2022年浙江省杭州市市交通职业中学高三数学文摸底试卷含解析

2022年浙江省杭州市市交通职业中学高三数学文摸底试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.一种冰激凌机的模型上半部分是半球，下半部分是圆锥，其三视图

如图所示，则该型号蛋糕的表面积是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A略2.双曲线=1的渐近线方程是（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±2x参考答案：B【考点】双曲线的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】直接利用双曲线方程求渐近线方程即可．【解答】解：双曲线=1可得，所以双曲线的渐近线方程为：y=±x．故选：B．【点评】本题考查双曲线的渐近线方程的求法，基本知识的考查．3.已知锐角的终边上一点P（，），则等于

（

）

A．

B．

C．

D．

参考答案：C4.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，，当时，，若，则a的最大值是（

）A．2018

B．2010

C．2020

D．2011参考答案：D由函数是定义在上的偶函数，，可得：，即，故函数的周期为12.令，解得，∴在上的根为5，7；又，∴的最大值在上，即.故选：D

5.若是函数的极值点，则（

）A．有极大值－1

B．有极小值－1

C．有极大值0

D．有极小值0参考答案：A6.化简A.

B.

C. D.参考答案：D略7.若函数y=f(x)的图象如图，则函数y=f(1-x)的图象大致为参考答案：A8.若与在区间[1,2]上都是减函数，则a的取值范围是（

）A．(－1,0)∪(0,1)

B．(－1,0)∪(0,1]

C．(0,1)

D．(0,1]参考答案：D根据与在区间上都是减函数，的对称轴为，则由题意应有，且，

即，故选D

9.函数＞，且的图象恒过定点A，若点A在直线上（其中m，n＞0），则的最小值等于A.16 B.12 C.9 D.8参考答案：D令，得，此时，所以图象过定点A,点A在直线,所以，即.，当且仅当，即时取等号，此时，选D.10.抛物线y2=4x上有两点A、B到焦点的距离之和为8，则A、B到y轴的距离之和为（）A．8 B．7 C．6 D．5参考答案：A【考点】K8：抛物线的简单性质．【分析】抛物线的准线为x=﹣1，根据抛物线的定义可知A，B此抛物线焦点的距离之和等于xA+1+xB+1．【解答】解：抛物线的准线方程为x=﹣1．则点A到此抛物线焦点的距离为xA+1，点B到此抛物线焦点的距离为xB+1．∴点A、B到此抛物线焦点的距离之和为xA+1+xB+1=xA+xB+2=8+2=10．则A、B到y轴的距离之和为：10﹣2=8．故选：A．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设函数，对?x∈[1，+∞），使不等式f（mx）+mf（x）＜0恒成立的实数m称为函数f（x）的“伴随值”，则实数m的取值范围是

．参考答案：m＜﹣1【考点】函数恒成立问题．【专题】计算题．【分析】显然m≠0，分当m＞0与当m＜0两种情况进行讨论，并进行变量分离即可得出答案．解：由f（mx）+mf（x）＜0整理得：2mx＜（m+），即2mx2＜m+恒成立．①当m＞0时，2x2＜1+，因为y=2x2在x∈[1，+∞）上无最大值，因此此时不合题意；②当m＜0时，2x2＞1+，因为y=2x2在x∈[1，+∞）上的最小值为2，所以1+＜2，即m2＞1，解得m＜﹣1或m＞1（舍去）．综合可得：m＜﹣1．故答案为：m＜﹣1．【点评】本题主要考查了恒成立问题的基本解法及分类讨论思想，属于难题，解决恒成立问题通常可以利用分离变量转化为最值的方法求解．12.已知定义在R上的函数则=

.参考答案：

13.已知直线l1：x＋ay＋6＝0和l2：(a－2)x＋3y＋2a＝0，则∥的充要条件是a＝.参考答案：-1略14.在△ABC中，已知∠BAC=60°，∠ABC=45°，，则AC=_______.参考答案：．由正弦定理得，所以.15.已知实数x，y满足，则z＝2x＋3y的最小值是________．参考答案：9略16.如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点．从A点测得

M点的仰角∠MAN=60°，C点的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°；从C点测得∠MCA=60°．已知山高BC=100m，则山高MN=m．参考答案：150【考点】解三角形的实际应用．【分析】由题意，可先求出AC的值，从而由正弦定理可求AM的值，在RT△MNA中，AM=100m，∠MAN=60°，从而可求得MN的值．【解答】解：在RT△ABC中，∠CAB=45°，BC=100m，所以AC=100m．在△AMC中，∠MAC=75°，∠MCA=60°，从而∠AMC=45°，由正弦定理得，，因此AM=100m．在RT△MNA中，AM=100m，∠MAN=60°，由得MN=100×=150m．故答案为：150．17.设的内角的对边长分别为，且

，则的值是___________．参考答案：4由得，即，所以，即。三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（10分）（2015?泰州一模）如图，在长方体ABCD﹣A′B′C′D′中，DA=DC=2，DD′=1，A′C′与B′D′相交于点O′，点P在线段BD上（点P与点B不重合）．（1）若异面直线O′P与BC′所成角的余弦值为，求DP的长度；（2）若DP=，求平面PA′C′与平面DC′B所成角的正弦值．参考答案：【考点】：二面角的平面角及求法；异面直线及其所成的角．【专题】：空间位置关系与距离；空间角．【分析】：（1）以为一组正交基底，建立空间直角坐标系D﹣xyz，由此利用向量法能求出DP的长度．（2）求出平面DC'B的法向量和平面PA'C'的法向量，利用向量法求出设平面PA'C'与平面DC'B所成角的余弦值，由此能求出平面PA′C′与平面DC′B所成角的正弦值．解：（1）以为一组正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系D﹣xyz，由题意，知D（0，0，0），A'（2，0，1），B（2，2，0），C'（0，2，1），O'（1，1，1）．设P（t，t，0），∴，．设异面直线O'P与BC'所成角为θ，则，化简得：21t2﹣20t+4=0，解得：或，或．…（5分）（2）∵，∴，，，，，设平面DC'B的一个法向量为，∴，∴，即，取y1=﹣1，，设平面PA'C'的一个法向量为，∴，∴，即，取y2=1，，设平面PA'C'与平面DC'B所成角为φ，∴，∴．…（10分）【点评】：本题考查线段长的求法，考查二面角的正弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．19.在四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，AD=AB=DC=BC=1，E是PC的中点，面PAC⊥面ABCD．（Ⅰ）证明：ED∥面PAB；（Ⅱ）若PC=2，PA=，求二面角A﹣PC﹣D的余弦值．参考答案：【考点】MT：二面角的平面角及求法；LS：直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）取PB的中点F，连接AF，EF，由三角形的中位线定理可得四边形ADEF是平行四边形．得到DE∥AF，再由线面平行的判定可得ED∥面PAB；（Ⅱ）法一、取BC的中点M，连接AM，由题意证得A在以BC为直径的圆上，可得AB⊥AC，找出二面角A﹣PC﹣D的平面角．求解三角形可得二面角A﹣PC﹣D的余弦值．法二、由题意证得AB⊥AC．又面PAC⊥平面ABCD，可得AB⊥面PAC．以A为原点，方向分别为x轴正方向，y轴正方向建立空间直角坐标系．求出P的坐标，再求出平面PDC的一个法向量，由图可得为面PAC的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角A﹣PC﹣D的余弦值．【解答】（Ⅰ）证明：取PB的中点F，连接AF，EF．∵EF是△PBC的中位线，∴EF∥BC，且EF=．又AD=BC，且AD=，∴AD∥EF且AD=EF，则四边形ADEF是平行四边形．∴DE∥AF，又DE?面ABP，AF?面ABP，∴ED∥面PAB；（Ⅱ）解：法一、取BC的中点M，连接AM，则AD∥MC且AD=MC，∴四边形ADCM是平行四边形，∴AM=MC=MB，则A在以BC为直径的圆上．∴AB⊥AC，可得．过D作DG⊥AC于G，∵平面PAC⊥平面ABCD，且平面PAC∩平面ABCD=AC，∴DG⊥平面PAC，则DG⊥PC．过G作GH⊥PC于H，则PC⊥面GHD，连接DH，则PC⊥DH，∴∠GHD是二面角A﹣PC﹣D的平面角．在△ADC中，，连接AE，．在Rt△GDH中，，∴，即二面角A﹣PC﹣D的余弦值．法二、取BC的中点M，连接AM，则AD∥MC，且AD=MC．∴四边形ADCM是平行四边形，∴AM=MC=MB，则A在以BC为直径的圆上，∴AB⊥AC．∵面PAC⊥平面ABCD，且平面PAC∩平面ABCD=AC，∴AB⊥面PAC．如图以A为原点，方向分别为x轴正方向，y轴正方向建立空间直角坐标系．可得，．设P（x，0，z），（z＞0），依题意有，，解得．则，，．设面PDC的一个法向量为，由，取x0=1，得．为面PAC的一个法向量，且，设二面角A﹣PC﹣D的大小为θ，则有，即二面角A﹣PC﹣D的余弦值．20.（12分）如图，为了计算河岸边两景点B与C的距离，由于地形的限制，需要在岸上选取A和D两个测量点．现测得AD⊥CD，AD＝100m，AB＝140m，∠BDA＝60°，∠BCD＝135°，求两景点B与C之间的距离(假设A，B，C，D在同一平面内)．参考答案：在△ABD中，设BD＝xm，则BA2＝BD2＋AD2－2BD·AD·cos∠BDA，即1402＝x2＋1002－2×100×x×cos60°，整理得x2－100x－9600＝0，解得x1＝160，x2＝－60(舍去)，故BD＝160m.在△BCD中，由正弦定理得：＝，又AD⊥CD，∴∠CDB＝30°，∴BC＝·sin30°＝80．21.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，，点E、M分别在线段AB、PC上，且，其中，连接CE，延长CE与DA的延长线交于点F，连接．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）若时，求二面角的正弦值；（Ⅲ）若直线PE与平面PBC所成角的正弦值为时，求值．参考答案：（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）.【分析】（Ⅰ）在线段上取一点，使得，，证明四边形为平行四边形，得到，然后证明平面．（Ⅱ）以为坐标原点，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，平面的一个法向量利用空间向量的数量积，求解二面角的正弦值．（Ⅲ）令，，，，，求出平面的一个法向量利用空间向量的数量积转化求解即可．【详解】（Ⅰ）在线段上取一点，使得，，且，，，且，且，四边形为平行四边形，，又平面，平面，平面．（Ⅱ）以为坐标原点，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系，0，，，0，，，2，，，2，，，0，，，，1，，，0，设平面的一个法向量为，，，，令，，，设平面的一个法向量为，，，，令，，，，，，二面角的正弦值为．（Ⅲ）令，，，，，设平面的一个法向量为，，，，令，，由题意可得：，，，．【点睛】本题考查直线与平面平行的判断定理的应用，二面角的平面角的求法，直线与平面所成角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．22.（本小题满分12分）已知点，圆是以的中点为圆心，为半径的圆。

(Ⅰ)若圆的切线在轴和轴上截距相等,求切线方程；

(Ⅱ)若是圆外一点，从P向圆引切线,为切点,为坐标原点，且有,求使最小的点的坐标.参考答案：(Ⅰ)设圆心坐标为，半径为，依题意得

∴圆的方程为

（2分）（1）若截距均为0,即圆的切线过原点,则可设该切线为即,

则有,解得,此时切线方程为或.