曲线与方程课件

曲线与方程直线抛物线曲线与方程直线1曲线与方程概念一般地，在直角坐标系中，如果其曲线c上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系：（1）曲线上的点的坐标都是这个方程的解；（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线.曲线与方程概念2定义中为什么要作两条规定？从集合的角度来看：一条曲线C和一个方程f(x，y)＝0可以是同一个点集在“形”和“数”两个不同方面的反映，只有当曲线所表示的点集C与方程f(x，y)=0的解所表示的点集F是同一个点集，即C=F时，才能称曲线为方程的曲线，方程为曲线的方程，那么怎样验证C=F呢？从以下两个方面：1°曲线C上任一点的坐标都是方程f(x，y)=0的解．2°以方程f(x，y)=0的解为坐标的点都在曲线C上．当1°2°同时满足时，C=F，即曲线与方程之间是对应的．定义中为什么要作两条规定？从集合的角度来看：一条曲线C和一个3例题讲解：

例1证明圆心为坐标原点，半径等于5的圆的方程是x2+y2=25,并判断点M1（3，－4）、M2（－2，2）

(2)把点M1（3，－4）的坐标代入方程x2+y2=25，左右两边相等，（3，－4）是方程的解，所以点M1在这个圆上；把点M2（－2，2）的坐标代入方程x2+y2=25，左右两边不等，（－2，2）不是方程的解，所以点M2不在这个圆上.是否在这个圆上.点在曲线上的充要条件：如果曲线C的方程是f（x,y）=0，那么点P0=（x0,y0）.在曲线C上的充要条件是f(x0,y0)=0.1°曲线C上任一点的坐标都是方程f(x，y)=0的解．2°以方程f(x，y)=0的解为坐标的点都在曲线C上．例题讲解：

例1证明圆心为坐标原点，半径等于5的圆的方程4曲线的点集与方程的解集之间的关系点M与有序实数对（x,y），曲线C与方程f(x,y)=0之间建立一一对应的关系。点M曲线C按某种运动规律几何意义坐标(x,y)方程f(x,y)=0x,y的制约关系代数意义曲线的点集与方程的解集之间的关系点M曲线C按某种运5反馈练习1已知坐标满足方程f(x,y)=0的点都在曲线C上，下列命题中正确的是：A曲线C上的点的坐标都适合方程f(x,y)=0B不在曲线C上的点的坐标比不适合方程f(x,y)=0C凡坐标不适合方程f(x,y)=0的点都不在C上D曲线C是满足条件f(x,y)=0的点的轨迹反馈练习1已知坐标满足方程f(x,y)=0的点都在曲线C上，62,下列各组方程表示相同的曲线是3,点（2，－3）在曲线x2-ay2=0上，则a=____2,下列各组方程表示相同的曲线是3,点（2，－3）在曲线x27解析几何与坐标法：学过曲线的方程,方程的曲线的概念之后,我们可以借助坐标系,用坐标表示点,把曲线看成是满足某种条件的点的集合或轨迹,用曲线上的点的坐标(x,y)所满足的方程f(x,y)=0表示曲线，通过研究方程的性质间接研究曲线的性质，我们把借助于坐标系研究几何图形的方法叫做坐标法.在数学中，用坐标法研究几何图形的知识形成了一门叫解析几何的学科.因此，解析几何是用代数方法研究几何问题的一门数学学科.解析几何与坐标法：8平面解析几何研究的主要问题：（1）根据已知条件，求出表示平面曲线的方程；（2）通过方程，研究平面曲线的性质.平面解析几何研究的主要问题：9例2设A、B两点的坐标是（－1，－1），（3，7），求线段AB的垂直平分线的方程.解：设M（x,y）是线段AB的垂直平分线上任意一点点M属于集合由两点间的距离公式，点M所适合条件可表示为：将上式两边平方，整理得x+2y－7=0①我们证明方程①是线段AB的垂直平分线的方程.例2设A、B两点的坐标是（－1，－1），（3，7），求线10由（1）、（2）可知方程①是线段AB的垂直平分线的方程.即点M1在线段AB的垂直平分线上我们证明方程①是线段AB的垂直平分线的方程（1）由求方程的过程可知，垂直平分线上每一点的坐标都是方程①解；（2）设点M1的坐标（x1,y1）是方程①的解，即x+2y1－7=0x1=7－2y1点M1到A、B的距离分别是由（1）、（2）可知方程①是线段AB的垂直平分线的方程.即点11由上面的例子可以看出，求曲线（图形）的方程，一般有下面几个步骤：（1）建立适当的坐标系，用有序实数对（x,y）表示曲线上任意一点M的坐标；（2）写出适合条件P的点M的集合P={M|p（M）}；（3）用坐标表示条件p（M），列出方程f(x,y)=0;（4）化方程f(x,y)=0为最简形式；（5）证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点.建系—列式—化简—证明由上面的例子可以看出，求曲线（图形）的方程，一般有下面几个步12例4，已知一条曲线在x轴的上方，它上面的每一点到点A（0，2）的距离减去它到x轴的距离的差都是2，求这条曲线的方程.例3，M与两条互相垂直的直线的距离的积是k(k>0),求M的轨迹方程。例4，已知一条曲线在x轴的上方，它上面的每一点到点A（0，13问题一相关点法求轨迹例1：已知三角形ABC中，A(-2,0)B(0,2)第三个顶点C在曲线y=3x2-1上移动，求三角形ABC的重心G的轨迹方程。例2：过点P(2,4)做两条相互垂直的直线l1l2，若l1交x轴与点A,l2交y轴于B点，求线段AB中点M的轨迹方程问题一相关点法求轨迹例1：已知三角形ABC中，A(-2,0)14问题二曲线的交点问题例1：l:y=kx+2,C:y2=4x,当k为何值时，两曲线有一个公共点？例2：抛物线y=x2+mx+2与以A(0,1)B(2,3)