中考数学真题：2021年山东省潍坊市初中学业水平考试试题

2021年山东省潍坊市初中学业水平考试试题一、单项选择题(共8小题，每小题3分，共24分．每小题四个选项只有一项正确．)1.下列各数的相反数中，最大的是()A.eq\r(2)B.1C.－eq\f(3,2)D.－22.如图，一束水平光线照在有一定倾斜角度的平面镜上，若入射光线与出射光线的夹角为60°，则平面镜的垂线l与水平地面的夹角α的度数是()第2题图A.15°B.30°C.45°D.60°3.第七次全国人口普查数据显示，山东省常住人口约为10152.7万人，将101527000用科学记数法(精确到十万位)表示为()A.1.02×108B.0.102×109C.1.015×108D.0.1015×1094.若菱形两条对角线的长度是方程x2－6x＋8＝0的两根，则该菱形的边长为()A.eq\r(5)B.4C.2eq\r(5)D.55.如图，某机器零件的三视图中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是()第5题图A.主视图B.左视图C.俯视图D.不存在6.不等式组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋1≥x,\f(1,3)x－\f(1,4)<\f(3x－1,12)))的解集在数轴上表示正确的是()7.右图为2021年第一季度中国工程机械出口额TOP10国家的相关数据(同比增速是指相对于2020年第一季度出口额的增长率)，下列说法正确的是()第7题图A.对10个国家出口额的中位数是26201万美元B.对印度尼西亚的出口额比去年同期减少C.去年同期对日本的出口额小于对俄罗斯联邦的出口额D.出口额同比增速中，对美国的增速最快8.记实数x1，x2，…，xn中的最小数为min|x1，x2，…，xn|，例如min|－1，1，2|＝－1，则函数y＝min|2x－1，x，4－x|的图象大致为()二、多项选择题(共4小题，每小题3分，共12分．每小题四个选项有多项正确，全部选对得3分，部分选对得2分，有选错的即得0分．)9.下列运算正确的是()A.(a－eq\f(1,2))2＝a2－a＋eq\f(1,4)B.(－a－1)2＝eq\f(1,a2)C.eq\f(a－3,b－3)＝eq\f(a,b)D.eq\f(\r(6),\r(3))＝210.如图，在直角坐标系中，点A是函数y＝－x图象l上的动点，以A为圆心，1为半径作⊙A.已知点B(－4，0)，连接AB，线段AB与x轴所成的角∠ABO为锐角，当⊙A与两坐标轴同时相切时，tan∠ABO的值可能为()第10题图A.3B.eq\f(1,3)C.5D.eq\f(1,5)11.古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中记载了用尺规作某种六边形的方法，其步骤是：①在⊙O上任取一点A，连接AO并延长交⊙O于点B；②以点B为圆心，BO为半径作圆弧分别交⊙O于C，D两点；③连接CO，DO并延长分别交⊙O于点E，F；④顺次连接BC，CF，FA，AE，ED，DB，得到六边形AFCBDE.连接AD，EF，交于点G，则下列结论正确的是()第11题图A.△AOE的内心与外心都是点GB.∠FGA＝∠FOAC.点G是线段EF的三等分点D.EF＝eq\r(2)AF12.在直角坐标系中，若三点A(1，－2)，B(2，－2)，C(2，0)中恰有两点在抛物线y＝ax2＋bx－2(a>0且a、b均为常数)的图象上，则下列结论正确是()A.抛物线的对称轴是直线x＝eq\f(1,2)B.抛物线与x轴的交点坐标是(－eq\f(1,2)，0)和(2，0)C.当t>－eq\f(9,4)时，关于x的一元二次方程ax2＋bx－2＝t有两个不相等的实数根D.若P(m，n)和Q(m＋4，h)都是抛物线上的点且n<0，则h>0三、填空题(共4小题，每小题4分，共16分，只填写最后结果．)13.甲、乙、丙三名同学观察完某个一次函数的图象，各叙述如下：甲：函数的图象经过点(0，1)；乙：y随x的增大而减小；丙：函数的图象不经过第三象限．根据他们的叙述，写出满足上述性质的一个函数表达式为________．14.若x<2，且eq\f(1,x－2)＋|x－2|＋x－1＝0，则x＝________．15.在直角坐标系中，点A1从原点O出发，沿如图所示的方向运动，到达位置的坐标依次为：A2(1，0)，A3(1，1)，A4(－1，1)，A5(－1，－1)，A6(2，－1)，A7(2，2)，…….若到达终点An(506，－505)，则n的值为________．第15题图16.如图，在直角坐标系中，O为坐标原点，函数y＝eq\f(a,x)与y＝eq\f(b,x)(a>b>0)在第一象限的图象分别为曲线C1，C2，点P为曲线C1上的任意一点．过点P作y轴的垂线交C2于点A，作x轴的垂线交C2于点B，则阴影部分的面积S△AOB＝________．(结果用a，b表示)第16题图四、解答题(共7小题，共68分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本题8分)(1)计算：(－2021)0＋eq\r(3,27)＋(1－3－2×18)；(2)先化简，再求值：eq\f(x2－y2,x2－2xy＋y2)·eq\f(（x－y）（2x＋3y）,x＋y)－xy(eq\f(2,x)＋eq\f(3,y))，其中(x，y)是函数y＝2x与y＝eq\f(2,x)的图象的交点坐标．18.(本题7分)如图，某海岸线M的方向为北偏东75°，甲、乙两船同时出发向C处海岛运送物资，甲船从港口A处沿北偏东45°方向航行，乙船从港口B处沿北偏东30°方向航行，其中乙船的平均速度为v.若两船同时到达C处海岛，求甲船的平均速度．(结果用v表示．参考数据：eq\r(2)≈1.4，eq\r(3)≈1.7)第18题图19.(本题10分)从甲、乙两班各随机抽取10名学生(共20人)参加数学素养测试．将测试成绩分为如下的5组(满分为100分)：A组：50≤x<60，B组：60≤x<70，C组：70≤x<80，D组：80≤x<90，E组：90≤x≤100，分别制成频数直方图和扇形统计图如下图：第19题图(1)根据图中数据，补充完整频数直方图并估算参加测试的学生的平均成绩(取各组成绩的下限与上限的中间值近似的表示该组学生的平均成绩)；(2)参加测试的学生被随机安排到4个不同的考场，其中小亮、小刚两名同学都参加测试，用树状图或列表法求小亮、小刚两名同学被分在不同考场的概率；(3)若甲、乙两班参加测试的学生成绩统计如下：甲班：62，64，66，76，76，77，82，83，83，91；乙班：51，52，69，70，71，71，88，89，99，100.则可计算得两班学生的样本平均成绩为x甲＝76，x乙＝76；样本方差为seq\o\al(2,甲)＝80，seq\o\al(2,乙)＝275.4.请用学过的统计知识评判甲、乙两班的数学素养总体水平并说明理由．20.(本题10分)某山村经过脱贫攻坚和乡村振兴，经济收入持续增长．经统计，近五年该村甲农户年度纯收入如表所示：年度(年)201620172018201920202021年度纯收入(万元)1.52.54.57.511.3第20题图若记2016年度为第1年，在直角坐标系中用点(1，1.5)，(2，2.5)，(3，4.5)，(4，7.5)，(5，11.3)表示近五年甲农户纯收入的年度变化情况．如上图所示：拟用下列三个函数模拟甲农户从2016年开始的年度纯收入变化趋势：y＝eq\f(m,x)(m>0)，y＝kx＋b(k>0)，y＝ax2－0.5x＋c(a>0)，以便估算甲农户2021年度的纯收入．(1)能否选用函数y＝eq\f(m,x)(m>0)进行模拟，请说明理由；(2)你认为选用哪个函数模拟最合理，请说明理由；(3)甲农户准备在2021年底购买一台价值16万元的农机设备，根据(2)中你选择的函数表达式，预测甲农户2021年度的纯收入能否满足购买农机设备的资金需求．21.(本题9分)如图，半圆形薄铁皮的直径AB＝8，点O为圆心，C是半圆上一动点(不与A，B重合)，连接AC并延长到点D，使AC＝CD，过点D作AB的垂线DH交eq\o(ACB,\s\up8(︵))，CB，AB于点E，F，H，连接OC，记∠ABC＝θ，θ随点C的移动而变化．(1)移动点C，当点H，O重合时，求sinθ的值；(2)当θ<45°时，求证：BH·AH＝DH·FH；(3)当θ＝45°时，将扇形OAC剪下并卷成一个圆锥的侧面，求该圆锥的底面半径和高．第21题图22.(本题12分)如图，在直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线的顶点为M(2，－eq\f(2\r(3),3))，抛物线与x轴的一个交点为A(4，0)，点B(2，2eq\r(3))与点C关于y轴对称．(1)判断点C是否在该抛物线上并说明理由；(2)顺次连接AB，BC，CO，判断四边形ABCO的形状并证明；(3)设点P是抛物线上的动点，连接PA，PC，AC，△PAC的面积S随点P的运动而变化，请探究S的大小变化并填写表格①～④处的内容；当S的值为②时，求点P的横坐标的值．直线AC的函数表达式S取的一个特殊值满足条件的P点的个数S的可能取值范围①64个③②3个102个④第22题图23.(本题12分)如图1，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，AC＝1，D为△ABC内部的一动点(不在边上)，连接BD，将线段BD绕点D逆时针旋转60°，使点B到达点F的位置；将线段AB绕点B顺时针旋转60°，使点A到达点E的位置，连接AD，CD，AE，AF，BF，EF.第23题图(1)求证：△BDA≌△BFE；(2)①CD＋DF＋FE的最小值为________；②当CD＋DF＋FE取得最小值时，求证：AD∥BF；(3)如图2，M，N，P分别是DF，AF，AE的中点，连接MP，NP，在点D运动的过程中，请判断∠MPN的大小是否为定值．若是，求出其度数；若不是，请说明理由．

2021年山东省潍坊市初中学业水平考试数学解析一、单项选择题1.D【解析】根据相反数的概念可知各数的相反数分别是－eq\r(2)，－1，eq\f(3,2)，2，其中最大的是2.故选D.2.B【解析】根据题图可知入射光线与出射光线的夹角为60°，且入射光线与地面平行，∴平面镜与地面夹角为60°，又∵直线l垂直于平面镜，∴α的度数为30°.故选B.3.C【解析】101527000＝1.01527×108≈1.015×108，故选C.4.A【解析】解方程x2－6x＋8＝0，得x1＝2，x2＝4，∴菱形对角线的长度分别为2和4，则可得菱形边长为eq\r(5).故选A.5.C【解析】根据零件可得其三视图如解图所示，则既是轴对称图形又是中心对称图形的是俯视图，故选C.第5题解图6.D【解析】解不等式2x＋1≥x，得x≥－1，解不等式eq\f(1,3)x－eq\f(1,4)<eq\f(3x－1,12)，得x<2，∴该不等式解集为－1≤x<2，在数轴上表示正确的为选项D.7.A【解析】逐项分析如下：选项逐项分析正误A中位数是第五、六两个数的平均数，即(26547＋25855)÷2＝26201√B对印度尼西亚的出口额比去年同比增长27.3%C去年同期对日本的出口额大于对俄罗斯联邦的出口额D增速最快的是对越南8.B【解析】当x<0时，最小值为2x－1，故函数y＝2x－1；当0<x<1时，最小值为2x－1，故函数y＝2x－1；当1<x<2时，最小值为x，故函数y＝x；当x>2时，最小值为4－x，故函数y＝4－x.综上所述，B选项符合题意．二、多项选择题9.AB【解析】逐项分析如下：选项逐项分析正误A(a－eq\f(1,2))2＝a2－a＋eq\f(1,4)√B(－a－1)2＝eq\f(1,a2)√Ceq\f(a－3,b－3)不能再进行化简Deq\f(\r(6),\r(3))＝eq\r(2)≠210.BD【解析】当⊙A与两坐标轴同时相切时，点A的坐标为(－1，1)或(1，－1)，故组成的∠ABO的正切值分别为eq\f(1,3)或eq\f(1,5)，∴tan∠ABO的值可能为B或D.11.ABC【解析】根据题意可知，△AOE是等边三角形，∴三边的垂直平分线的交点与三角平分线的交点重合，都是点G，故A选项结论正确，符合题意；根据题图可知，EF⊥OA，∴∠GAO＝30°，∠OAF＝60°，∠AFG＝30°，∴∠FGA＝60°，与∠FOA相等，故B选项结论正确，符合题意；根据等边三角形的性质可知，EG是等边△OAE高的eq\f(2,3)，故可得到点G是线段EF的三等分点，故C选项结论正确，符合题意；等边三角形的高是边长的eq\f(\r(3),2)，则EF是边长AF的eq\r(3)倍，故D选项结论错误，不符合题意．12.ACD【解析】∵抛物线交y轴于点(0，－2)，故点A或点B其中一个点在抛物线上，则点C一定在抛物线上，∴应是点A在抛物线上，代入解得抛物线解析式为y＝x2－x－2.当x＝0和x＝1时y的值均为－2，可判断其对称轴是直线x＝eq\f(1,2)，故A选项结论正确，符合题意；令y＝0，即可知抛物线与x轴的交点为(－1，0)和(2，0)，故B选项结论错误，不符合题意；根据抛物线解析式可得最小值为－eq\f(9,4)，故当t>－eq\f(9,4)时，方程有两个不相等的实数根，故C选项结论正确，符合题意；∵y<0时，x的范围为－1<x<2，∵P(m，n)在抛物线上，且n<0时，∴－1<m<2，∴3<m＋4<6，故Q(m＋4，h)一定在x轴上方，即h>0，故D选项结论正确，符合题意．三、填空题13.y＝－2x＋1(答案不唯一)【解析】根据甲、乙、丙三人的说法可得到该图象为y＝kx＋1(k<0)，则可写出y＝－2x＋1.14.1【解析】∵x<2，∴|x－2|＝2－x，则原式可化为eq\f(1,x－2)＋2－x＋x－1＝0，即eq\f(1,x－2)＋1＝0，解得x＝1.15.2022【解析】根据题图可知An在第四象限内，根据第四象限内各点的特点，分别是A6、A10、A14，……，即为A2＋4m，又∵A6的坐标为(2，－1)，A10的坐标为(3，－2)，∴根据规律可判断A2＋4m的坐标为(m＋1，－m)，∴可得到m＝505，故n的值为2＋4×505＝2022.16.eq\f(a2－b2,2a)【解析】根据反比例函数k的几何意义可知，点A、B都在曲线y＝eq\f(b,x)上，如解图，△AOC与△BOD的面积的和为b，令点P坐标为(m，n)，则AP＝eq\f(a,n)－eq\f(b,n)，PB＝eq\f(a,m)－eq\f(b,m)，则S△PAB＝eq\f(1,2)(eq\f(a,n)－eq\f(b,n))(eq\f(a,m)－eq\f(b,m))＝eq\f(（a－b）2,2mn)＝eq\f(（a－b）2,2a)，故阴影部分面积为S四边形PCOD－(S△AOC＋S△BOD)－S△PAB＝a－b－eq\f(（a－b）2,2a)＝eq\f(a2－b2,2a).第16题解图四、解答题17.解：(1)原式＝1＋3＋(1－eq\f(1,9)×18)＝4＋1－2＝3；(2)原式＝eq\f(（x＋y）（x－y）,（x－y）2)·eq\f(（x－y）（2x＋3y）,x＋y)－xyeq\f(2y＋3x,xy)＝2x＋3y－(2y＋3x)＝2x＋3y－2y－3x＝y－x，∵(x，y)是函数y＝2x与y＝eq\f(2,x)的图象的交点，∴联立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝2x,y＝\f(2,x)))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1,y＝2))，或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－1,y＝－2))，即交点坐标为(－1，－2)或(1，2)．当x＝－1，y＝－2或x＝1，y＝2时，x－y，x＋y，xy均不等于0，∴原式＝－2－(－1)＝－1，或原式＝2－1＝1.18.解：如解图，过点C作CD⊥AM于点D，过点D作直线l，过点B作BE⊥l于点E，∴∠BDE＝75°，∴∠DBE＝90°－75°＝15°，∵乙船的航向为北偏东30°，∴∠CBD＝45°，∴△CBD是等腰直角三角形，同理可知∠CAD＝30°，设甲的平均航速为v1，到达C处海岛时间为t，则BC＝vt，AC＝v1t，∴CD＝eq\f(\r(2),2)vt，在Rt△ADC中，∠CAD＝30°，∴AC＝2CD＝eq\r(2)vt，∴v1t＝eq\r(2)vt，∴v1＝eq\r(2)v≈1.4v.第18题解图19.解：(1)补充完整频数直方图如解图：第19题解图x＝55×eq\f(1,10)＋65×eq\f(1,5)＋75×eq\f(3,10)＋85×eq\f(1,4)＋95×eq\f(3,20)＝76.5；【解法提示】D组：20×25%＝5(人)；C组：20－5－2－4－3＝6(人)．(2)设考场分别为甲、乙、丙、丁，列表如下：小亮小刚甲乙丙丁甲甲，甲甲，乙甲，丙甲，丁乙乙，甲乙，乙乙，丙乙，丁丙丙，甲丙，乙丙，丙丙，丁丁丁，甲丁，乙丁，丙丁，丁由上表可知，共有16种等可能的结果，其中小亮、小刚两名同学被分在不同考场的结果有12种，∴P(小亮、小刚两名同学被分在不同考场)＝eq\f(12,16)＝eq\f(3,4)；(3)∵x甲＝x乙，∴甲乙两班学生数学成绩接近．又∵seq\o\al(2,甲)＜seq\o\al(2,乙)，∴甲班同学数学成绩更稳定，∴甲班同学数学素养总体水平更高．20.解：(1)不能，理由如下：若选用函数y＝eq\f(m,x)，则xy＝m(m>0)且y随x增大而减小，图象明显不符．故不能选用y＝eq\f(m,x)(m>0)来模拟；(2)选用y＝ax2－0.5x＋c(a>0)最合理；理由为：从图象上看，类似于抛物线，并且y随x增大而增大的速率不是线性关系，而是越来越大，也恰恰符合二次函数的特点；设y＝ax2－0.5x＋c(a>0)，将(1，1.5)(2，2.5)代入，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a－0.5＋c＝1.5,4a－1＋c＝2.5))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝0.5,c＝1.5))，∴y＝0.5x2－0.5x＋1.5.验证：将x＝4代入，得y＝0.5×42－0.5×4＋1.5＝7.5，符合题意，证明我们的猜想正确；(3)将x＝6代入，得y＝0.5×62－0.5×6＋1.5＝16.5(万元)>16，∴能满足购买农机设备的资金需求．21.(1)解：当点H、O重合时，如解图，第21题解图∵DH⊥AB，AC＝CD，∴CO＝eq\f(1,2)AD＝AC，∵OC＝OA，∴DC＝OA＝AC，∴△AOC为等边三角形，∴∠AOC＝60°，∵∠OCB＝∠CBO＝θ，∴θ＝eq\f(1,2)×60°＝30°，∴sinθ＝sin30°＝eq\f(1,2)；(2)证明：∵∠DAH＋∠ADH＝90°，∠CBA＋∠DAH＝90°，∴∠CBA＝∠ADH，∴tan∠CBA＝tan∠ADH，即eq\f(FH,BH)＝eq\f(AH,DH)，∴BH·AH＝DH·FH；(3)解：当θ＝45°时，∠AOC＝2θ＝2×45°＝90°，∴leq\o(AC,\s\up8(︵))＝eq\f(1,4)πd＝eq\f(1,4)π×8＝2π，圆锥的母线长为4，设底面半径为r，则2πr＝2π，解得r＝1，圆锥高＝eq\r(42－12)＝eq\r(15)，答：圆锥的底面半径为1，高为eq\r(15).22.解：(1)点C在抛物线上；理由如下：设该抛物线的解析式为y＝a(x－2)2－eq\f(2\r(3),3)，将A(4，0)代入，得0＝a(4－2)2－eq\f(2\r(3),3)，解得a＝eq\f(\r(3),6)，∴y＝eq\f(\r(3),6)(x－2)2－eq\f(2\r(3),3)＝eq\f(\r(3),6)x2－eq\f(2\r(3),3)x，∵点B(2，2eq\r(3))与点C关于y轴对称，∴C(－2，2eq\r(3))将x＝－2代入，得y＝eq\f(\r(3),6)×(－2)2－eq\f(2\r(3),3)×(－2)＝2eq\r(3)，∴点C在抛物线上；(2)四边形ABCD是菱形，理由如下：由题图可知AO＝4－0＝4，BC＝4，又∵B、C关于y轴对称，∴BC∥OA，∴四边形ABCO是平行四边形．∵OC＝eq\r(（－2）2＋（2\r(3)）2)＝4，∴OC＝OA，∴四边形ABCO是菱形；(3)设AC的解析式为y＝kx＋b，将A(4，0)，C(－2，2eq\r(3))代入，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4k＋b＝0,－2k＋b＝2\r(3)))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝－\f(\r(3),3),b＝\f(4\r(3),3))).∴直线AC的函数表达式为y＝－eq\f(\r(3),3)x＋eq\f(4\r(3),3)；过点P作直线l，l∥AC，当l与抛物线相切时，设l′为y＝－eq\f(\r(3),3)x＋b，联立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝－\f(\r(3),3)x＋b,y＝\f(\r(3),6)x2－\f(2\r(3),3)x))，∴得eq\f(\r(3),6)x2－eq\f(\r(3),3)x－b＝0，∵Δ＝b2－4ac＝eq\f(1,3)＋eq\f(2\r(3),3)b＝0，解得b＝－eq\f(\r(3),6)，∴l′为y＝－eq\f(\r(3),3)x－eq\f(\r(3),6).∴P(1，－eq\f(\r(3),2))，此时，△PAC的AC边上的高h＝eq\f(9,4)，AC＝eq\r([4－（－2）]2＋（2\r(3)）2)＝4eq\r(3)，∴S△ACP＝eq\f(1,2)×eq\f(9,4)×4eq\r(3)＝eq\f(9\r(3),2)，综上所述：当h<eq\f(9,4)时，0<S<eq\f(9\r(3),2)；有4个点P；当h＝eq\f(9,4)时，S＝eq