新编数学人教A版必修五优化练习：第二章-2.3-第2课时-等差数列的前n项和公式的性质及应用-含解析

新编人教版精品教学资料[课时作业][A组基础巩固]1．(2015·高考全国Ⅱ卷)设Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＋a3＋a5＝3，则S5＝()A．5 B．7C．9 D．11解析：a1＋a3＋a5＝3a3＝3⇒a3＝1，S5＝eq\f(5a1＋a5,2)＝5a3＝5.答案：A2．数列{an}为等差数列，若a1＝1，d＝2，Sk＋2－Sk＝24，则k＝()A．8 B．7C．6 D．5解析：∵Sk＋2－Sk＝ak＋1＋ak＋2＝a1＋kd＋a1＋(k＋1)d＝2a1＋(2k＋1)d＝2×1＋(2k＋1)×2＝4k＋4＝24，∴k答案：D3．记等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝eq\f(1,2)，S4＝20，则S6＝()A．16 B．24C．36 D．48解析：设数列{an}的公差为d，则Sn＝eq\f(n,2)＋eq\f(nn－1,2)d，∴S4＝2＋6d＝20，∴d＝3，∴S6＝3＋15d＝48.答案：D4．设{an}是等差数列，若a2＝3，a7＝13，则数列{an}的前8项和为()A．128 B．80C．64 D．56解析：设数列{an}的前n项和为Sn，则S8＝eq\f(8a1＋a8,2)＝eq\f(8a2＋a7,2)＝eq\f(8×3＋13,2)＝64.答案：C5．数列{an}是等差数列，a1＋a2＋a3＝－24，a18＋a19＋a20＝78，则此数列的前20项和等于()A．160 B．180C．200 D．220解析：∵{an}是等差数列，∴a1＋a20＝a2＋a19＝a3＋a18.又a1＋a2＋a3＝－24，a18＋a19＋a20＝78，∴a1＋a20＋a2＋a19＋a3＋a18＝54.∴3(a1＋a20)＝54.∴a1＋a20＝18.∴S20＝eq\f(20a1＋a20,2)＝180.答案：B6．有两个等差数列{an}，{bn}，它们的前n项和分别为Sn和Tn.若eq\f(Sn,Tn)＝eq\f(2n＋1,n＋2)，则eq\f(a8,b7)等于________．解析：由{an}，{bn}是等差数列，eq\f(Sn,Tn)＝eq\f(2n＋1,n＋2)，不妨设Sn＝kn(2n＋1)，Tn＝kn(n＋2)(k≠0)，则an＝3k＋4k(n－1)＝4kn－k，bn＝3k＋2k(n－1)＝2kn＋k.所以eq\f(a8,b7)＝eq\f(32k－k,14k＋k)＝eq\f(31,15).答案：eq\f(31,15)7．已知{an}为等差数列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，以Sn表示{an}的前n项和，则使得Sn达到最大值的n是________．解析：由已知得3a3＝105,3a∴a3＝35，a4＝33，∴d＝－2，an＝a4＋(n－4)(－2)＝41－2n，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an≥0,an＋1<0))，得n＝20.答案：208．已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为________．解析：S奇＝a1＋a3＋a5＋a7＋a9＝15，S偶＝a2＋a4＋a6＋a8＋a10＝30，∴S偶－S奇＝5d＝15，∴d＝3.答案：39．设正项数列{an}的前n项和为Sn，并且对于任意n∈N*，an与1的等差中项等于eq\r(Sn)，求数列{an}的通项公式．解析：由题意知，eq\r(Sn)＝eq\f(an＋1,2)，得：Sn＝eq\f(an＋12,4)，∴a1＝S1＝1，又∵an＋1＝Sn＋1－Sn＝eq\f(1,4)[(an＋1＋1)2－(an＋1)2]，∴(an＋1－1)2－(an＋1)2＝0.即(an＋1＋an)(an＋1－an－2)＝0，∵an＞0，∴an＋1－an＝2，∴{an}是以1为首项，2为公差的等差数列．∴an＝2n－1.10．已知等差数列{an}中，a1＝1，a3＝－3.(1)求数列{an}的通项公式；(2)若数列{an}的前k项和Sk＝－35，求k的值．解析：(1)设等差数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))的公差为d，则an＝a1＋(n－1)d.由a1＝1，a3＝－3可得1＋2d＝－3，解得d＝－2.从而an＝1＋(n－1)×(－2)＝3－2n.(2)由(1)可知an＝3－2n.所以Sn＝eq\f(n[1＋3－2n],2)＝2n－n2.进而由Sk＝－35可得2k－k2＝－35，即k2－2k－35＝0.解得k＝7或k＝－5.又k∈N*，故k＝7为所求结果．[B组能力提升]1．若一个等差数列的前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有()A．13项 B．12项C．11项 D．10项解析：∵a1＋a2＋a3＝34，①an＋an－1＋an－2＝146，②又∵a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2，∴①＋②得3(a1＋an)＝180，∴a1＋an＝60.③Sn＝eq\f(a1＋an·n,2)＝390.④将③代入④中得n＝13.答案：A2．等差数列{an}的前n项和为Sn，已知am－1＋am＋1－aeq\o\al(2,m)＝0，S2m－1＝38，则m＝()A．38 B．20C．10 D．9解析：由等差数列的性质，得am－1＋am＋1＝2am，∴2am＝aeq\o\al(2,m).由题意得am≠0，∴am＝2.又S2m－1＝eq\f(2m－1a1＋a2m－1,2)＝eq\f(2am2m－1,2)＝2(2m∴m＝10.答案：C3．已知等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为An，Bn，且满足eq\f(An,Bn)＝eq\f(2n,n＋3)，则eq\f(a1＋a2＋a12,b2＋b4＋b9)＝________.解析：eq\f(a1＋a2＋a12,b2＋b4＋b9)＝eq\f(3a1＋12d1,3b1＋12d2)＝eq\f(a5,b5)＝eq\f(\f(a1＋a9,2),\f(b1＋b9,2))＝eq\f(9×\f(a1＋a9,2),9×\f(b1＋b9,2))＝eq\f(A9,B9)＝eq\f(2×9,9＋3)＝eq\f(3,2).答案：eq\f(3,2)4．数列{an}的通项公式an＝ncoseq\f(nπ,2)，其前n项和为Sn，则S2016等于________．解析：由题意知，a1＋a2＋a3＋a4＝2，a5＋a6＋a7＋a8＝2，…，a4k＋1＋a4k＋2＋a4k＋3＋a4k＋4＝2，k∈N，故S2016＝504×2＝1008.答案：10085．某电站沿一条公路竖立电线杆，相邻两根电线杆的距离都是50m，最远一根电线杆距离电站1550m，一汽车每次从电站运出3根电线杆供应施工．若该汽车往返运输总行程为17500m，共竖立多少根电线杆？第一根电线杆距离电站多少米？解析：由题意知汽车逐趟(由近及远)往返运输行程组成一个等差数列，记为{an}，则an＝1550×2＝3100，d＝50×3×2＝300，Sn＝17500.由等差数列的通项公式及前n项和公式，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋n－1×300＝3100，①,na1＋\f(nn－1,2)×300＝17500.②))由①得a1＝3400－300n.代入②得n(3400－300n)＋150n(n－1)－17500＝0，整理得3n2－65n＋350＝0，解得n＝10或n＝eq\f(35,3)(舍去)，所以a1＝3400－300×10＝400.故汽车拉了10趟，共拉电线杆3×10＝30(根)，最近的一趟往返行程400m，第一根电线杆距离电站eq\f(1,2)×400－100＝100(m)．所以共竖立了30根电线杆，第一根电线杆距离电站100m.6．已知数列{an}，an∈N*，Sn是其前n项和，Sn＝eq\f(1,8)(an＋2)2.(1)求证{an}是等差数列；(2)设bn＝eq\f(1,2)an－30，求数列{bn}的前n项和的最小值．解析：(1)证明：当n＝1时，a1＝S1＝eq\f(1,8)(a1＋2)2，解得a1＝2.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝eq\f(1,8)(an＋2)2－eq\f(1,8)(an－1＋2)2，即8an＝(an＋2)2－(an－1＋2)2，整理得，(an－2)2－(an－1＋2)2＝0，即(an＋an－1)(an－an－1－4)＝0.∵an∈N*，∴an＋an－1>0，∴an－an－1－4＝0，即an－an－1＝4(n≥2)．故{an}是以2为首项，4为公差的等差数列．(2)设{bn}的前n项和为Tn，∵bn＝eq\f(1,2)an－30，且由(1