材料力学讲义四五

第三章扭转

Chapter3Torsion第三章扭转(Torsion)

§3-1扭转的概念和实例(Conceptsandexampleproblemoftorsion)

§3-2扭转内力的计算(Calculatinginternalforceoftorsion)§3-3薄壁圆筒的扭转(Torsioninthin—wallcirculartube)

§3-4圆轴扭转的应力分析及强度条件(Analyzingstressofcircularbars&strengthcondition)§3-8开口和闭合薄壁截面杆的自由扭转(Freetorsionofopenandclosedthin-walledmembers)§3-5圆杆在扭转时的变形·刚度条件(Torsionaldeformationofcircularbars&stiffnesscondition)§3-6密圈螺旋弹簧的应力和变形(Calculationofthestressanddeformationinclose-coiledhelicalsprings)§3-7非圆截面杆的扭转

(Torsionofnoncircularprismaticbars)

§3-1扭转的概念及实例

(Conceptsandexampleproblemoftorsion)一、工程实例(Exampleproblems)

MeMe

二、受力特点(Characterofexternalforce)杆件的两端作用两个大小相等、方向相反、且作用平面垂直于杆件轴线的力偶.三、变形特点(Characterofdeformation)杆件的任意两个横截面都发生绕轴线的相对转动.

§3-2扭转的内力的计算(Calculatinginternalforceoftorsion)从动轮主动轮从动轮一、外力偶矩的计算

(Calculationofexternalmoment)Me—作用在轴上的力偶矩(N·m)P—轴传递的功率(kW)

n—轴的转速(r/min)nMe2Me1Me3Me在n-n截面农处假唉想将隶轴截躲开取识左侧答为研蹲究对为象二、窑内力宋的计扭算(C阳al阁cu误la液ti房诚on浆o梦f冈in宰te葱rn教al娘f惑or究ce盒)1.求内本力(C凭al叶cu包la闯ti辜ng径i上nt护er旅na咳l哗fo陡rc华e)截面绕法(M鞋et皆ho柿d乐of羊s偿ec专ti伶on筝s)TMeMeMex••nnMeMe•xTMe•xT采用钢右手夸螺旋留法则,当力准偶矩偷矢的给指向逝背离沸截面碗时扭盖矩为兄正,反之喜为负.2.扭矩府符号厅的规疗定(S购ig迎n植co妇nv葛en搞ti坑on洒f床or巴t踏or模qu馅e)3.扭矩冰图(T雀or经qu万e红di超ag忧ra得m)用平样行于升杆轴棕线的龄坐标x表示横截央面的能位置;用垂清直于街杆轴蓄线的坐标T表示科横截映面上下的扭蹦矩,正的扭矩醋画在x轴上管方,负的插扭矩汉画在x轴下骑方.Tx+_Me4ABCDMe1Me2Me3n例题1一传善动轴袋如图拜所示,其转抛速n=珍30合0鹅r/柱mi冤n斯,主动质轮A输入兵的功芒率为P1=翁50嗓0气kW揪.若不沙计轴拌承摩雾擦所饭耗的具功率,三个燃从动奥轮输爬出的投功率果分别状为P2=劲15泻0踏kW灶,P3=祖15卸0尝kW辆,P4=京20借0白kW拼.试做澡扭矩堵图.解:计算样外力扔偶矩Me4ABCDMe1Me2Me3n计算CA段内份任横畅一截李面2-纷2截面水上的誓扭矩.假设T2为正陶值.结果斤为负负号,说明T2应是花负值粮扭矩由平枣衡方移程ABCDMe1Me3Me222同理,在BC段内BCxMe2Me3T2Me4Me2xABCD同理,在BC段内在AD段内1133注意蒸：若饮假设宝扭矩圈为正悄值,则扭葡矩的哭实际虫符号火与计伤算符烈号相膨同.Me4Me1Me3Me2Me2Me4T1T3作出蚀扭矩步图4774.5N·m9549N·m6366N·m+_从图祖可见,最大茂扭矩返在CA段内.§3抛-3薄壁杰圆筒脸的扭笔转(T本or勇si率on蕉o先f止th我in稻-w泪al匀le玻d虑cy姜li躲nd菜ri粗ca悬l繁Ve就ss疫el娃s)1.实验率前（1）画伤纵向丘线,圆周遭线;（2）施加跪一对喂外力刑偶.一、虏应力毯分析(A彻na录ly朝si技s叶of啄s梁tr莫es叶s)薄壁圆筒：壁厚（r0—圆筒的平均半径）dxx

Me

Me2.实验耕后（1）圆店筒表裳面的键各圆谣周线吧的形花状、宋大小唐和间另距均尾未改闯变，莫只是蹈绕轴智线作雁了相息对转流动；（2）各梦纵向室线均遍倾斜衫了同希一微匹小角散度

；（3）所有映矩形疾网格双均歪引斜成择同样劣大小应的平乐行四罢边形.3.推论(I呀nf柴er横en班ce颠)（1）横厘截面柜上无息正应做力，狮只有切消应力念；（2）切丘应力待方向广垂直宾半径脊或与圆贸周相益切.dxδ

圆周振各点幻玉处切功应力坑的方慢向于席圆周赖相切,且数肝值相什等,近似亏的认捆为沿群壁厚厚方向牙各点狂处切应叫力的千数值画无变益化.MeMeABDC此式腰为薄宇壁圆跑筒扭爽转时筹横截浆面上芬切应私力的伟计算斤公式.4.推导冲公式(D个er盟iv尚at踢io滴n芹of奋f躬or再mu忽la新)薄壁膜筒扭黄转时泡横截羊面上招的切识应力姐均匀心分布,与半爹径垂著直,指向淋与扭亲矩的呆转向拼一致.Tττxdydzdxyz二、胆切应狂力互现等定忠理(S刑he蚊ar问in饼g厕St权re代ss鲁T感he厕or府em旋)ττ1.在单勺元体衫左、凯右面理（杆翠的横萄截面旬）只五有切捆应力,其方找向于y轴平肆行.两侧馅面的核内力惰元素

dydz大小改相等,方向贝相反,将组罗成纷一个克力偶.由平魄衡方资程其矩淘为(

dydz)dxxydydzzdxττ2.要满帅足平声衡方风程在单园元体乱的上循、下疗两平每面上谦必有挎大小廊相等悼，指市向相允反的拢一对计内力杀元素它们择组成自力偶环，其症矩为此力朗偶矩复与前售一力津偶矩数量芝相等宋而转宝向相歇反，袍从而茧可得(

dydz)dx3.切应踏力互侦等定槽理(S葬he弱ar治in姿g省st永re梁ss敞t关he友or拣em仔)单元利体两绪个相刻互垂夜直平厉面上辆的切摩应力唐同时间存在,且大摊小相能等,都指饮相（毛或背评离）灶该两兰平面浮的交泳线.4.纯剪精切单职元体(E滔le型me图nt轿i俱n晋pu己re裂s纲he巡寿ar愤)单元恋体平留面上散只有眯切应倚力而镰无正江应力,则称踏为纯醋剪切鲁单元吐体.MeMel式中,r为薄检壁圆汇筒的秃外半绢经.三、脊剪切部胡克蔑定律(Ho隆ok镰e’剧sla寒w举fo些r残sh租ea绩r)由图碌所示塑的几根何关畜系得劈燕到薄壁拦圆筒揪的扭授转试棕验发睬现,当外驻力偶Me在某巨一范跃围内晓时,与Me（在数制值上滴等于T）成考正比.三个团弹性附常数仿的关诸系TO

从T与

之间汪的线衣性关胸系,可推佛出

与

间的线桐性关影系.该式平称为木材料纯的剪切扛胡克喇定律(Ho蛋ok武e’羊sla想w葱fo宗r么sh孩ea齿r)G–剪切榴弹性主模量O

思考敢题：派指出怪下面污图形爱的切含应变

2

切应变为切应变为0变形壶几何堤关系物理卫关系静力推关系

观察变形提出假设变形的分布规律应力的分布规律建立公式deformationgeometricrelation

DistributionregularityofdeformationDistributionregularityofstressEstablishtheformulaExaminethedeformationthenproposethehypothesis

physicalrelationstaticrelation§3滑-4圆杆阵扭转狼的应辆力分危析·强度貌条件(A斩na宽ly滨zi刃ng民st部re纯ss从o碗f关ci扶rc源ul完ar盆b疾ar意s租&脊st涂re哈ng备th杜c爱on至di析ti范on锤)1.变形胶现象(D多ef尸or很ma舅ti川on垂p店he酱no梦me绞no隐n)（1）赢轴向青线仍卵为直竞线,且长碗度不碧变；（2）横截胁面仍鬼为平鸟面且南与轴尾线垂蒸直；一、断变形剧几何评关系(G翅eo耀me卸tr待ic乎alRe跳la暴ti焦on勇sh料ip童o赔f守De塞fo携rm迹at赞io美n)（3）径向灿线保辅持为贩直线,只是馒绕轴线旋乓转.2.平面球假设(P魂la友ne剖a套ss箱um彻pt责io摆n)变形撕前为欺平面糕的横钳截面,变形疗后仍肠保持墨为平氧面.aabbdxO1O23.几何亏关系(Ge熟tr抗ic胳alre活la捎ti堵on内sh湖ip闸)倾角

是横骄截面好圆周孤上任菜一点A处的所切应吹变,梦d

是b-握b截面脖相对储于a-a截面座象刚馋性平盾面一帆样绕电杆的轴线转动移的一缸个角洞度.经过圾半径O2D上任山一点G的纵向拜线EG也倾鸽斜了秃一个吩角度

r,也就任是横黄截面保半径津上任弟一点E处的届切应盈变TTd

ADG'

ρρ

D'GE同一趁圆周厨上各胡点切框应力

均相抢同,且其换值与

成正座比,

与半浆径垂希直.二、宏物理离关系(P危hy显si北ca招l用Re慰la值ti康on头sh怠ip)由剪揭切胡候克定所律aabATTdxDb

DO1O2GG'

ρρrOdAdAρρT三、佳静力桌关系(S螺ta腔ti旱c诱Re抛la仇ti校on塞sh蛙ip换)1.公式迅的建煤立(E天st饿ab约li洽sh傻t少he蓄f殿or名mu浊la鬼)结论

ρ

ρ代入触物理表关系锅中得宽到式中络：T—横截铁面上项的扭喝矩

—求应俊力的衫点到它圆心棋的距狂离Ip—横截森面对充圆心披的简极惯恩性矩Wt称作静抗扭胀截面熊系数填，单侨位为mm3或m3.2.的计算(Calculationof

max)

rOTdAdAρρ

ρ

max（1）实嫌心圆养截面dO3.极惯循性矩戴和抗扭则截面此系数昆的计罩算(c汽al验cu态la暮ti醉ng沫t器he抹p移ol轮ar笼m滨om撑en惰t洽of细i乖ne立rt晋ia罪&引se毫ct嘱io花n劈燕mo装du烤lu痒s非un摄de嘴r耐to坏rs鸭io旺n)ρdρODdρdρ（2）空蛙心圆晨截面其中例题2图示黄空心陈圆轴尘外径D=1酬00帖mm酱,内径d=8瓦0m那m,M1=6词kN·m,M2=4锯kN·m,材料裤的切暗变模格量G=8征0G物Pa择.（1）画轴层的扭冶矩图版；（2）求轴盗的最杰大切副应力,并指智出其诱位置.M1M2ABCll解:（1）画白轴的愧扭矩鹅图Me1Me2ABCllBC段1Me2CT1T1+Me2=02Me2CMe1BT2T2+Me2-Me1=0T2=2善kN·mAB段（+）（-）T1=-4kN·m最大芬扭矩枪发生始在BC段Tma脑x=4轧kN·m4kN·m2kN·m+_T（2）求金轴的鹊最大营切应堵力,并指那出其鼻位置

ma趟x最大激切应丽力发袄生在菠截面止的周袜边上,且垂加直于肃半径.M1M2ABCll

ma挎x1.数学烘表达郊式(M佛at析he初ma贞ti侍ca跌l装fo彼rm忧ul爪a)四、佩强度裳条件(S窑tr奏en仔gt渠h湾Co企nd成it姻io永n)2.强度条件的应用(Applicationofstrengthcondition)强度校核(Checktheintensity)设计截面(Determinetherequireddimensions)确定许可载荷(Determinetheallowableload)ABC解：作轴归的扭绸矩图MeAMeBMeC22kN·m14kN·m+_分别沙校核鸦两段配轴的惜强度例题3图示鞭阶梯裳圆轴,AB段的击直径d1=1喂20价mm,BC段的粗直径d2=1陵00棋mm.扭转惠力偶掠矩为MA=孩22kN忆·m,MB=计36kN罢·m,MC=1绩4kN梦·m.已知恐材料搁的许废用切澡应力[

]翻=化80虎MP虎a,试校核掩该轴丢的强粗度.因此,该轴柿满足织强度投要求.例题4实心齐圆轴1和空诉心圆限轴2（图a、b）材贫料,扭转梯力偶恒矩M和长映度l均相纵等,最大殊切应讯力也图相等.若空蛋心圆城轴的脱内外颂径之惧比

=草0.例8,试求规空心烛圆截姻面的网外径吉和实哥心圆员截面析直径附之比番及两饲轴的笼重量刺比.ll(a扇)(b士)分析磁：设揉实心旗圆截拥面直毁径为d1,空心写圆截粒面的驶内、乔外径眠分别捷为d2、D2;又扭剥转力扰偶矩历相等技，则变两轴爷的扭向矩也况相等慕，设傍为T.已知史：dd2D2因此解得两轴计材料丧、长底度均习相同,故两蝴轴的置重量奏比等替于两尿轴的偿横截境面面依积之孩比在最章大切迫应力乎相等再的情馅况下类空心汇圆轴呈比实赠心圆卫轴轻,即节造省材裁料.1.圆轴叔扭转像时的勺变形塑是用论相对尺扭转撒角

来度兔量的§3芦-5杆在霸扭转理时的舅变形·刚度父条件(To猫rs艇io轧na坚lde捆fo构rm仪at嚼io排n疼of草c甚ir脉cu锋la羞r戒ba测rs献&st刃if亭fn甘es阳s清co扭nd之it线io瓦n)一、荣扭转键变形(To览rs耻io阶na亭lde消fo身rm羽at给io神n)其中d

代表茶相距胆为dx的两虏横截晚面间备的相网对扭苹转角.长为l的一宗段杆此两端秩面间备的相汗对扭勺转角

可按砍下式晶计算3.刚度策条件（St盲if设fn翻es砌s神co稼nd遍it旱io睁n)2.单位帽长度驰扭转勇角(A涛ng抱le负o浪f便tw暂is悠t芬pe采r辛un喝it坏l填en校gt葵h)

—扭转漏角GIp称作宰抗扭冤刚度称作许可单位长度扭转角(Allowableangleoftwistperunitlength)例题5图示滔等直蓬杆,已知撑直径d=4房诚0m帖m,a=4店00肠mm锤,材料悄的剪忘切弹密性模量G=8泛0G赛Pa，

DB=1粒°.试求兰：（1）AD杆的添最大管切应润力;（2）扭显转角

CAaa2aMe2Me3MeABCD+Me2Me3Me解：昨画扭促矩图计算桌外力延偶矩Me

DB=

CB+

DC=1泛°Tma例x=哲3Me（1）AD杆的蜡最大切应力（2）扭歇转角

CAaa2aMe2Me3MeABCD+Me2Me3Me例题6某汽蜜车的留主传跪动轴虾是亿用40号钢陵的电保焊钢絮管制徐成,钢管外径D=7钉6m锣m,壁厚d=2凭.5mm喘,轴传剪递的吃转矩Me=1蜡.9左8k稻N·所m,材料错的许宋用切匆应力[

]驶=剑10界0M产Pa揭,切变循模量幻玉为G=款80床GP油a,轴的许可扭角[′]塑=件2/m.试校陷核轴驼的强度溪和刚被度.DddMeMe解：籍轴的勿扭矩忌等于苗轴传撞递的舞转矩轴的备内、究外径她之比由强秩度条捎件由刚能度条裹件DddMeMe将空温心轴块改为企同一乖材料珍的实撞心轴,仍使

ma惭x=9农6.活1M毫Pad=47.2mm实心轴的直径为两轴抄材料搅、长祝度均捐相同,故两把轴重拴量比腹等于翅两轴挠的横纹截面忌积比，在最聪大切懂应力淡相等链的情礼况下忠空心众圆轴踪蝶比实挣心圆徐轴轻,即节城省材驶料.其截弱面面棵积为空心奸轴的语截面讲面积州为例题7两端键固定牧的圆叹截面叛杆AB,在截俘面C处受云一个巩扭转屋力偶愤矩Me的作识用,如图厕所示.已知息杆的节抗扭爆刚度GIp,试求行杆两袭端的棒支反阵力偶前矩.CMeabABl解:去掉侍约束,代之骑以约捷束反缘瑞力偶聋矩这是低一次谋超静蓝定问锅题,须建数立一肿个补充托方程ACBMeMeAMeBC截面茄相对穿于两圆固定阵端A和B的相伟对扭件转角夸相等.杆的恼变形悄相容姜条件岂是CMeabABlCMeabABl（1）变贞形几葱何方额程（2）由俭物理渣关系呜建立饥补充盈方程解得ACBMeMeAMeB•

AC=BC例题8图示一喊长为l的组刘合杆,由不抄同材蕉料的既实心盖圆截贼面杆心和空纸心圆子截面纯杆组幅成,内外扬两杆兵均在地线弹吴性范桂围内古工作,其抗碑扭刚岭度GaIpa、GbIpb.当此蜡组合难杆的宋两端灶各自捆固定公在刚谈性板超上,并在进刚性氏板处粮受一渔对矩饮为Me的扭盒转力师偶的礼作用宝试求凤分别愉作用臭于内鉴、外筑杆上集的扭博转偶猴矩.MeMelAB解：配列平侵衡方大程这是虫一次考超静漠定问岗题.变形阀相容役条件书是内辣、外榆杆的扭峰转变岭形应凡相同.变形雾几何吐方程忆是物理次关系急是MeMeMelABMaMb代入观变形召几何烘方程,得补壁充方预程MbMaMeMeMelAB弹簧淋的螺更旋角

5°评,且D>>d,这样花的弹取簧称只为密何圈螺疲旋弹镜簧.推导华这种弹既簧的洪应力究与变固形的凶计算爆公式.§3秃-6密圈孕螺旋宾弹簧愚的应放力和麦变形(C蚁al扬cu喇la锻ti争on涂o颤f利th反e袋st乌re坟ss荷a胞nd辉d扬ef适or振ma折ti稳on笋i次ncl中os流e-尾co昆il拴ed努h脱el滴ic是al盆s仪pr简in尘gs婶)一、毛弹簧传丝横塔截面针上的壤应力1.内力目的计餐算(C板al灿cu延la纱ti钻on诉o汗f奥in裤te稻rn摊al弊f惨or百ce嫌)F(C额al办cu同la豆ti义on躬o饶f导th顽e耐st灰re顽ss绪o原nsp漫ri勺ng袄w飘ir眠e总cr交os凤s灯se遵ct亦io拍n)簧丝尽的横壳截面针上有拼两个躲内力坝分量陶即FSTFPF作为苍近似及计算,通常狸可略油去与拔剪力FS相应帮的

,且D/d很大逼时,还可城略去簧圈袍曲率落的影晕响,所以绸簧杆捐横截沃面上蛙最大税切应畅力为2.应力庸的计千算(C纸al毅cu误la阶ti旦on停o盘f获st缠re睛ss老)为便迟于分阁析,将杆畅的斜预度视为0°截面穷法公式坡修正洒的原通因:（1）当D/d较小,会引姨起很京大的塞误差;（2）假潮定剪躁切引材起的缴切应欲力是作均匀散分布袖的.式中c为弹犯簧指槽数,k为曲原度系常数,可查拣教材病中的乒表3.满13.强度似条件(S插tr蒜en您gt津h爷co梅nd筛it拢io汗n)FSTFPF若只跃考虑沫簧杆棍扭转椒的影啄响，考可得罪簧杆报内的号应变闸能为二、赌弹簧着的变雪形(D售ef姥or鸭ma毅ti彻on欲o胀f它th友e宰sp恢ri误ng衔)1.应变抱能的绘计算(Cal惩cu烤la脾ti岁on鸡o尊f件st秀ra姜in句e她ne返rg蒜y)3.功能脂原理Vε=W(W酷or店k-栽en签er么gy兵p碗ri务nc哨ip锅le润)当弹第簧的流变形王为l时，洪外力摄所做忘的功误为FFOll2.外力症做的龄功(W污or兴k众of离t榆he侧e冒xt弦er桨na笛l周fo角rc套e)c—弹簧膏刚度例题9某柴邻油机斩的气旦阀弹匪簧,簧圈冬平均硬半经R=5仔9.昌5扇mm票,簧丝混横截终面直嗽径d=1劫4m显m,有效为圈数n=5撑.材料口的[

]缝=躁35爽0M还Pa,G=8斩0G烟Pa璃,弹簧盲工作敌时总否压缩储变形疗（包瓦括预哗压变形金）为l=5挠5m渡m试校默核弹近簧的爬强度.解：绣求出美弹簧山所受雅的压描力F为由R及d求出查表3.载1查处兔弹簧贞的曲紧度系逃数k=1扰.1稿7弹簧奔满足膨强度泛要求.§3宿-7非圆冻截面骂杆的察扭转(T录or闸si通on拜o帽f丛no天nc蔽ir关cu油la岁r奸pr庙is坐ma意ti推c燃ba鸟rs益)非圆泼杆,如矩砍形截锣面杆谱扭转捎后横员截面回将发厘生翘曲(w顷ar村pi预ng设)而不美再是礼平面.一、女基本显概念(B迟as侍ic损c啦on沾ce跳pt香s)（2）若期杆的等两端盈受到速约束午而不引能自膏由翘断曲，虾则相懒邻两断横截忘面的棕翘曲枕程度缝不同,这将恒在横芳截面设上引将起附侧加的少正应转力.这一议情况饲称为约束沟扭转(c垃on飘st毯ra邪in纳t求to旋rs泊io竿n).（1）等枯直非笋圆杆再在扭捷转时训横截纺面虽蛾发生滔翘曲(w饱ar谅pi铁ng搏)，但当挑等直属杆在迹两端悔受外藏力偶央作用，且端途面可盾以自搅由翘丧曲时检，其霞相邻沿两横屋截面越的翘窗曲程妄度完获全相内同.横截辞面上益仍然股只有艘切应榜力而乞没有温正应衡力.这一荣情况魄称为纯扭手转(p住ur帆e耗to醉rs睬io越n)，或自由芽扭转(f症re带e罪to愉rs材io掏n)旺.bhT矩形挡截面容扭转煤时,横截雷面切院应力拜如图秃所示,边缘挎上各亦点的茄切应放力形才成与追边界仔相切打的顺封流.整个克横截项面上躬的最伟大切