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文档简介

2022年浙江省杭州市市交通职业中学高三数学文摸底试卷含解析一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1.一种冰激凌机的模型上半部分是半球,下半部分是圆锥,其三视图

如图所示,则该型号蛋糕的表面积是(

)A.

B.

C.

D.参考答案:A略2.双曲线=1的渐近线方程是()A.y=±x B.y=±x C.y=±x D.y=±2x参考答案:B【考点】双曲线的简单性质.【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程.【分析】直接利用双曲线方程求渐近线方程即可.【解答】解:双曲线=1可得,所以双曲线的渐近线方程为:y=±x.故选:B.【点评】本题考查双曲线的渐近线方程的求法,基本知识的考查.3.已知锐角的终边上一点P(,),则等于

A.

B.

C.

D.

参考答案:C4.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,,当时,,若,则a的最大值是(

)A.2018

B.2010

C.2020

D.2011参考答案:D由函数是定义在上的偶函数,,可得:,即,故函数的周期为12.令,解得,∴在上的根为5,7;又,∴的最大值在上,即.故选:D

5.若是函数的极值点,则(

)A.有极大值-1

B.有极小值-1

C.有极大值0

D.有极小值0参考答案:A6.化简A.

B.

C. D.参考答案:D略7.若函数y=f(x)的图象如图,则函数y=f(1-x)的图象大致为参考答案:A8.若与在区间[1,2]上都是减函数,则a的取值范围是(

)A.(-1,0)∪(0,1)

B.(-1,0)∪(0,1]

C.(0,1)

D.(0,1]参考答案:D根据与在区间上都是减函数,的对称轴为,则由题意应有,且,

即,故选D

9.函数>,且的图象恒过定点A,若点A在直线上(其中m,n>0),则的最小值等于A.16 B.12 C.9 D.8参考答案:D令,得,此时,所以图象过定点A,点A在直线,所以,即.,当且仅当,即时取等号,此时,选D.10.抛物线y2=4x上有两点A、B到焦点的距离之和为8,则A、B到y轴的距离之和为()A.8 B.7 C.6 D.5参考答案:A【考点】K8:抛物线的简单性质.【分析】抛物线的准线为x=﹣1,根据抛物线的定义可知A,B此抛物线焦点的距离之和等于xA+1+xB+1.【解答】解:抛物线的准线方程为x=﹣1.则点A到此抛物线焦点的距离为xA+1,点B到此抛物线焦点的距离为xB+1.∴点A、B到此抛物线焦点的距离之和为xA+1+xB+1=xA+xB+2=8+2=10.则A、B到y轴的距离之和为:10﹣2=8.故选:A.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设函数,对?x∈[1,+∞),使不等式f(mx)+mf(x)<0恒成立的实数m称为函数f(x)的“伴随值”,则实数m的取值范围是

.参考答案:m<﹣1【考点】函数恒成立问题.【专题】计算题.【分析】显然m≠0,分当m>0与当m<0两种情况进行讨论,并进行变量分离即可得出答案.解:由f(mx)+mf(x)<0整理得:2mx<(m+),即2mx2<m+恒成立.①当m>0时,2x2<1+,因为y=2x2在x∈[1,+∞)上无最大值,因此此时不合题意;②当m<0时,2x2>1+,因为y=2x2在x∈[1,+∞)上的最小值为2,所以1+<2,即m2>1,解得m<﹣1或m>1(舍去).综合可得:m<﹣1.故答案为:m<﹣1.【点评】本题主要考查了恒成立问题的基本解法及分类讨论思想,属于难题,解决恒成立问题通常可以利用分离变量转化为最值的方法求解.12.已知定义在R上的函数则=

.参考答案:

13.已知直线l1:x+ay+6=0和l2:(a-2)x+3y+2a=0,则∥的充要条件是a=.参考答案:-1略14.在△ABC中,已知∠BAC=60°,∠ABC=45°,,则AC=_______.参考答案:.由正弦定理得,所以.15.已知实数x,y满足,则z=2x+3y的最小值是________.参考答案:9略16.如图,为测量山高MN,选择A和另一座山的山顶C为测量观测点.从A点测得

M点的仰角∠MAN=60°,C点的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°;从C点测得∠MCA=60°.已知山高BC=100m,则山高MN=m.参考答案:150【考点】解三角形的实际应用.【分析】由题意,可先求出AC的值,从而由正弦定理可求AM的值,在RT△MNA中,AM=100m,∠MAN=60°,从而可求得MN的值.【解答】解:在RT△ABC中,∠CAB=45°,BC=100m,所以AC=100m.在△AMC中,∠MAC=75°,∠MCA=60°,从而∠AMC=45°,由正弦定理得,,因此AM=100m.在RT△MNA中,AM=100m,∠MAN=60°,由得MN=100×=150m.故答案为:150.17.设的内角的对边长分别为,且

,则的值是___________.参考答案:4由得,即,所以,即。三、解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤18.(10分)(2015?泰州一模)如图,在长方体ABCD﹣A′B′C′D′中,DA=DC=2,DD′=1,A′C′与B′D′相交于点O′,点P在线段BD上(点P与点B不重合).(1)若异面直线O′P与BC′所成角的余弦值为,求DP的长度;(2)若DP=,求平面PA′C′与平面DC′B所成角的正弦值.参考答案:【考点】:二面角的平面角及求法;异面直线及其所成的角.【专题】:空间位置关系与距离;空间角.【分析】:(1)以为一组正交基底,建立空间直角坐标系D﹣xyz,由此利用向量法能求出DP的长度.(2)求出平面DC'B的法向量和平面PA'C'的法向量,利用向量法求出设平面PA'C'与平面DC'B所成角的余弦值,由此能求出平面PA′C′与平面DC′B所成角的正弦值.解:(1)以为一组正交基底,建立如图所示的空间直角坐标系D﹣xyz,由题意,知D(0,0,0),A'(2,0,1),B(2,2,0),C'(0,2,1),O'(1,1,1).设P(t,t,0),∴,.设异面直线O'P与BC'所成角为θ,则,化简得:21t2﹣20t+4=0,解得:或,或.…(5分)(2)∵,∴,,,,,设平面DC'B的一个法向量为,∴,∴,即,取y1=﹣1,,设平面PA'C'的一个法向量为,∴,∴,即,取y2=1,,设平面PA'C'与平面DC'B所成角为φ,∴,∴.…(10分)【点评】:本题考查线段长的求法,考查二面角的正弦值的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意向量法的合理运用.19.在四棱锥P﹣ABCD中,AD∥BC,AD=AB=DC=BC=1,E是PC的中点,面PAC⊥面ABCD.(Ⅰ)证明:ED∥面PAB;(Ⅱ)若PC=2,PA=,求二面角A﹣PC﹣D的余弦值.参考答案:【考点】MT:二面角的平面角及求法;LS:直线与平面平行的判定.【分析】(Ⅰ)取PB的中点F,连接AF,EF,由三角形的中位线定理可得四边形ADEF是平行四边形.得到DE∥AF,再由线面平行的判定可得ED∥面PAB;(Ⅱ)法一、取BC的中点M,连接AM,由题意证得A在以BC为直径的圆上,可得AB⊥AC,找出二面角A﹣PC﹣D的平面角.求解三角形可得二面角A﹣PC﹣D的余弦值.法二、由题意证得AB⊥AC.又面PAC⊥平面ABCD,可得AB⊥面PAC.以A为原点,方向分别为x轴正方向,y轴正方向建立空间直角坐标系.求出P的坐标,再求出平面PDC的一个法向量,由图可得为面PAC的一个法向量,由两法向量所成角的余弦值可得二面角A﹣PC﹣D的余弦值.【解答】(Ⅰ)证明:取PB的中点F,连接AF,EF.∵EF是△PBC的中位线,∴EF∥BC,且EF=.又AD=BC,且AD=,∴AD∥EF且AD=EF,则四边形ADEF是平行四边形.∴DE∥AF,又DE?面ABP,AF?面ABP,∴ED∥面PAB;(Ⅱ)解:法一、取BC的中点M,连接AM,则AD∥MC且AD=MC,∴四边形ADCM是平行四边形,∴AM=MC=MB,则A在以BC为直径的圆上.∴AB⊥AC,可得.过D作DG⊥AC于G,∵平面PAC⊥平面ABCD,且平面PAC∩平面ABCD=AC,∴DG⊥平面PAC,则DG⊥PC.过G作GH⊥PC于H,则PC⊥面GHD,连接DH,则PC⊥DH,∴∠GHD是二面角A﹣PC﹣D的平面角.在△ADC中,,连接AE,.在Rt△GDH中,,∴,即二面角A﹣PC﹣D的余弦值.法二、取BC的中点M,连接AM,则AD∥MC,且AD=MC.∴四边形ADCM是平行四边形,∴AM=MC=MB,则A在以BC为直径的圆上,∴AB⊥AC.∵面PAC⊥平面ABCD,且平面PAC∩平面ABCD=AC,∴AB⊥面PAC.如图以A为原点,方向分别为x轴正方向,y轴正方向建立空间直角坐标系.可得,.设P(x,0,z),(z>0),依题意有,,解得.则,,.设面PDC的一个法向量为,由,取x0=1,得.为面PAC的一个法向量,且,设二面角A﹣PC﹣D的大小为θ,则有,即二面角A﹣PC﹣D的余弦值.20.(12分)如图,为了计算河岸边两景点B与C的距离,由于地形的限制,需要在岸上选取A和D两个测量点.现测得AD⊥CD,AD=100m,AB=140m,∠BDA=60°,∠BCD=135°,求两景点B与C之间的距离(假设A,B,C,D在同一平面内).参考答案:在△ABD中,设BD=xm,则BA2=BD2+AD2-2BD·AD·cos∠BDA,即1402=x2+1002-2×100×x×cos60°,整理得x2-100x-9600=0,解得x1=160,x2=-60(舍去),故BD=160m.在△BCD中,由正弦定理得:=,又AD⊥CD,∴∠CDB=30°,∴BC=·sin30°=80.21.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,,点E、M分别在线段AB、PC上,且,其中,连接CE,延长CE与DA的延长线交于点F,连接.(Ⅰ)求证:平面;(Ⅱ)若时,求二面角的正弦值;(Ⅲ)若直线PE与平面PBC所成角的正弦值为时,求值.参考答案:(Ⅰ)证明见解析;(Ⅱ);(Ⅲ).【分析】(Ⅰ)在线段上取一点,使得,,证明四边形为平行四边形,得到,然后证明平面.(Ⅱ)以为坐标原点,分别以,,为,,轴建立空间直角坐标系,求出平面的一个法向量,平面的一个法向量利用空间向量的数量积,求解二面角的正弦值.(Ⅲ)令,,,,,求出平面的一个法向量利用空间向量的数量积转化求解即可.【详解】(Ⅰ)在线段上取一点,使得,,且,,,且,且,四边形为平行四边形,,又平面,平面,平面.(Ⅱ)以为坐标原点,分别以,,为,,轴建立空间直角坐标系,0,,,0,,,2,,,2,,,0,,,,1,,,0,设平面的一个法向量为,,,,令,,,设平面的一个法向量为,,,,令,,,,,,二面角的正弦值为.(Ⅲ)令,,,,,设平面的一个法向量为,,,,令,,由题意可得:,,,.【点睛】本题考查直线与平面平行的判断定理的应用,二面角的平面角的求法,直线与平面所成角的求法,考查空间想象能力以及计算能力.22.(本小题满分12分)已知点,圆是以的中点为圆心,为半径的圆。

(Ⅰ)若圆的切线在轴和轴上截距相等,求切线方程;

(Ⅱ)若是圆外一点,从P向圆引切线,为切点,为坐标原点,且有,求使最小的点的坐标.参考答案:(Ⅰ)设圆心坐标为,半径为,依题意得

∴圆的方程为

(2分)(1)若截距均为0,即圆的切线过原点,则可设该切线为即,

则有,解得,此时切线方程为或.

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