2023版高考数学一轮总复习第十二章概率第四讲二项分布与正态分布课件理

第十二章

概率第四讲二项分布与正态分布要点提炼

二项分布及其应用考点1

条件概率P(B|A)

二项分布及其应用考点1

P(B|A)+P(C|A)P(A)P(B)

二项分布及其应用考点13.独立重复试验与二项分布(1)独立重复试验

定义:一般地,在相同条件下重复做n次试验称为n次独立重复试验.计算公式:若用Ai(i=1,2,3,…,n)表示第i次试验的结果,则这n个事件同时发生的概率P(A1A2…An)=P(A1)·P(A2)…P(An).(2)二项分布定义:一般地,在n次独立重复试验中,设事件A发生的次数为X,在每次试验中事件A发生的概率为p,此时称随机变量X服从二项分布,记作⑥X~B(n,p),并称p为成功的概率.

二项分布及其应用考点1计算公式:在n次独立重复试验中,事件A恰好发生k次的概率为P(X=k)=

,k=0,1,2,…,n.二项分布的期望与方差:若随机变量X服从二项分布,即X~B(n,p),则E(X)=np,D(X)=

.名师提醒

1.独立重复试验的条件(1)每次试验在相同条件下可重复进行;(2)每次试验是相互独立的;(3)每次试验都只有两种结果,即事件要么发生,要么不发生.

np(1-p)

二项分布及其应用考点1

正态分布考点2

x=μx=μ

正态分布考点2d.曲线与x轴之间的面积为1.e.当σ一定时,曲线的位置由μ确定,曲线随着μ的变化而沿x轴平移,如图(1)所示.f.当μ一定时,曲线的形状由σ确定.σ越

,曲线越“瘦高”,表示总体的分布越集中;σ越

,曲线越“矮胖”,表示总体的分布越分散,如图(2)所示.小大

正态分布考点2

X~N(μ,σ2)

正态分布考点2(2)正态分布的三个常用数据a.P(μ-σ<X≤μ+σ)≈0.6827,b.P(μ-2σ<X≤μ+2σ)≈0.9545,c.P(μ-3σ<X≤μ+3σ)≈0.9973.名师提醒1.在实际应用中,通常认为服从正态分布N(μ,σ2)的随机变量X只取(μ-3σ,μ+3σ)之间的值,并简称之为3σ原则.2.若X~N(μ,σ2),则随机变量X在μ的附近取值的概率很大,在离μ很远处取值的概率很小.3.若X~N(μ,σ2),则X的期望与方差分别为E(X)=μ，D(X)=σ2.理解自测1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”).(1)若两个事件是互斥事件,则两个事件相互独立.(

)(2)对立事件一定是相互独立事件.(

)(3)对于任意事件,公式P(AB)=P(A)P(B)都成立.(

)(4)在事件A发生的条件下,事件B发生,相当于事件A,B同时发生.(

)(5)对任意两个事件B,C,P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A).(

)(6)X服从正态分布,通常用X~N(μ,σ2)表示,其中参数μ和σ分别表示正态分布的均值和方差.(

)××××××

×BA考向扫描

条件概率考向11.典例[2021安徽师大附中5月模拟]设10件产品中有4件不合格,从中任意选取2件,则在所选取的产品中发现有一件是不合格品时,另一件也是不合格品的概率是

.

解析

记事件A为“选取的两件产品中发现有一件是不合格品”,事件B为“另一件是不合格品”,则AB为“两件都是不合格品”.

条件概率考向1

条件概率考向1方法技巧

1.求条件概率的三种方法定义法基本事件法缩样法即缩小样本空间的方法,就是去掉第一次抽到的情况,只研究剩下的情况,用古典概型求解,它能化繁为简.

条件概率考向1

2.条件概率的判断依据对条件概率问题的判断主要依据题目中出现的“已知”“在…前提下(条件下)”等字眼.若题目中没有出现上述字眼,但已知事件的发生影响了所求事件的概率,一般也认为是条件概率问题.

条件概率考向1

2.变式[2021广东佛山三模]设某种动物由出生算起,活到20岁的概率是0.8,活到25岁的概率是0.4.现有一个20岁的这种动物,它能活到25岁的概率是

.

0.5

相互独立事件考向2角度1

相互独立事件的判断3.典例

[2021新高考卷Ⅰ]有6个相同的球,分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中有放回地随机取两次,每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”,乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”,丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”,丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”,则 (

)A.甲与丙相互独立B.甲与丁相互独立C.乙与丙相互独立D.丙与丁相互独立B

相互独立事件考向2

相互独立事件考向2角度2

相互独立事件的概率的求法4.典例

[2019全国卷Ⅱ][理]11分制乒乓球比赛,每赢一球得1分,当某局打成10∶10平后,每球交换发球权,先多得2分的一方获胜,该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛,假设甲发球时甲得分的概率为0.5,乙发球时甲得分的概率为0.4,各球的结果相互独立.在某局双方10∶10平后,甲先发球,两人又打了X个球该局比赛结束.(1)求P(X=2);(2)求事件“X=4且甲获胜”的概率.

相互独立事件考向2解析

(1)“X=2”包含的事件为“甲连赢两球”或“乙连赢两球”.因此P(X=2)=0.5×0.4+(1-0.5)×(1-0.4)=0.5.(2)“X=4且甲获胜”包含的事件为“前两球甲、乙各得1分,后两球均为甲得分”.因此所求概率为[0.5×(1-0.4)+(1-0.5)×0.4]×0.5×0.4=0.1.

相互独立事件考向2方法技巧相互独立事件的概率的求法(1)直接法:利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解.(2)间接法:正面计算较烦琐(如求用“至少”表述的事件的概率)或难以入手时,可从其对立事件入手计算.与相互独立事件A,B有关的概率的计算公式如下表:

相互独立事件考向2事件A,B相互独立概率计算公式A,B同时发生P(AB)=P(A)P(B)A,B同时不发生A,B至少有一个不发生P=1-P(AB)=1-P(A)P(B)A,B至少有一个发生A,B恰有一个发生

相互独立事件考向25.变式[2019全国卷Ⅰ][理]甲、乙两队进行篮球决赛,采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时,该队获胜,决赛结束).根据前期比赛成绩,甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”.设甲队主场取胜的概率为0.6,客场取胜的概率为0.5,且各场比赛结果相互独立,则甲队以4∶1获胜的概率是

.0.18

相互独立事件考向2

独立重复试验与二项分布考向3角度1

独立重复试验

独立重复试验与二项分布考向3

独立重复试验与二项分布考向3

独立重复试验与二项分布考向3角度2

二项分布

独立重复试验与二项分布考向3

X0123P

独立重复试验与二项分布考向3

独立重复试验与二项分布考向3方法技巧1.利用二项分布解决实际问题的关键是建立二项分布模型,随机变量X服从二项分布的依据:①试验为n次独立重复试验;②随机变量X是在这n次独立重复试验中某事件发生的次数.若X~B(n,p),则利用公式E(X)=np,D(X)=np(1-p)求期望、方差,可减少计算量.2.有些随机变量虽不服从二项分布,但与之具有线性关系的另一随机变量服从二项分布,这时,可以应用均值与方差的性质求解,即利用E(ax+b)=aE(x)+b,D(ax+b)=a2D(x)求解.

独立重复试验与二项分布考向38.变式[2018全国卷Ⅰ][理]某工厂的某种产品成箱包装,每箱200件,每一箱产品在交付用户之前要对产品做检验,如检验出不合格品,则更换为合格品.检验时,先从这箱产品中任取20件做检验,再根据检验结果决定是否对余下的所有产品做检验.设每件产品为不合格品的概率都为p(0<p<1),且各件产品是否为不合格品相互独立.(1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p),求f(p)的最大值点p0.(2)现对一箱产品检验了20件,结果恰有2件不合格品,以(1)中确定的p0作为p的值.已知每件产品的检验费用为2元,若有不合格品进入用户手中,则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用.

独立重复试验与二项分布考向3(i)若不对该箱余下的产品做检验,这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X,求E(X);(ii)以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据,是否该对这箱余下的所有产品做检验?

独立重复试验与二项分布考向3(2)由(1)知,p0=0.1,所以p=0.1.(i)令Y表示余下的180件产品中的不合格品的件数,依题意知Y~B(180,0.1),X=20×2+25Y,即X=40+25Y.所以E(X)=E(40+25Y)=40+25E(Y)=40+25×180×0.1=490.(ii)如果对这箱余下的产品做检验,那么这一箱产品所需要的检验费为400元.由于E(X)>400,故应该对这箱余下的所有产品做检验.

正态分布及其应用考向49.典例[2021新高考卷Ⅱ]某物理量的测量结果服从正态分布N(10,σ2),则下列结论中不正确的是(

)A.σ越小,该物理量一次测量结果落在(9.9,10.1)内的概率越大B.该物理量一次测量结果大于10的概率为0.5C.该物理量一次测量结果小于9.99的概率与大于10.01的概率相等D.该物理量一次测量结果落在(9.9,10.2)内的概率与落在(10,10.3)内的概率相等D

正态分布及其应用考向4解析

设该物理量一次测量结果为X,对于A,σ越小,说明数据越集中在10附近,所以X落在(9.9,10.1)内的概率越大,所以选项A正确;对于B,根据正态曲线的对称性可得,P(X>10)=0.5,所以选项B正确;对于C,根据正态曲线的对称性可得,P(X>10.01)=P(X<9.99),所以选项C正确;对于D,根据正态曲线的对称性可得,P(9.9<X<10.2)P(10<X<10.3)=P(9.9<X<10)-P(10.2<X<10.3),又P(9.9<X<10)>P(10.2<X<10.3),所以P(9.9<X<10.2)>P(10<X<10.3),所以选项D错误.故选D.

正态分布及其应用考向4方法技巧

有关正态分布的2类常见的概率计算1.利用正态分布密度曲线的对称性研究相关概率问题,涉及的知识主要是正态曲线关于直线x=μ对称,曲线与x轴之间的面积为1.2.在求概率问题时,要注意把给出的区间或范围与正态变量的μ,σ进行对比联系,确定它们属于(μ-σ,μ+σ),(μ-2σ,μ+2σ),(μ-3σ,μ+3σ)中的哪一个.

正态分布及其应用考向4思维拓展对于正态分布N(μ,σ2),由直线x=μ是正态曲线的对称轴知:(1)P(x≥μ)=P(x<μ)=0.5;(2)对任意的a,有P(X<μ-a)=P(X>μ+a);(3)P(X<x0)=1-P(X≥x0);(4)P(a<X<b)=P(X<b)-P(X≤a).

正态分布及其应用考向410.变式[2017全国卷Ⅰ][理]为了监控某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件,并测量其尺寸(单位:cm).根据长期生产经验,可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N(μ,σ2).(1)假设生产状态正常,记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的零件数,求P(X≥1)及X的数学期望.(2)一天内抽检零件中,如果出现了尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的零件,就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查.

正态分布及其应用考向4

9.9510.129.969.9610.019.929.9810.0410.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95

正态分布及其应用考向4

正态分布及其应用考向4解析(1)抽取的一个零件的尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之内的概率约为0.9973,从而零件的尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的概率约为0.0027,故X~B(16,0.0027).因此P(X≥1)=1-P(X=0)=1-0.997316≈0.0423.X的数学期望E(X)=16×0.0027=0.0432.(2)(i)如果生产状态正常,一个零件的尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的概率只有0.0027,一天内抽取的16个零件中,出现尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的零件的概率只有0.0423,发生的概率很小.

正态分布及其应用考向4

正态分布及其应用考向4

攻坚克难

概率与其他学科的综合问题数学探索111.典例如图,由M到N的电路中有4个元件,分别标为T1,T2,T3,T4,电流能通过T1,T2,T3的概率都是p,电流能通过T4的概率是0.9,电流能否通过各元件相互独立.已知T1,T2,T3中至少有一个能通过电流的概率为0.999.则:(1)p=

;(2)电流能在M与N之间通过的概率为

.0.98910.9解析记Ai表示事件“电流能通过Ti”,i=1,2,3,4,A表示事件“T1,T2,T3中至少有一个能通过电流”,B表示事件“电流能在M与N之间通过”.

概率与其他学科的综合问题数学探索1

概率与其他学科的综合问题数学探索1

C

概率与其他知识的综合问题数学探索213.典例[2021新高考卷Ⅱ]一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来,设一个这种微生物为第0代,经过一次繁殖后为第1代,再经过一次繁殖后为第2代……该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列,设X表示1个微生物个体繁殖下一代的个数,P(X=i)=pi(i=0,1,2,3).(1)已知p0=0.4,p1=0.3,p2=0.2,p3=0.1,求E(X);(2)设p表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率,p是关于x的方程p0+p1x+p2x2+p3x3=x的一个最小正实根,求证:当E(X)≤1时,p=1,当E(X)>1时,p<1;(3)根据你的理解说明(2)问结论的实际含义.

概率与其他知识的综合问题数学探索2解析

(1)由题意,P(X=0)=0.4,P(X=1)=0.3,P(X=2)=0.2,P(X=3)=0.1,∴X的分布列为E(X)=0×0.4+1×0.3+2×0.2+3×0.1=1.(2)记f(x)=p3x3+p2x2+(p1-1)x+p0,由题知,p为f(x)=0的实根,由p0=1-p1-p2-p3,得f(x)=p3(x3-1)+p2(x2-1)+p1(x-1)-(x-1)=(x-1)[p3x2+(p3+p2)x+p3+p2+p1-1].X0123P0.40.30.20.1

概率与其他知识的综合问题数学探索2记g(x)=p3x2+(p3+p2)x+p3+p2+p1-1,则g(1)=3p3+2p2+p1-1=E(X)-1,g(0)=p3+p2+p1-1=-p0<0.当E(X)≤1时,g(1)≤0,易知g(x)在(0,1)上单调递增,∴当x∈(0,1)时,g(x)=0无实根.∴f(x)=0在(0,1]上有且仅有一个实根,即p=1,∴当E(X)≤1时,p=1.

概率与其他知识的综合问题数学探索2当E(X)>1时,g(1)>0,又g(0)<0,g(x)的图象开口向上,∴g(x)=0在(0,1)上有唯一实根p',∴f(x)=0的最小正实根p=p'∈(0,1),∴当E(X)>1时,p<1.(3)E(X)≤1,表示1个微生物个体繁殖下一代的个数不超过自身个数,种群数量无法维持稳定或正向增长,多代繁殖后将面临灭绝,所以p=1.E(X)>1,表示1个微生物个体可以繁殖下一代的个数超过自身个数,种群数量可以正向增长,所以面临灭绝的可能性小于1.

概率与其他知识的综合问题数学探索214.变式[2019全国卷Ⅰ][理]为治疗某种疾病,研制了甲、乙两种新药,希望知道哪种新药更有效,为此进行动物试验.试验方案如下:每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验