材料力学讲义五三

Chapter13EnergyMethod第十三章能量法1

第十三章能量法

(EnergyMethods)§13-1概述（Introduction)§13-2杆件变形能的计算(Calculationofstrainenergyforvarioustypesofloading)§13-3互等定理（Reciprocal

theorems)§13-4单位荷载法

莫尔定理(Unit-loadmethod&mohr’stheorem)§13-5卡氏定理(Castigliano’sTheorem)§13-6计算莫尔积分的图乘法(Themeth-odofmomentareasformohr’sintegration)2§13-1概述（Introduction）在弹性范围内,弹性体在外力作用下发生变形而在体内积蓄的能量,称为弹性变形能,简称变形能.一、能量方法（Energymethods)三、变形能（Strainenergy）二、外力功（Workoftheexternalforce）固体在外力作用下变形,引起力作用点沿力作用方向位移,外力因此而做功,则成为外力功.利用功能原理Vε=W来求解可变形固体的位移,变形和内力等的方法.3可变形固体在受外力作用而变形时,外力和内力均将作功.对于弹性体,不考虑其他能量的损失,外力在相应位移上作的功,在数值上就等于积蓄在物体内的应变能.

Vε=W四、功能原理（Work-energyprinciple）Theformula:（Work-EnergyPrinciple）Wewillnotconsiderotherformsofenergysuchasthermalenergy,chemicalenergy,andelectromagneticenergy.Therefore,ifthestressesinabodydonotexceedtheelasticlimit,allofworkdoneonabodybyexternalforcesisstoredinthebodyaselasticstrainenergy.

4§13-2杆件变形能的计算(Calculationofstrainenergyforvarioustypesofloading)一、杆件变形能的计算（Calculationofstrainenergyforvarioustypesofloading）1.轴向拉压的变形能（Strainenergyforaxialloads)此外力功的增量为：当拉力为F1时,杆件的伸长为Δl1当再增加一个dF1时,相应的变形增量为d(Δl1)5FF

llF

lFO

l

l1dl1dF1F1积分得:6根据功能原理当轴力或截面发生变化时:

Vε=W,可得以下变形能表达式7（单甘位J/怖m3)比能（st歼ra史in姑e骑ne摘rg属y塑de苏ns础it毙y）:单位耳体积恳的应轰变能.记作u当轴拘力或麻截面弦连续纳变化盐时：82.扭转撒杆内顺的变锐形能（St玻ra箱in践e做ne洪rg腐y赠fo悲rto拿rs笋io说na周llo由ad纯s）或l

MeMe

Me9纯弯祝曲（pu纱re尸b哀en寺di时ng番)横力籍弯曲（no姑nu荐ni倍fo笑rmbe露nd桃in漫g）3.弯曲蛾变形玩的变植形能（St耳ra差in拨e靠ne丽rg恐y夕fo希r励fl槽ex昂ur肚al齐l史oa酿ds）θMe

MeMe

Me104.组合义变形佛的变锅形能（St花ra意in评e锈ne尼rg捎y株fo万r怕co敏mb万in税ed重l迟oa歇ds财)截面幅上存错在几乏种内显力,各个罢内力沈及相傲应的偶各个陷位移饥相互鞠独立,力独误立作婶用原企理成惨立,各个旅内力坦只对结其相秃应的兔位移臭做功.5.纯剪妻切应图力状支态下具的比仅能（St尝ra朗in押e啊ne腊rg粗y转de础ns谢it潜y顷fo袋r佛pu局re荒s终he脊ar抱in梯g明st瓶at桥e腐of喂s弦tr浆es胡se塌s）假设肢单元折体左掌侧固府定,因此迟变形档后右樱侧将洁向下吴移动

dx.11dxdydzxyzabd因为脊很小,所以禁在变畅形过则程中,上下颈两面都上的渔外力量将不弊作功.只有抱右侧络面的粪外力猾（

dydz）对相亏应的型位移

dx作了摔功.

dx当材偏料在皆线弹露性范桐围内乓内工钥作时,上述驰力与恭位移腥成正斩比,因此,单元少体上外力绵所作侦的功卧为比能奸为12将

=G代如嗽上式舱得dxdydzxyzabd

dx等直郊圆杆文扭转邀时应巡寿变能会的计漂算13将代入枕上式牌得14二、变形鼠能的雄普遍岩表达岩式（Ge芒ne颂ra巷l凶fo私rm楚ul荒a伶fo齿r配st里ra辜in体e伤ne逮rg臭y）F--广义求力(包括段力和云力偶)δ--广义蛇位移(包括浑线位乔移和默角位炮移)B'C'F3BCF2AF1假设殊广义也力按益某一娇比例兵由零敌增致侵最后建值对衡应的刘广义拼位移驻也由父零增注致最祝后值.15对于慎线性本结构,位移窑与荷柜载之膏间是挺线性蚂关系惊，任某一广挪义位显移,例如

2可表哥示为F3ABCF1F2B'C1F1,C2F2,C3F3分别表示摔力F1,F2,F3在C点引袜起的粮竖向柜位移.C1,C2,C3是比品例常福数.F3/F2在比例加载时也是常数F1/F2和

2与F2之间级的关古系是从线性尽的.同理,

1与F1,

3与F3之间福的关守系也驱是线耍性的.16在整上个加蹄载过盛程中艘结构省的变较形能裁等于宁外力勾的功

iFiF3ABCF1F2B'——克拉检贝隆直原理亿（只霜限于碰线性添结构严）Fi

i17三、趟变形丢能的疗应用（Ap汤pl承ic献at钩io聪n答of裹s轰tr系ai尊n仆en丽er纯gy）1.计算乔变形妇能（Ca汗lc徒ul岂at据in干g勒st疮ra铜in钓e射ne韵rg特y）2.利用说功能烘原理慕计算窗变形（Wo棍rk视-e窗ne扇rg烦y斧pr怠in引ci孤pl猪e兼fo缸r恒ca萄lc令ul草at艘in巧g鸣de祝fl平ec嫁ti盛on）例题1试求草图示分悬臂芦梁的避变形静能,并利辜用功池能原滔理求比自由葵端B的挠自度.ABFlx解：由Vε=W得18例题2试求甜图示潜梁的奶变形绣能,并利吗用功包能原窗理求C截面更的挠敲度.ABCFx1x2abl解：由Vε=W得19例题3试求遇图示鼓四分陡之一丹圆曲穷杆的肯变形套能,并利饥用功和能原岸理求B截面桐的垂泊直位根移.已知EI为常课量.解：ABFORθ由Vε=W得20例题4拉杆或在线腿弹性艇范围授内工下作.抗拉怎刚度EI,受到F1和F2两个疑力作烧用.若先森在B截面胡加F1,然后南在C截面垂加F2;若先遣在C截面缝加F2,然后展在B截面滩加F1.分别羞计算绕两种赏加力慨方法排拉杆晴的应默变能.ABCabF1F221（1）先罩在B截面案加F1,然后焰在C截面撇加F2ABCabF1（a）在B截面某加F1,B截面孤的位秧移为外力守作功卫为（b）再毅在C上加F2F2C截面糠的位移柿为F2作功幅为22（c）在表加F2后,B截面析又有拉位移在加F2过程坊中F1作功南（常宋力作稀功）所以联应变爸能为ABCabF1F223（2）若摧先在C截面睬加F2,然后B截面魂加F1.（a）在C截面雹加F2后,F2作功（b）在B截面锯加F1后,F1作功ABCabF1F224（c）加F1引起C截面脑的位城移在加F1过程唱中F2作功酿（常冬力作圈功）ABCabF1F2所以职应变局能为注意伤：（1）郑计踏算外执力作执功时,注意闲变力廉作功沾与常员力作铁功的孟区别.（2）应字变能Vε只与幅外力冰的最德终值求有关,而与铁加载爱过程习和加草载次追序无恩关.25

2解:梁中颜点的吹挠度榜为:梁右脂端的烤转角牵为:MeACBFl/2l/2梁的据变形喊能为:

1例题5以弯傲曲变袭形为砍例证普明应变他能Vε只与机外力猛的最终值咱有关,而与呜加载答过程和加秩载次牛序无存关.26先加扒力F后,再加肿力偶Me（1）先桨加力F后,C点的等位移力F所作螺的功炕为（2）力计偶由推零增岂至最赖后值MeB截面霉的转模角为力偶Me所作未的功巾为ACBFl/2l/2ACBFl/2l/2Me

1

27先加叠上的月力F所作坟的功匆为C截面姓的位娱移为

3ACBl/2l/2F与力偶Me所作率的功轿为ACBFl/2l/2

1

Me28两力擦作用漠点沿真力作码用方梯向的惹位移量分别到为F1,F2（1）设哄在线提弹性害结构任上作窜用力

1,

2一、酸功的拔互等限定理（Re疫ci牙pr翼oc摧al护w俗or霞k绪th秃eo电re下m）§1归3-3互等敬定理（Re而ci亚pr滋oc你al它T目he祥or影em耳s蝇)

1

2F1F229F1F2

1

2F1和F2完成赌的功鹅应为（2）在硬结构插上再滨作用务有力F3,F4沿F3和F4方向倍的相裁应位允移为

3,

4F3

3

4F4F3和F4完成勿的功送应为30（3）在F3和F4的作国用下,F1和F2的作跳用点透又有腹位移F1和F2在

1´和

2´上完成删的功购应为F1F2

1

2F3

3

4F4因此,按先傅加F1,F2后F3,F4的次渡序加随力,结构物的应印变能票为

1´和

2´31F1F2

1

2

3

4F4F3若按托先加F3,F4后加F1,F2的次煎序加春力,又可娇求得楼结构炉的应险变能寺为由于推应变肾能只串决定翠于力史和位私移的机最终雀值,与加电力的狡次序抓无关,故32功的壮互等值定理（re丈ci求pr雨oc稿al谨w判or课k散th蔑eo丈re剧m）:第一宇组力酒在第岗二组铃力引盲起的盛位移咳上所即作的劳功,等于罩第二暂组力粒在第蹦一组担力引内起的路位移处上所达作的型功.二、衫位移封互等旷定理（Re参ci捕pr办oc药al痰d命is初pl柿ac动em扑en态t荣th麦eo小re聚m)若第牛一组当力F1,第二她组力截只有F3,则如果F1=F3,则有33位移巧互等龟定理（re镜ci铸pr涝oc牲al剖w潮or涨k订th动eo蜜re役m）：F1作用多点沿F1方向因作浆用F3而引起机的位乒移等逼于F3作用捉点沿F3方向因作喜用F1而引起朋的位脱移.（Th告e腔d跌ef弟le惹ct刻io够n鹊at什A纤d脾ue描t道o京a臂lo撇ad辅a叫ct台in唤g链at冻B页i煤s何eq僵ua开l址to去t梦he尸d毛ef丘le改ct胃io瞒n哥at挑B锣d竹ue掌t茅o莲th坟e灾sa浑me献l洲oa贡d之ac恼ti嫂ng公a衔t链A衡)三、克注意（No兰ti葬ce）（1）力储和位腿移都寻应理逆解为蜜广义犬的.（2）这末里是始指结凑构不俘可能傅发生辣刚性详位移瓣的情动况下,只是链由变营形引凶起的团位移.34§1馒3-4单位掠荷载瞧法

莫尔舞定理（Un位it窃-l需oa条d翠me壮th惠od洋&mo收hr澡’sth圣eo筋re露m）一、议莫尔统定理拿的推透导（De呆ri园va凝ti滑on邪o瓶fmo除hr安’sth跳eo嗓re勺m）求任欠意点A的位绣移wAF1F2A35A图b变形古能为aA图F1F2=1F0AF1F2图cwAF0=1（1）先干在A点作减用单棉位力F0,再作荡用F1、F2力36（2）三吹个力捕同时放作用序时任意露截面橡的弯浴矩:变形引能:37（Mo灯hr悄’s被T仙he已or师em）桁架夏：二、珍普遍影形式怕的莫亮尔定吴理（Ge枣ne屑ra警l帅fo突rm牛ul殖a防fo律rmo壁hr它’sth症eo楚re冰m）注意:上式居中Δ应看态成广兆义位捎移,把单算位力降看成裂与广换义位搂移相鲁对应萝的广架义力.38三、疫使用界莫尔子定理蕉的注蒸意事斜项（5）莫流尔积岭分必滨须遍阔及整舱个结个构.（1）M（x）：冰结构绣在原捉载荷辩下的两内力;（3）所女加广赏义单那位力舅与所环求广崭义位舅移之浮积,必须歌为功荡的量嫩纲;（2）——去掉主动力,在所求广义位移点,沿所求广义位移的方向加广义单位力时,结构产生的内力;M（4）与M（x）的坐标系必须一致,每段杆的坐标系可自由建立;M（x）39A例题5抗弯须刚度核为EI的等还截面觉简支待梁受俗均布麦荷载连作用,用单浊位载熄荷法欠求梁啦中点境的挠关度wC和支交座A截面陕的转颠角.剪力早对弯君曲的苍影响深不计.qBCll/遥2ql/2ql/2解:在实找际荷陡载作绪用下,任一x截面区的弯级矩为40AAB11/21/2C（1）求C截面诵的挠堵度在C点加帜一向忠下的描单位宅力,任一x截面使的弯壮矩为xqBCll/虚2ql/2ql/241ql/2AAB11/l1/lx（2）求A截面补的转覆角在A截面乡丰加一导单位耍力偶引起谈的x截面六的弯架矩为qCll/耍2（顺时类针）ql/242B例题6图示敬外伸喘梁,其抗弯弯刚搅度为EI.用单孔位载端荷法艘求C点的祥挠度坚和转踪蝶角.ACqF=qaa2a43BAABCa2a1解：xAB:（1）求株截面拢的挠此度（朝在C处加墙一单分位力补“1”）CqF=qaa2aFRAx1/244BC:BAABCa2aCqF=qaa2aFRA1/虏2xx145BABC:AB:（2）求C截面货的转的角（促在C处加阳一单择位力已偶）1xxABCa2axCqF=qaa2ax1/2a（）FRA46例题7刚架殊的自舞由端A作用押集中倘力F.刚架庸各段肃的抗岛弯刚忠度已辈于图兵中标卵出.不计廉剪力鸭和轴也力对您位移吧的影摩响.计算A点的转垂直亭位移砍及B截面屠的转望角.aABCFlEI1EI2解:（1）计祝算A点的线垂直薪位移,在A点加瞒垂直隆向下使的单戴位力BClEI1EI2a147AB:BC:aABCFlEI1EI2xxABC1lEI1EI2xxa48（2）计恐算B截面戚的转礼角,在B上加淋一个蒸单位篮力偶忆矩AB:BC:ABCFlEI1EI2xxaABClEI1EI2xxa（）149例题8图示吵刚架,两杆液的EI和EA分别史相同,试求C点的注水平声位移.CFabAB解:在C点加良一水袋平单秆位力1abBAC50Fab1abxxABBACCCB:xxAB:51Fab1abxxABBACCxx52例题9图示售为一巷水平精面内华的曲劫杆，B处为傻一刚府性节夫点，

AB停C=9爷0°在C处承拜受竖宅直力F，设凶两杆拥的抗狱弯刚关度和储抗扭奥刚度叛分别奖是EI和GIp，求C点竖挡向的药位移.ABCFab53xx解:在C点加置竖向睬单位志力BC:ABCFabABC1abxxAB:54xxABCFabABC1abxx55例题10由三烈杆组欧成的凳刚架,B,C为刚殖性节才点,三杆开的抗许弯刚爆度都炼是EI,试用需单位江载荷独法求A1,A2两点秃的相妻对位考移.A1A2BCllFF56x解：钟在A1,A2处加呀一对秤水平魄单位工力.B,C两支盖座的嫂反力片均为耀零.A1B：BC：CA2：xxA1A2BCllFFxxxA1A2BCll1157例题11刚架苹受力恼如图,求A截面怨的垂艰直位铁移,水平王位移哭及转赶角.ABCllq58AB：BC：解:求A点铅揭垂位奸移（尺在A点加蠢竖向僻单位惩力）xxxxABCllqABCllq159求A点水读平位之移（详在A点加巴水平妻单位室力）AB：BC：xxxxABCllqABCllq160xx求A点的背转角蜻（在A点加伪一单缠位力舒偶）AB:BC：xxABCllqABCllq1（）61例题12图示蒙为一催简单抵桁架,其各康杆的EA相等.在图催示荷爬载作唤用下A、C两节赌点间罚的相羞对位辜移.FaaFABCDE132456789a62FaaABCDE132456789aFaaFABCDE132456789a桁架腰求位攀移的译单位钻荷载文法为116312345678杆件编号90-F-F-FF-2F010000aaaaaaa02Fa0000A,C两点惑间的愤距离纵缩短.64例题13计算巧图（a）所示袋开口湿圆环叫在F力作刊用下摘切口伐的张追开量ΔAB.EI=常数.BAORFF(a)65BARPF(b蓬)BARP1(c盛)解：OO66

2

1

3设弹羞性结敞构在徒支座舱的约务束下青无任栗何刚箭性位欠移.作用得有外步力:F1,F2,

腰,Fi,

相应林的位扫移为诸：

1,

2,,

i,

§1部3-5卡氏踢定理(Ca北st足ig乔li屋an锐o’万sTh孔eo勿re耐m)F1F2F3结构沈的变兽形能67只给Fi一个繁增量

Fi.引起们所有寄力的痒作用窃点沿哑力方尘向的偿位移弱增量守为

2

1

3F1F2F3在作叹用

Fi的过应程中,

Fi完成买的功亚为原有谈的所很有力哑完成稠的功唇为结构僚应变疲能的真增量劈燕为68如果废把原向来的小力看紫作第轧一组仔力,而把

Fi看作杰第二炭组力.根椐筒互等疫定理略去高阶微量或者当

Fi趋于夹零时,上式再为这就妥是卡氏裁第二图定理（Ca刷st垒ig握li满an岭o’宾sSe支co喜nd披T浇he渡or抚em）（卡娇氏定贡理）（Ca茎st股ig只li脂an律o’宾sTh腔eo衣re团m）69（1）卡虽氏第冻二定竿理只翻适用换于线而性弹倾性体说明（Di随re佳ct阳io仔ns）：（2）Fi为广阿义力，

i为相扇应的台位移一个力一个力偶一对力一对力偶一个线位移一个角位移相对线位移相对角位移70（3）卡宾氏第缴二定米理的膊应用（a）轴向密拉伸动与压融缩（b）扭转（c）弯曲71（4）平面拼桁架（5）灿组承合变点形72例题14外伸仿梁受股力如踪蝶图所美示,已知骡弹性静模量EI.梁材野料为玻线弹瓦性体.求梁C截面仿的挠捎度和A截面袍的转抖角.FABCMelaFRA73AB:BC:ABClaFRAFx1x2解:Me74ABClaFRAFx1x2Me（）75例题15刚架吨结构逝如图羊所示.弹性穗模量EI已知准。材愧料为战线弹警性.不考允虑轴副力和罪剪力股的影胀响，邀计算C截面延的转尿角和D截面户的水呜平位故移.ABCDaa2aMe解:在C截面槽虚设锡一力图偶Ma,在D截面田虚设叠一水戏平力F.FRDFRAxFRAyMaF76CD:CB:AB:xxABCDaa2aMexFRDFRAxFRAyMaF772axxABCDaaMeFRDFRAxFRAy（）McF78例题16圆截助面杆AB薯C,（

AB布C=9潮0°）位于持水平驼平面湖内,已知僵杆截喊面直摄径d及材步料的根弹性繁常数E,G.求C截面泡处的饼铅垂你位移.不计迷剪力献的影烟响.ABCllq79BC:弯曲绑变形ABlQMBxABCllqFxxAB:弯曲谣与扭猎转的纱组合霜变形（扭转之变形胡）（弯极曲变娱形）8081例题17图示搭刚架室各段厉的抗缺弯刚饱度均徐为EI.不计抽轴力痒和剪当力的裂影响.用卡客氏第缩慧二定湾理求坝截面D的水坑平位腾移

D和转尸角

D.MaxF1FABCDll2l解:在D点虚似设一结力偶疲矩MaCD:弯曲累变形82但是青轴力朋不计,因此僵横截妨面上的内赌力只菊计弯平矩.F1ABCF2FlMa将力F向C简化垮得：力F（产楚生拉煮伸变哲形）力偶静矩2Fl（产生易弯曲雁变形鉴）Ma（产粒生弯纵曲变晶形）AC产生坊拉伸仪与弯静曲的西组合坛变形.横截剂面上乘的内垒力有蜓轴力竿和弯锻矩.F1xFABCDll2lMa将Ma向C简化钳得:83xBC段：BA段：F1FABCDll2lxF2FlxMaMa84§1仍3-6计算莫尔拉积分啦的图微乘法(T带he封m值et熔ho唤d叔of牢m南om殊en吩t轮ar康ea猫s汤fo时r做th缝emo敲hr啄’sin来te歪gr字at帅io舰n)等直五杆的查情况肢下,莫尔盲积分帜中的EI为常同量,可提贡到积串分号度外面只需断计算:85因为是由单位力或单位力偶引起的弯矩,故沿杆长方向的图一般是由直线或折线组成.M(x)图一般是曲线.M(x)M(x)ldxxCxCM(x)M(x)MCMM86ωxCCM(x)xxl设在烛杆长武为l的一夺段内M（x）图夹是曲跳线设直鹅线方占程是M(x)是直线,为l段内图M(x)的面积ω87M(x)xlxωxCCC为图M(x)的形刘心,xC为其坐标为图M(x)对y轴坐标的静矩是和M(x)图的形心对应处的M(x)的值.88M(x)xlxωxcC对于贡等直喝杆有即积分可用M(x)图的面积w

和与M(x)图形心C对应的的乘积来代替MC当M图为肚正弯牙矩时,w应代堪以正乞号.当M图为冠负弯伪矩时,w应代益以负激号.也应按弯矩符号给以正负号.MC注意有时M(x)图为连续光滑曲线,而为折线,则应以折线的转折点为界,把积分分成几段,逐段使用图乘法,然后求其和.M(x)89b几中梨常见贪图形镇的面击积和党形心满的计途算公坦式alh三角停形CClh顶点二次殊抛物典线90lh顶点cN次抛姥物线lh顶点c二次伯抛物绘线3l/4l/491例题18均布叨荷载崭作用表下的善简支乞梁,其EI为常蒙数.求跨讲中点导的挠戏度.ABCql/2l/2FABCl/2l/2以图的转折点为界,分两段使用图乘法.M(x)C1C292ABCql/2l/2ABCFl/2l/2C1C293例题19图示省梁,抗弯任刚度岛为EI,承受漂均布居载荷q及集御中力F作用.用图灭乘法榆求:（1）集卸中力争作用腐端挠蛛度为叉零时好的F值；（2）集展中力讲作用涉端转前角为辜零时牧的F值.FCABalq94FCAB解：aalqMql2/8Fa1ABalCM95例题20图示碰开口佛刚架,EI为常镇数.求A和B两截狼面的奥相对危角位神移qAB和沿F力作完用线疮方向疫的相渣对线块位移ΔAB.aaa/2a/2ABFF96解：Fa/2a/2FFFa/2Fa/2a/2a/21a/2Baaa/2AA97例题21图示哨刚架,EI为常停数.求A截面仅的水队平位更移ΔAH和转举角qA.BAaaq98aqa/2qa2/2解：BAaaaBAaaBaBAaaqqa/2qa11111a111qa2/299C例题22拐杆袍如图,A处为伴一轴雕承,允许敏杆在系轴承茂内自盘由转贯动,但不抗能上喝下移佛动,已知:E=2菠10漫GPa,G=0重.4E,求B点的沿垂直魄位移.5A30妖0B50堆0=1F01020

解:（1）画单藏位载阻荷图C5A30跪0B50填0=60kNF11020

x1x1xx10