有限元程序设计梁单元静力问题

1有限元程序设计谷音福州大学土木工程学院2010——梁单元，静力问题2§1.介绍.框架结构，例如桁架、桥梁受弯构件flexuralelements梁轴力构件axialelements杆平面梁单元planebeamelement3§2.经典梁单元(Bernoulli-Euler)Beam平面－梁－假设Plane-beam-assumption中面法线在变形后仍保持和中面垂直的直法线假设小变形理论One-variablebeamtheory几何关系物理关系（应力应变关系）梁在纯弯曲时的平面假设：梁的各个横截面在变形后仍保持为平面，并仍垂直于变形后的轴线，只是横截面绕某一轴旋转了一个角度。4平衡方程边界条件ororwherek——曲率M,Q——弯矩，剪力I——惯性矩5最小势能原理典型C1连续问题通常梁分析中常用2节点Hermite单元6其中引入变形到最小ΠP,得到7Pj

——集中荷载;Mj

——弯矩力偶。e.g.对于均匀分布荷载8§3惹.铁木拦辛柯晓梁理城论对剪排切变亭形的然影响3.肥1理论只考塑虑剪召切变谊形变形招后轴称线切狼向与拦变形齐前轴为线之抗间的刊转角β(x).9其中ψ(x)为只畅考虑很梁弯蝴曲理酿论中集的线混性单辞元转岔角.假设:截面虚上均堂匀分伐布剪求应变弯曲拼产生鱼的位液移：β(x)相应连给出粉沿着密中线若剪切躬角γxz10内部警力其中脂假设11实际鸣上τxz采用停以下朗形式踪蝶：其中纽奉变量思与z相关衫。为了疼确定示截面软的不放均匀顺剪应倘力分揭布，哨引入眼因素k修正育剪应苦力：12其中k为与宵截面易及泊纤松比µ相关舞的函家数,可从钉弹性峰理论荣推导沟得到假设拍变形购场的记整体瓶势能孝为：1314铁木堤辛柯水梁单毕元—采用傻两个叨独立衰变量3.回2离散愁公式挠度w截面眉曲率椒，不多考虑泽剪切每个慕单元艇的节箩点数摸量La墨gr善an青ge插值储函数151617挠度旨与转科动采桶用了汇同阶萝的插梯值表肢示式纱。dw拳/d邀x与ψ不同浸阶，报因此偶，泛醋函中逗的第污二项揭中的dw东/d乳x-ψ的积丽分，遵对于否柔性佩梁（l/愉n趋于芒无穷咐大时啊）会尺被严孔重放岔大。除非ψ是常页数（社没有轧弯曲者变形跨），图否则妄，dw趣/d节x-ψ不会旅为零呼。这潜种现驰象称这为剪切纪闭锁。sh侧ea罪r-半lo译ck深in烧g18几种辫方法符避免齐产生泛剪切偏闭锁减缩巩积分数值剩积分希采用北比精旅确积回分要遭求少扩的积票分点嘱数假设锋剪切漆应变替代像插值碌函数举例侨说明1920Ti郊mo婶sh男en棚ko梁捡（采记用精纲确积昏分）21采用镇缩减膨积分2223结构聚离散取杆挨件与护杆件絮交点葵、集撇中力啦作用筹点、仪杆件贷与支杰承的巴交点辜为节制点。款相邻篇两节顾点间堡的杆渣件段炊是单敢元。酷节点墙编号州时力厅求单元眨两端豪点号袍差最牛小。24坐标芬系有限岂元中如的坐塔标系挡有整套体坐翁标系饼和局隶部坐痰标系剥。对淋于一真个结千构，浇整体远坐标男系一犹般只郊有一纵个；芬而局日部坐眯标系水有很混多个惹，一蛾个单秋元就元有一赛个局任部坐鸣标。跟并且励局部边坐标昌系每衬一个果单元讨的规搜定都时是相圈同的帐，这膀样，剑同类升型单渔元刚汇度矩污阵相袍同。XY○○○○○Pxyxy25杆系炼结构耀单元启主要役有铰恒接杆绘单元鸽和梁班单元箱两种评类型久。它耻们都松只有2个节慕点i、j。约定姨：单元吗坐标吗系的抵原点坚置于锄节点i；节输点i到j的杆逼轴（睬形心仆轴）缝方向裕为单伤元坐湿标系衔中x轴的赤正向窗。y轴、z轴都蕉与x轴垂满直，见并符涂合右缠手螺脊旋法裹则。对于辱梁单你元，y轴和z轴分充别为差横截鹿面上醋的两蜘个惯郊性主析轴。xyzij··26平面授桁架掘杆单央元（2D雅L晋IN泼K1）空间丢杆单槐元（3D嚷L巾IN抗K8）平面圆刚架粱，BE席AM纽奉3空间叔梁单半元(B遇EA迹M4投)272-炭D姻El礼as朝ti贷c傲Be戴amth约re占e械de酒gr晒ee堂s欧of猎f铸re掠ed节om劣a觉t萄ea峰ch静n绝od棒eAn匀sy焰s28BE废AM郊3is颗a乏u貌ni斥ax琴ia厚l再el寨em立en由t恭wi拌th够t递en泉si凳on贴,侵co嘉mp紫re革ss忧io膨n,游a赛nd玻b废en害di夕ng燃c吃ap疯ab劳il结it税ie窝sBE嘴AM番232-溜D恐Pl叉as驻ti煮c你Be控ama饮un柱ia稿xi否al拉e仁le悄me辞nt举w竞it翠h仅te肌ns咱io妨n-促co利mp眨re龟ss断io召n修an茂d墓be右nd末in买g判ca镜pa甲bi昌li姨ti钥esTh罗is养e谎le菊me难nt屠a湾ll皂ow策s楚a膛di属ff略er勤en汁t射un盟sy则mm件et炊ri落ca乔l洗ge累om伯et积ry瓜a波t品ea问ch串e漠nd卸a性nd幅p竟er田mi排ts李t堂he茧e朴nd粘n吐od揪es贴t雕o例be山o字ff借se滚t偿fr歼om缝t远he燥c凶en经tr未oi读da限l森ax皱is笔o功f典th诊e计be图amBE但AM储542-谦D咏El撒as钞ti盖c歇Ta之pe蚁re宫d伯Un登sy管mm缠et遵ri吓c祖Be浸am29303-服D宜El瓣as音ti到c含Be椒amBE态AM宅4is岔a翅u守ni谦ax勇ia块l浩el裤em泰en题t枪wi立th蒸t炭en仁si转on贵,深co估mp比re书ss锤io溪n,疾t救or涛si茎on怖,毫an矮d态be侦nd练in吴g景ca端pa夏bi粱li抓ti踢es幅.si绝x红de凡gr蹲ee巷s撒of蒸f王re掌ed织om编a岛t特ea贺ch怀n寻od狗eBE白AM慕243-症D殖Th蜻in聪-w弊al拼le婆d演Be笛amTh六e耀el嚼em再en烤t线ha阔s嫁pl变as爬ti然c,批c蓬re墓ep敬,盲an挽d抄sw贵el好li各ng技c超ap肌ab宿il尖it岁ie痛s忙in产t寺he阿a蹈xi缩慧al检d翠ir偿ec慎ti法on撑a书s温we值ll唯a售s假a盐us暑er芳-d火ef贝in夏ed肌c廊ro抬ss窜-s芦ec馋ti的on盆.Th帐is派e聚le假me技nt隐a棒ll液ow适s润a脆di圆ff祝er饺en州t箭un粗sy宴mm送et板ri售ca铺l送ge咐om抵et角ry速a坑t龄ea敬ch疤e琴nd以a耗nd芝p毯er夫mi纪ts讲t痛he沃e缴nd漠n拔od调es晨t都o卵be嘱o撑ff托se宜t聋fr填om愁t挖he个c盈en郑tr熔oi危da绝l盟ax崇is列o槐f祝th懒e服be凭amBE回AM小443-躺D蚂El姿as御ti援c糖Ta抵pe页re妹d舰Un少sy膨mm睛et章ri漆c搅Be顽am313233BE绿AM吵18码83-扭D竟Li田ne愿ar例F顷in镇it号e枝St迹ra井in耗B戏ea滋mBE哀AM谷18冤8is禁s支ui骑ta燃bl源e绑fo冻r地an垄al蔬yz旋in胖g暖sl我en肝de仇r尤to穴m怠od袖er包at捡el脚y拉st凯ub尽by熊/t防hi白ck烟b贞ea宗m欢st弄ru裕ct惑ur洒es胖.子Th革is伸e透le络me盘nt惹i蛋s掌ba费se煎d毅on梨T筹im坏os爆he兆nk沈o灵be项am倒t野he秘or且y.日S梅he毯ar抱d劲ef冤or波ma哈ti狮on疤e代ff永ec沿ts罚a之re丈i祝nc罢lu闸de享d.Th王is务e也le响me状nt损i遇s抓we寄ll联-s宵ui释te李d爪fo减r逮li蛙ne敬ar懂,厚la徐rg冲e挎ro系ta体ti逝on乓,翼an卷d/已or懂l兼ar贸ge陕s叹tr作ai拐n雹no均nl崖in舱ea脾r程ap时pl会ic恒at说io只ns是.3435BE叉AM雄18完93-颈D毕Qu骡ad尘ra窜ti蕉c测Fi除ni宋te奇S雄tr躁ai廊n泡Be扫amBE尸AM骨18连9霸is肃a似q顺ua院dr宣at闹ic万(邀3-金no至de蔑)鞋be载am括e邻le西me枯nt贺i揭n谦3-苹D.Fo仗r么a负de迎sc漫ri舍pt童io伏n征of全t谎he笑l倍ow辆-o泡rd虫er斩b较ea瓦m,帮s症eeBE谜AM驱18吩8.3637有限清元程玻序设突计方芒法简促介程序帜基本哈框图1、输急入基肾本数岗据（誉结构耗描述滨）：（1）控挂制数柱据：榨如结刊点总术数、扭单元户总数倡、约锈束条挨件总他数等夹；（2）结盏点数栏据：岭如结冬点编常号、线结点压坐标拒、约侮束条述件等重；（3）单简元数控据：倘如单肆元编商号、免单元醋结点贱序号心、单挽元的折材料揭特性篮、几跌何特色性等拦；（4）载午荷数核据：诉包括闷集中的载荷慈、分照布载每荷等删。开始输入基本数据计算单元刚度矩阵形成总体刚度矩阵形成结点荷载向量引入约束条件求解方程组，输出结点位移计算单元应力，输出结果结束382、单捷元分嚷析（1）各族单元箱的bi,ci(i,激j,渠m)，借面积A；（2）应起变矩仙阵[B趟]，应扯力矩馋阵[S奥]；（3）单啊元刚绢度矩冒阵[k渔]；（4）单堆元等虏价载音荷列这向量[F箭]。开始输入基本数据计算单元刚度矩阵形成总体刚度矩阵形成结点荷载向量引入约束条件求解方程组，输出结点位移计算单元应力，输出结果结束3、系带统分嗓析（1）整搬体刚蓄度矩盒阵[K饶]的组舅装；（2）整慎体载皇荷列敢阵{P汽}的形溪成；[K僻]的存肾储；猫约束钻引入货；求免解39总刚株存贮全矩布阵存我贮法裳：不辰利于协节省灯计算妈机的锤存贮狡空间驶，很彻少采群用。K[挎i,团j]对称闯三角墨存贮拐法：贩存贮鲁上三仇角或辱下三短角元梢素。半带培宽存再贮法邮：存贮知上三升角形贫（或宅下三淹角形楚）半视带宽贫以内功的元丸素惯。一维围压缩级存贮拴法：半带户宽存把贮中灭仍包灾含了状许多虏零元纸素。混存贮撕每一蜓行的骂第一胖个非初零元寻素到娇主对嗓角线雀元素廉。40等带宽形式UBWUBW行号1→IR

→N→1列号JC行号1→IR→N→1JC-(IR-1)方阵形式（1）半昂带宽狡存贮锄法41方阵属存贮扁和半球带宽末存贮论地址轮关系存贮方式行号列号方阵存贮IRJC等带宽存贮IRJC-IR+1半带浸宽计粒算：号设结己构单稻元网该格中剩相邻摩结点毕编号点的最日大差辰值是d，则染最大钱半带唯宽为UB忍W：结点记编号杨：欲带使最扣大半羽带宽UB晕W最小深，必附须注壶意结符点编裕号方勉法，偏使直煤接联躁系的努相邻匠节点败的最辫大点酒号差辈最小西。42举例B=旋2(行4-你1+按1)杀=粉8B=旧2(镇6-翁1+梨1)帐=陷1劳2Ad签va兄nt值ag必es辆o净f瞎2D用S依to经ra架ge1)重Sp盲ac脖e-断sa胶vi桨ng盏;首2)接Ea刚sy肤t乱o扫be杨c殊om挎pu斥te序ri愿ze赛dDi堪sa同dv装an乖ta羽ge芦s欠of丈2物D阵St碌or阳ag聋eEn已or夫mo持us切s舅to门ra兆ge测i乖s意re切qu派ir氏ed咸w港he嫁n巧lo农ca揉l报ba苍nd值wi纽奉dt陪h种is抢l唇ar渠ge竿.43例：查计算萍下图门半带押宽。结点荐数N=吉91，总包刚[K衬]中的都元素蕉总数湾为：82（91脖×2）×（91争×岔2）=3职31究24最大伐半带约宽UB齿W=退(7陕+1装)屋×2殃=1公6，半烦带宽察存储去矩阵期元素柔总数影为18克2趣×1董6=仗29蚂12，约海方阵僻元素疾的8.孕8%。44（2）梨变带勇宽存缩慧贮（一维压龟缩存杀贮）等带某宽存斗贮虽夸然已阅经节卸省了连不少线内存夜，但耻认真逝研究膀半带糊宽内蜻的元知素，验还有溉相当吐数量垫的零狐元素污。在倘平衡纳方程耕求解勺过程蜡中，筑有些木零元联素只歉增加讯运算党工作旅量而概对计魄算结裳果不召产生袜影响扬。如棒果这僚些零英元素咬不存卧、不筹算，摩更能智节省涌内存电和运种算时营间，蓬采用仆变带底宽存奔贮可啊以实毕现（怎也称共一维您数组陷存贮坝）涉。变柳带宽省存贮赞编程没技巧汇要求攀较高挑，程蚕序较旬长。45对称方阵劫形式释的刚江度矩武阵[K筋]UBW=4顶线顶线概以上张零元故素无亩须存偏贮，弃仅顶保线以茂下元依素。46124610121618MAXA22一维借数组[A读]存贮佳刚度玻矩阵[K铺]47变带姑宽存虹贮：闷按列闯存贮厚方式引。从左肤到右叔，逐架列存蓄放；恐对每侨一列救，先祖存主咐对角凝线元源素，枝然后限由下酒而上骨顺序蔬存放毒，直餐到顶凤线下蛮第一顿个元贝素为许止。为避低免混心淆，彩我们位把存齿贮[K否]的一撑维数里组称嘱为[A分]。实现俭变带咬宽存始贮的设关键狱问题固是：成总刚记中元哪素Kij在一斑维数早组A中的菌地址需是什卫么？动为此宾，需田要知勒道主蜓元Kii在A中的躺位置狱和相油应列直高hi。主元董位置算：采互用一兴个一瓣维数滔组MA虽XA存主蓝元在A中位园置。MA卡XA仿=愁[1罪,2熔,4族,6因,1厉0,望12无,1望6,幕18，22谎]。列高hj：第j行的味左带恒宽。48从第j列的乖主对翻角线丛元素证起到方该列演上方纸第一拜个非籍零元钱素为仪止，祸所含叛元素杂的个华数称澡为第j列的列高，记灿为hj；如错果把事第j列上挡方第1个非响零元妖素的价行号记为mj，则平第j列的秤列高册为hj=绣j排-肾mj+1其实谱，hj就是泛第j行的村左带敢宽，腊因而虎必有UB苦W=劈燕m叠ax变(hj)j=泪1,细2,纯…溜,N利用慰节点器位移轮信息步数组ID（去御约束兰后节圆点位做移自嫩由度宜编码手），仪可容古易地留确定镇刚度猛矩阵[K盲]任何歪一列财的列切高。491234①②③④1○○○○○○6783452xY例：崇求图野示框枯架结灯构h7=?。利用ID数组磁得各严单元泥的连痰接数锤组LM（假舟定小卖号为i）（1）ID数组节点号游：1晚2众3毕4按列允，遇1变0，遇0加1。50连接辩数组案：1号单燃元：LM寒=[洁0,杨0伶,际1,呆0谊,惕0,室2萝]2号单糟元：LM道=[叫0,孤0归,进2,巾3玻,滑4,时5咐]3号单忧元：LM匆=[欺3,屈4牺,千5,户6滑,速7,率8胶]4单元林：LM豪=[钟0,管0扣,蓄1,肥6秤,输7,贱8暗]1234①②③④1○○○○○○6783452xY1僻2净3翼451a)如果ID（i,j)茎=龟0则表口明j号节迫点第i个自努由度扛受有闭约束伞。b)如果ID山(i,j)棍≠宗0则j号节啊点第i个自摆由度包不受者约束校。并阁且，j号节清点第i个位桌移分恰量在早非约拼束节竭点位渐移列浮向量

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