函数的对称性和周期性练习题 本部

函数的对称性和周期性练习题本部1.已知函数f(x)是R上的偶函数，且满足f(x+1)+f(x)=3，当x∈[-1,0]时，f(x)=2+x，则求f(-2007.5)的值。根据函数f(x)的偶性，可以得到f(-2007.5)=f(2007.5)，又因为f(x+1)+f(x)=3，所以f(x+2)+f(x+1)=3，进而可以得到f(2007.5)+f(2009.5)=3。又因为f(x)=2+x，所以f(0)=2，将其代入f(x+1)+f(x)=3中，可以得到f(1)+f(0)=3，即f(1)=1。将f(x)的表达式代入f(x+2)+f(x+1)=3中，可以得到2x+5=f(x+2)，代入f(-2007.5)=f(2007.5)中，可以得到f(-2007.5)=2-2007.5+5=-2000.5，因此答案为C.-1.5。2.定义在R上的函数f(x)，对任意x∈R，都有f(x+2)=(1-f(x))/(1+f(x))，且f(2)=1，则求f(2016)的值。由f(x+2)=(1-f(x))/(1+f(x))，可以得到f(x+4)=f(x)，因此f(x)是以2为周期的函数。又因为f(2)=1，所以f(4)=0，f(6)=-1，f(8)=-∞，f(10)=1，f(12)=0。可以发现，f(x)的值在每个周期内都是循环的，因此f(2016)的值与f(2)的值相同，即为1，因此答案为A.1113。3.已知f(x)是定义在R上的函数，满足f(x)+f(-x)=0，f(x-1)=f(x+1)，当x∈(0,1)时，f(x)=-x^2+x，则求函数f(x)的最小值。由f(x)+f(-x)=0，可以得到f(0)=0，因此f(x)是奇函数。又因为f(x-1)=f(x+1)，可以得到f(x+2)=f(x)，因此f(x)是以2为周期的函数。在一个周期内，f(x)的最小值为f(3/4)=-3/16，因此f(x)的最小值为-3/16，因此答案为B.-3/16。4.已知定义域为R的函数f(x)，满足f(-x)=-f(x+4)，且函数f(x)在区间(2,+∞)上单调递增，如果x1<x2，且x1+x2<4，则求f(x1)+f(x2)的值。由f(-x)=-f(x+4)，可以得到f(x+4)=-f(-x)=f(x)，因此f(x)是以4为周期的函数。又因为函数f(x)在区间(2,+∞)上单调递增，因此f(x)在区间(2,6)上单调递增，且f(x+4)=f(x)。因此，对于x1<x2，若x1+x2<4，则x2=x1+a(0<a<2)，此时f(x2)=f(x1+a)，且f(x1)+f(x2)=2f(x1+a/2)。因为f(x)在区间(2,6)上单调递增，因此f(x1+a/2)的值唯一确定。又因为x1+x2<4，所以a<2，因此f(x1)+f(x2)的值唯一确定，即为一个常数，因此答案为A.可正可负。5.函数f(x)的定义域为R，且满足f(x+1)和f(x-1)都是奇函数，则求证f(x)是偶函数。因为f(x+1)和f(x-1)都是奇函数，所以f(-x+1)=-f(x+1)，f(-x-1)=-f(x-1)。将x替换为-x-2，可以得到f(x-1)=-f(-x-1)，将x替换为-x+2，可以得到f(x+1)=-f(-x+1)。因此f(x+1)+f(x-1)=-f(-x+1)-f(-x-1)=-f(x-1)-f(x+1)，即f(x)是偶函数。6.函数f(x)=x+3/(x+1)关于点(-1,4)对称。对于任意点(x,y)，如果点在(-1,4)的上方，则与点对称的点为(x,y-2(y-4)/(x+1))；如果点在(-1,4)的下方，则与点对称的点为(x,y+2(4-y)/(x+1))。因为函数f(x)的图像是开口向上的双曲线，所以函数f(x)关于点(-1,4)对称。7.设f(x)为定义在R上的奇函数，f(x+2)=-f(x)，当|x|≤1时，f(x)=x，则求f(7.5)的值。因为f(x+2)=-f(x)，所以f(7.5)=f(1.5)=-f(5.5)=-f(-1.5)=f(0.5)=0.5，因此答案为0.5。8.设f(x)是定义在R上的周期为2的函数，在区间[-1,1)上，f(x)=x，在区间[1,2)上，f(x)=-4x^2+2，则求f(3/2)的值。因为f(x)是周期为2的函数，所以f(3/2)=f(-1/2)。因为-1/2∈[-1,1)，所以f(-1/2)=-1/2。因此f(3/2)=-1/2，在区间[-1,1)上f(x)=x，在区间[1,2)上f(x)=-4x^2+2，因此f(3/2)=1/2*(-4)+2=3/2，因此答案为3/2。9.已知f(x+1)=f(x-1)，f(x)=f(-x+2)，方程f(x)=0在[0,1]内有且只有一个根，则[0,2016]内根的个数为多少？因为f(x+1)=f(x-1)，所以f(x+2)=f(x)，因此f(x)是以2为周期的函数。因为f(x)=f(-x+2)，所以f(x)是偶函数。因为方程f(x)=0在[0,1]内有且只有一个根，所以f(x)在[-1,0)和(0,1]内的值符号相反，且f(0)=0。因为f(x)是偶函数，所以f(x)在[-1,0)和(0,1]内的值绝对值相等，因此f(x)在[-1,0)和(0,1]内的值分别为正数和负数。因为f(x)是以2为周期的函数，所以f(x)在[1,2)和[2,3)内的值符号相反，且f(2)=0。因为f(x)在[1,2)内是偶函数，在[2,3)内是奇函数，所以f(x)在[1,2)内的值为正数，[2,3)内的值为负数。因此f(x)在[0,1]内的值从正数变为负数，因此方程f(x)=0在[0,1]内有且只有一个根。因为f(x)是偶函数，所以f(x)在[-1,-2015]和[2015,2016]内的值符号相反，且f(-2016)=f(2016)=0。因为f(x)在[-1,-2015]内的值为负数，在[2015,2016]内的值为正数，因此f(x)在[-1,-2015]和[2015,2016]内的值分别为负数和正数。因此方程f(x)=0在[0,2016]内的根的个数为1，因此答案为1。10.设f(x)是定义在R上的周期为2的函数，在区间[-1,1]上，f(x)=bx+2，在区间(1,2)上，f