浙江省2022-2023学年下学期高中数学竞赛六校第二次联考一试和加试试题PDF版含解析

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加试解答

一．（本题满分40分）给定正整数n3，1a1a2an是整数，满足

n

a1ii是不同的整数，证明：2．

{0,1}i1aii

1

{#{ABSQogiAQBJAARhCEQVyCAOQkAGCCAgOwBAMoAAAiQFABAA=}#}

2

{#{ABSQogiAQBJAARhCEQVyCAOQkAGCCAgOwBAMoAAAiQFABAA=}#}

二．（本题满分40分）如图，DABC的内切圆I分别切AC,AB于点E,F，

CF交圆I于点K，A在CF上的投影为点L．设M为EF的中点，H为DLMK的

垂心，证明：AHEK．

注：答题时请将图画在答卷纸上．

证明：由AMEF知∠AMF=90°=∠ALF，得A、M、L、F四点共圆．于

是知∠MLK=∠FAI．

设HM交CF于点N，AI交CF于点S．显然SM⊥FM、MN⊥SF，知

∠SMN=∠SFM．

另一方面，∠FKH=90°-∠MLK=90°-∠FAI=∠AEF=∠FKE，知K、E、H

三点共线．

于是∠AEH=∠CEK=∠EFK=∠SFM=∠SMN=∠AMH，知A、H、E、M

四点共圆．由∠AME=90°知∠AHK=90°成立，故AH⊥EK．

三．（本题满分50分）给定正整数n3．对一个n阶完全图的边三染色，

求最小的正整数k，使得无论初始时如何染色，总可以选出k条边，并将它们的

颜色变为同一种，使得图关于该种颜色的边连通．

n

解：先证明k3

．

1,2,3nA,B,CABn设三种颜色为，将阶完全图的顶点集划分，使得

3

．

按如下方式染色：将A中顶点之间连的边染颜色1，B中顶点之间连的边染

颜色2，C中顶点之间连的边染颜色3，A与B之间顶点连的边染颜色1，B与C

之间顶点连的边染颜色2，C与A之间顶点连的边染颜色3．

若变色后得到染颜色1的边形成连通图，由于C中顶点发出的边均染颜色2

或3n，于是变色的边数不小于C3

．

同理，若变色后得到染颜色2或3的边形成连通图，则变色的边数也不小

nn

于.故k3

．

3

3

{#{ABSQogiAQBJAARhCEQVyCAOQkAGCCAgOwBAMoAAAiQFABAA=}#}

kn再证明当时满足要求．3

对n归纳．当n=3时结论显然成立．假设n-1时成立，考察n时的情形．

若某顶点发出的边三种颜色都有，则对其余n-1个点用归纳假设得，可通过

n1

改变条边的颜色得到同色连通图．3

若某顶点发出的边只有一种颜色，则图关于该种颜色的边已连通．

若所有顶点发出的边均恰有两种颜色，记A为所有发出的边均染颜色1或2

的顶点组成的集合，B为所有发出的边均染颜色2或3的顶点组成的集合，C为

所有发出的边均染颜色1或3的顶点组成的集合．

n

不妨设ABCA，则．

3

若B=，则A=，于是所有边均染颜色1或3．此时相当于对完全图的

边二染色，归纳易证图关于某种颜色的边连通．

若B，则B与C之间顶点连的边均染颜色3，因此BUC可由颜色3连

通.此时，任取B中一个顶点，将A中所有顶点与该顶点连的边的颜色均变成颜

色3n，则图变为连通的，且变色的边数不超过A.归纳证毕．3

n

综上所述，所求k的最小值为3

．

四．（本题满分50分）设p为素数，数列{un}定义为：

unn,0np1,

unpun1punp,np.

证明：vp(un)vp(n)．

注：vp(m)表示使得p

k|m的最大整数k．

4

{#{ABSQogiAQBJAARhCEQVyCAOQkAGCCAgOwBAMoAAAiQFABAA=}#}

5

{#{ABSQogiAQBJAARhCEQVyCAOQkAGCCAgOwBAMoAAAiQFABAA=}#}

6

{#{ABSQogiAQBJAARhCEQVyCAOQkAGCCAgOwBAMoAAAiQFABAA=}#}

7

{#{ABSQogiAQBJAARhCEQVyCAOQkAGCCAgOwBAMoAAAiQFABAA=}#}机密★启用前

2022学年第二学期数学竞赛六校第二次联考

加试试题

一.（本题满分40分）给定正整数n≥3,1≤a,∑5a,是不同的整数，证明：10,故f)在(0，+o)上为增函数，而

ln(1-x2)-2x2=1即为2(1-x2)+ln(1-x2)=3,由题可得f(x)=f(1-x2),所以x=1-x2,

即x+x2=1.

2,已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O,底面的四个顶点均在球O的

球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为

答案：4

27

解：设该四棱锥底面为四边形ABCD,四边形ABCD所在小圆半径为r,设四

边形ABCD对角线夹角为a,则Sm=4C.BD-sina≤分4CBD≤2r2r=2,

(当且仅当四边形ABCD为正方形时等号成立)即当四棱锥的顶点O到底面

ABCD所在小圆距离一定时，底面ABCD面积最大值为22，

又设四棱锥的高为h,则r2+h2=1,

%m2h=5P2

r2+r2+2h2

3

45

3

3

27

当且仅当=2办即A=5时等号成立。

3.设复数z=(a+i)∈R,且13,不符题意：

放0-±，此时-1e51=9+r-传r等e,符价题意

3

3

[方法二]

设复数a+i的辐角Arg(a+i)=B,则由复数乘法的几何意义可知，：的辐角为6，由于

:ER,故60=k,k∈Z,即日=k,k∈Z.

6

因此

1-tand=t

nkr(keZ且k≠士3,9，士15，…)，或a=0.

6

于是a=0,a=±9，a=v5。后同方法-

4.设钝角a满足cosB=3cos(2a+B),则tan(2au+B)的最大值为

答案：-2W2.

解：因为cosB=3cos(2a+B),则cos(2a+B)-2a=3cos(2a+B),所以

cos(2a+B)cos2a+sin(2a+B)sin2a=3cos(2a+B),

sin(2a+B)sin2a=cos(2a+P(3-cos2a）,于是有tan(2a+f)=s血(2a+A）_3-cos2a

cos(2a+B)sin2a

所以tan(2a+p)=3cosa+3sina=cosa+sin2a_4tana+2=2tana+L,因

2sinacosa

2tand

为a为钝角，所以tana0,6>0)的左右焦点分别为F,F,P为双围

线右支上的一点，Q为△FF,P的内心.若2QE+3QF,=4PQ,则M的离心率

为

7.己知数列{an}满足a=1且an+1若S=2023,则正整数m可能取值的个数为

8.袋中装有6个相同的球，分别标有数字1,2,3,4,5,6，从中一次性随机取出

两个球，设两球标号为x和y,并记4=x+,出=k-.将球放回袋中，重

复上述操作，得到4，和y·设平面向量n=(4,y),n2=(42,V2),则乃与乃2能构成

基底{n,2}的概率为

二、解答题：本大题共3小题，满分56分，解答应写出文字说明、证明过

程或演算步骤.

9.(本题满分16分)在△ABC中，BC=2,AB=2AC,D为BC的中点，

求tan∠ADC的最大值.

10.(本题满分20分)已知xn={V2n}(n∈N),其中{x}=x-[x],[x]表示

不超过实