠DAB＋∠B＝45°＋90°＋45°＝180°.∴AE∥BC.又∵AB∥CE，∴四边形ABCE是平行四边形．∴AE＝BC；(6分)(2)解：∵四边形ABCE是平行四边形，∴CE＝AB＝3.又∵DA＝DE＝CE－CD＝3－1＝2，∴S四边形ABCE＝AB·AD＝3×2＝6.答：四边形ABCE的面积是6.(12分)22.解：(1)如解图，过点F作FG⊥DE于点G.∴∠FGD＝∠FGC＝90°.在Rt△DGF中，∠CDF＝30°，∴FG＝FD·sin30°＝30×eq\f(1,2)＝15.∴DG＝FD·cos30°＝30×eq\f(\r(3),2)＝15eq\r(3).在Rt△CGF中，∠DCF＝45°，∴CG＝FG＝15.∴CD＝CG＋DG＝15＋15eq\r(3).∵CE∶CD＝1∶3，第22题解图∴CE＝eq\f(1,3)CD＝eq\f(1,3)(15＋15eq\r(3))＝5＋5eq\r(3).∴DE＝EC＋CD＝5＋5eq\r(3)＋15＋15eq\r(3)＝20＋20eq\r(3).∵DE＝BC＝AB，∴AC＝AB＋BC＝2DE＝2(20＋20eq\r(3))＝40＋40eq\r(3).答：AC的长度是(40＋40eq\r(3))cm.(8分)(2)如解图，作AH⊥ED交ED延长线于点H.在Rt△AHC中，∠ACH＝45°，∴AH＝AC·sin45°.＝(40＋40eq\r(3))×eq\f(\r(2),2)＝20eq\r(2)＋20eq\r(6).答：拉杆端点A到水平滑杆ED的距离是(20eq\r(2)＋20eq\r(6))cm.(12分)23.解：(1)y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(40（0<x≤20且x为正整数），,－\f(1,2)x＋50（20<x≤60且x为正整数），,20（x>60且x为正整数）.))(6分)(2)设工厂获得利润为w元．当0<x≤20时，且x为正整数时，w＝(40－16)x＝24x.∵k＝24>0.∴w随x增大而增大．∴当x＝20时，w最大＝20×24＝480(元)．当20<x≤60时，w＝(－eq\f(1,2)x＋50－16)x＝－eq\f(1,2)x2＋34x∵a＝－eq\f(1,2)<0，∴当x＝－eq\f(34,2×（－\f(1,2)）)＝34时，w最大＝－eq\f(1,2)×342＋34×34＝578(元)．∵480<578，∴当一次性批发34件时，工厂获利最大，最大利润是578元．(12分)24.第24题解图(1)证明：如解图，连接OD，∵四边形ABCD是正方形，∴DC＝BC，∠DCP＝∠BCP.又∵CP＝CP，∴△DCP≌△BCP(SAS)．∴∠CDP＝∠CBP.∵∠FDE＝∠BCD＝90°，∴EF为⊙O直径，∴OD＝OE.∴∠ODE＝∠OED.又∵CEP＝∠OED，∴∠CEP＝∠ODE.∵∠BEC＋∠CBE＝90°，∴∠ODE＋∠CDP＝90°.即∠ODP＝90°，∴OD⊥DP，又∵OD为⊙O的半径，∴DP是⊙O的切线；(6分)(2)解：∵四边形ABCD是正方形，∴AD∥BC.∴∠F＝∠CBP.又∵∠CDP＝∠CBP，∴∠F＝∠CDP＝∠CBP.∴tan∠F＝tan∠CDP＝tan∠CBP.∴eq\f(EC,BC)＝eq\f(DE,DF)＝eq\f(1,2).∴EC＝eq\f(1,2)BC＝eq\f(1,2)×4＝2.∴DE＝DC－EC＝4－2＝2.∴DF＝2DE＝2×2＝4.在Rt△DEF中，EF＝eq\r(DE2＋DF2)＝eq\r(42＋22)＝2eq\r(5)，∴OE＝eq\f(1,2)EF＝eq\r(5).在Rt△CEB中，EB＝eq\r(CE2＋BC2)＝eq\r(42＋22)＝2eq\r(5)，∵DC∥AB，∴△CEP∽△ABP.∴eq\f(CE,AB)＝eq\f(EP,BP)＝eq\f(1,2).∴EP＝eq\f(1,3)BE＝eq\f(1,3)×2eq\r(5)＝eq\f(2\r(5),3).∴OP＝OE＋EP＝eq\r(5)＋eq\f(2,3)eq\r(5)＝eq\f(5\r(5),3).答：⊙O的半径长为eq\r(5)，线段OP的长为eq\f(5\r(5),3).(12分)25.解：(1)∠OCE＝∠OAC；(2分)【解法提示】∵CO、CE分别是△ABC和△BCD的中线，∠BCA＝90°，∴OC＝OB＝OA，CE＝BE＝ED.∴∠OBC＝∠OCB，∠EBC＝∠ECB.∵DA＝DB，∴∠OAC＝∠OBD.∴∠OBC－∠EBC＝∠OCB－∠ECB.∴∠OBD＝∠OCE，即∠OAC＝∠OCE.(2)①OM＝ON.(3分)证明：如解图，连接OC.∵CO、CE分别是△ABC和△BCD的中线，又∵∠BCA＝90°，∴OC＝OA＝OB，CE＝DE＝BE.∴∠OAC＝∠OCA，∠OCB＝∠OBC，∠EBC＝∠ECB.∴∠OCB－∠ECB＝∠OBC－∠EBC.第25题解图即∠OCE＝∠OBE.又∵DA＝DB，∴∠OAC＝∠DBA.∴∠OCE＝∠OAC.∵∠OAN＝180°－∠BAC∠OCM＝180°－∠OCE，∴∠OAN＝∠OCM.又∵∠OAC＝∠OCA＝∠OCE，∠AOC＝180°－∠OAC－∠OCA，∠ADB＝180°－∠OAC－∠OBD，∴∠AOC＝∠ADB.OC＝OA，又∵∠MON＝∠ADB，∴∠